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ironwolf
Gast
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 ironwolf Verfasst am: 11. Apr 2005 23:39 Titel: Freier gedämpfter Oszillator, bewegungsgleichung |
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nabend leute, gibs hier wen, der mir weiterhelfen kann?
Folgende Sache soll ich lösen:
g : gamma
h: lamda
w: omega
b: beta
x''+gx'+wx = 0
wobei x abhängig von der Zeit t ist.
vielmehr gilt:
x=e^ht, damit ist x'=h*e^ht und x''=h^2 * e^ht
einfach einsetzen die eulers ausklammern und dann p-q-formel:
dann is h1,2= -g/2 + - root((b^4 /4) - w^2)
so dann weiß ich nicht weiter und schau im netz nach und finde folgende lösung:x(t) = e^-bt [a1e^(t*root(b^2-w^2)) + a2e^(- t*root(b^2-w^2))
Folgende konkrete Fragen: was sind a1 und a2
und wieso hab ich keine 2 lösungsgleichungen, sonder addiere die beiden lösungen, die durch p-q- formel entstehen???
über hilfe würde ich mich freun, gern auch per mail: [email protected] |
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Neko
Anmeldungsdatum: 04.07.2004
Beiträge: 526
Wohnort: Berlin
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| Neko Verfasst am: 12. Apr 2005 07:21 Titel: Re: Freier gedämpfter Oszillator, bewegungsgleichung |
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| ironwolf hat Folgendes geschrieben: | nabend leute, gibs hier wen, der mir weiterhelfen kann?
Folgende Sache soll ich lösen:
g : gamma
h: lamda
w: omega
b: beta
x''+gx'+wx = 0
wobei x abhängig von der Zeit t ist.
vielmehr gilt:
x=e^ht, damit ist x'=h*e^ht und x''=h^2 * e^ht
einfach einsetzen die eulers ausklammern und dann p-q-formel:
dann is h1,2= -g/2 + - root((b^4 /4) - w^2)
so dann weiß ich nicht weiter und schau im netz nach und finde folgende lösung:x(t) = e^-bt [a1e^(t*root(b^2-w^2)) + a2e^(- t*root(b^2-w^2))
Folgende konkrete Fragen: was sind a1 und a2
und wieso hab ich keine 2 lösungsgleichungen, sonder addiere die beiden lösungen, die durch p-q- formel entstehen???
über hilfe würde ich mich freun, gern auch per mail: [email protected] |
Du hast ja da ne Lineare Homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, von der du praktischerweise schon eine Lösung hast. Nämlich
Das Macht die Formel, die du im Netz nachgeschaut hast, ein bischen sinnlos, denn was du ja im Grunde machen musst, ist, nur noch die Konstanten rausfinden. Du hast dann die Lösung zwei mal durchdifferenziert:
Dann setzt du das richtigerweise in deine Dfgl ein und kommst auf:
Dann sagst du, machst du die Eulers weg. Ok:
Jetzt lautet aber die pQ-Formel:
^{2}-\omega})
Überhaupt kannst du damit jetzt noch nicht viel anfangen. Für gewöhnlich brauch man zum Herausfinden der Variablen noch diese "initial conditions"...die Anfangsbedingungen. Hast du da welche gegeben?
_________________
Prefect:"ich habe dich von der Erde gerettet"
Dent:"Und was ist mit der Erde passiert?"
"Och,...die wurde zerstört"
"Ach ja"
"Ja, sie ist einfach ins Weltall verdunstet"
"Weißt du, das nimmt mich natürlich ein bißchen mit" |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 12. Apr 2005 10:01 Titel: Re: Freier gedämpfter Oszillator, bewegungsgleichung |
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Huhu,
Man kann schon was damit anfangen, man kann die allgemeine Lösung hinschreiben.
Also wir haben 2 verschiedene 
^{2}-\omega})
^{2}-\omega})
Also haben wir auch zwei verschiedene Lösungen:
^{2}-\omega}\right)t}=e^{-\frac{1}{2}\gamma t}\cdot e^{\left(\sqrt{(\frac{\gamma}{2})^{2}-\omega}\right)t})
^{2}-\omega}\right)t}=e^{-\frac{1}{2}\gamma t}\cdot e^{-\left(\sqrt{(\frac{\gamma}{2})^{2}-\omega}\right)t})
So und die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung bilden einen Vektorraum. Das heißt wir bekommen die allgemeinste Lösung, wenn wir eine Linearkombination aller linear unabhängigen Lösungen aufstellen. Das sind hier nur die beiden Lösungen. Somit ist die allgemeine Lösung:
 und  sind hier konstanten, die aus dem Entsprechenden Anfangswertproblem heraus bestimmt werden können. Ohne Anfangswerte bleiben sie belibieg.
Also: ^{2}-\omega}\right)t}\right)+a_2\left(e^{-\frac{1}{2}\gamma t}\cdot e^{-\left(\sqrt{(\frac{\gamma}{2})^{2}-\omega}\right)t}\right)=e^{-\frac{1}{2}\gamma t}\cdot\left(a_1 e^{\left(\sqrt{(\frac{\gamma}{2})^{2}-\omega}\right)t}+a_2 e^{-\left(\sqrt{(\frac{\gamma}{2})^{2}-\omega}\right)t}\right))
Wobei das noch nicht passt mit dem  was in der Lösung steht, die du gefunden hast.
Edit: Das wird daher kommen, dass die bei der Lösung von einer anderen DGL ausgegangen sind, nämlich vermutlich: 
_________________
Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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ironwolf
Gast
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| ironwolf Verfasst am: 12. Apr 2005 11:01 Titel: |
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ja, ich hab bei der ausgangsleichung vergessen w ins quadrat zu setzen sorry,
also heißt es
0= x'' + gx' + w^2x
aber es geht mir auch nicht darum, 2 lösungen zu bekommen, sondern eine sinnvolle darstellung on x(t) zu bekommen.
dafür hab ich die obere gleichung mit der p-q formel bearbeitet um h herrauszufinden. Das hat auch geklappt, aber ich wollte wissen wie ich eine zweideutige lösung, also einmal h1=b+root((b^2)/4 - w^2) und einmal h2=b-root((b^2)/4 - w^2) , übrigends b=g/2, in eine einzige gleichung einsetzen kann, also
x(t) = e^t*h
im internet finde ich dann die lösung:
x(t) = e^t*(-b)[a1*e^+root((b^2)/4 - w^2) + a2*e^-root((b^2)/4 - w^2)
die frage ist, wie kann ich in eine gleichung mit einer variable 1. grades zwei lösungen einsetzen, was hier so gemacht ist. ich meine, die aufgabe ist nur die ausgangsdifferentialgleichung zu lösen.
und vor allem was sind a1 und a2 für faktoren, die kommen erst in diesem schritt dazu.... |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 12. Apr 2005 11:05 Titel: Re: Freier gedämpfter Oszillator, bewegungsgleichung |
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| navajo hat Folgendes geschrieben: | Huhu,
Man kann schon was damit anfangen, man kann die allgemeine Lösung hinschreiben.
Also wir haben 2 verschiedene
Also haben wir auch zwei verschiedene Lösungen:
So und die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung bilden einen Vektorraum. Das heißt wir bekommen die allgemeinste Lösung, wenn wir eine Linearkombination aller linear unabhängigen Lösungen aufstellen. Das sind hier nur die beiden Lösungen. Somit ist die allgemeine Lösung:
und sind hier konstanten, die aus dem Entsprechenden Anfangswertproblem heraus bestimmt werden können. Ohne Anfangswerte bleiben sie belibieg.
Also:
Wobei das noch nicht passt mit dem was in der Lösung steht, die du gefunden hast.
Edit: Das wird daher kommen, dass die bei der Lösung von einer anderen DGL ausgegangen sind, nämlich vermutlich: |
ahh! ein vektorraum, genau, dass ist es, verdammt ok deshalb dröselt sich dass so auf, ah danke! und ich hab das w nicht in 2. ordnung gesetzt, sorry, hab das nicht gesehn.... aber das stimmt, gut dann kann ich damit
wobei ich da eine weitere frage hätte, wozu brauche ich hier einen vektor, ich meine es ist doch noch immer eine schwingung??? |
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ironwolf
Gast
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| ironwolf Verfasst am: 12. Apr 2005 11:16 Titel: |
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ach und ich hab eben im buch nachgelesen, aber irgendwie ist das nicht so erklärend, wieso spannen zwei lineare homogene diffgleichungen einen vektorraum auf, kannst du mir vielleicht kurz den mathematischen zusammenhang aufschreiben??
wäre nett und danke für die hilfe |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
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| navajo Verfasst am: 12. Apr 2005 11:43 Titel: |
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Also ein Vektorraum ist ja erstmal eine Menge mit diesen Eigenschaften:
Sei mal V die Menge. Wenn gilt:
1) u Element von V und v Element von V -> u+v Element von V
2) s sei Skalar und u Element von V -> s mal u ist Element von V
3) Null ist Element von V
Dann nennt man die Menge V einen Vektorraum. Hmm, okay und warum ist nun die Menge der Lösungen einer linearen homogenen DGL ein VR.. hmm mal nen Beweis ergooglen  Ach gna find keinen. 
Naja eindimensional kanns ja nicht so schwer sein, ich probiers mal für ne lineare homogene DGL 2ter Ordnung, also so eine wie wir hier haben:
Nun seien  und  Lösungen der Dgl.
zu 1)
+a\frac{d}{dt}(u+v)+b(u+v))
+(\ddot{v}+a\dot{v}+bv)=0+0=0)
-> u + v ist wieder Lösung der DGL.
zu 2)
+a\frac{d}{dt}(s\cdot u)+b(s\cdot u))
=s\cdot 0=0)
s mal u ist also auch eine Lösung. (s ist ein Skalar/Konstante)
zu 3)
+a\frac{d}{dt}(0)+b(0)=0)
Null ist auch Lösung.
-> Lösungen bilden einen Vektorraum.
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ironwolf
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Wohnort: berlin
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| ironwolf Verfasst am: 12. Apr 2005 14:50 Titel: |
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du verstehst gut was vom fach, praktische sache
gut die bedingungen sind klar, und die rechnung auch, also jetzt fehlt mir nur noch eine sache. 1. Warum bildet man Vektorräume allgemein, was fängt man in der mathematik bzw physik damit an, und 2. wobei hilft mir der vektorraum in meinem speziellen fall der gedämpften harmonischen schwingung, denn letztlich ist dass doch ne bewegungsgleichung, wenn ich meine mitschriften nicht falsch interpretiere.... gibt der vektorraum dann die menge der möglichen lösungen an oder was macht der vektorraum?
danke schonmal für deine Hilfe!!!
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 12. Apr 2005 15:27 Titel: |
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Uff, warum hat man den Begiff des Vektorraums eingeführt. Also in der Mathematik ist es ja so, dass man mit ganz wenig Annahmen anfängt und dann ein Riesen Konstrukt draufbaut. Da definiert man sich erstmal was und kann dann nach und nach zeigen was durch die paar Annahmen die man gemacht hat, automatisch noch alles für tolle Sachen gelten. Und ein Fundament wo man schön viel drauf bauen kann ist wohl der Vektorraum. Hmm, was hat mal einer meiner Mathetutoren gesagt: "In der Mathematik darf man nicht immer überlegen warum man etwas macht, sondern ob man etwas machen darf." Will heißen manche Definitionen wirken auf den ersten Blick etwas willkürllich und aus der Luft gegriffen, aber wenn man dann sieht was man da alles drauf bauen kann, scheint sie doch Sinn gemacht zu haben. Jetzt weißt du zwar immernoch nicht wirklich, warum man nun den Vektorraum eingeführt hat, aber immerhin hab ich was erzählt. 
Eigentlich hilft es dir hier der des Begriff des Vektorraums nicht viel. Es hätte auch gereicht, wenn du wüsstest, dass man Lösungen der DGL aufaddieren kann und wieder eine Lösung bekommt und das vielfache einer Lösung wieder eine Lösung sind. Aber das ist ja nunmal das gleiche, man hat dem Kind nur nen Namen gegeben. Das heißt nur dass du die allgemeinste Lösung bekommst, indem du alle verschiedenen (bzw linear unabhängigen) Lösungen aufaddiert (bzw deren Linearkombination bildest).
Für deine Bewegungsgleichung musst du noch die Anfangsbedingungen verarbeiten. In der allgemeinen Lösung sind ja quasi alle Bewegungsgleichungen enthalten, die der Oszillator ausführen kann. Du brauchst ja aber nur eine. Also musst du noch vorgeben an welchem Or er zu einer bestimmten Zeit ist.
Ein Lösung könnte zB einfach: =x_0e^{-\frac{1}{2}\gamma}e^{-\sqrt{\frac{\gamma}{2}^2-\omega^2}t})
Das wär dann ja anschaulich zB eine Feder die aus der Maximalen direkt in die Ruhelage einkehrt, wobei sie je nähser sie an die Ruhelage rankommt immer langsamer wird.
Aber es gibt ja noch mehr Lösungen, zB wenn die Dämpfung  schwach ist, dann ergibt sich eine Sinusschwingung überlagert von der e-Funktion.
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ironwolf
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| ironwolf Verfasst am: 12. Apr 2005 16:01 Titel: |
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okidoki, danke für die erläuterung, ich werd mich mal umhören, und auch mal in der uni den prof fragen, wenn der mir ne klare antwort gibt werd ich sie hinposten  bist du fertiger physik student? oder im hauptstudium, weil ich erst am aaanfang bin
tolles board, wusste gar nicht, dass es sowas gibt, naja werd mal weiter meine aufgabe rechnen....
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 12. Apr 2005 18:26 Titel: |
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Also noch bin ich im Grundstudium, aber wenn alles klappt krieg ich dies Semester mein Vordiplom fertig. Naja, wird ja auch langsam Zeit bin ja nun auch schon im 5ten Semester.
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etzwane
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| etzwane Verfasst am: 12. Apr 2005 22:53 Titel: Re: Freier gedämpfter Oszillator, bewegungsgleichung |
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| navajo hat Folgendes geschrieben: |
Also:
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Der Ausdruck unter der Wurzel wird meistens negativ, so dass Sinus- und Cosinusfunktionen dazukommen und letztendlich gedämpfte Schwingungen entstehen. |
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ironwolf
Anmeldungsdatum: 12.04.2005
Beiträge: 17
Wohnort: berlin
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| ironwolf Verfasst am: 13. Apr 2005 23:44 Titel: |
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ist das dann der punkt wo ich die imaginäre zahl i ins spiel bringe, wenn der ausdruck unter der wurzel negativ wird, blöde frage ich weiß, aber ich hab letztes semester ein wenig gepennt....
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
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| navajo Verfasst am: 14. Apr 2005 09:27 Titel: |
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Ja hast recht, dann müsste man quasi ein i aus der Wurzel ziehen können und kriegt dann  bzw  . Daraus kann man sich dann durch linearkombination eine reelle Lösungsbasis bauen, die wie etzwane schon gesagt hat durch Sinus und Cosinus beschrieben sind. (Wie man die Linearkombination genau wählen musste kann ich nicht aus dem Kopf  )
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