Dachprodukt, 1-Formen, Verständnisproblem

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

Hi,

ich habe ein Problem eher mathematischer Natur:

Es geht darum zu zeigen, dass eine 1-Form nicht exakt ist. Ich weiß das man das ganz leicht mit den Integrabilitätsbedingungen zeigen kann: Aber ich habe einen anderen Weg gesehen, den ich verstehen möchte:

Im Endeffekt ist dieser Weg genau das Prüfen der Integrabilitätsbedingungen, dabei aber etwas kompakter/komplizierter aufgeschrieben.

Meine 1-Form sieht so aus:

Nun kann ich folgendes prüfen:

Also ganz normal mein totales Differential.

Ausführen:

Wenn man weiß, dass

ist, vereinfacht sich obiger Ausdruck zu:

Und weiter mit der Annahme dass

zu:

Man sieht das das ungleich 0 ist. Damit ist gezeigt, dass die 1-Form nicht exakt ist.

Also ich weiß wie man das ausrechnet, habe aber so gut wie keine Ahnung was das Dachprodukt eigentlich ist und warum man es hier anwendet.

Kann mir jemand von euch helfen es zu verstehen??
Weitere Frage: Wozu braucht man 1-Formen, was macht man damit, mir fehlt die Vorstellung, wo hat sie ihre Anwendungen?

Ich weiß, dass die Exaktheit einfacher & schneller anders gezeigt werden kann, ich möchte aber genau diesen Weg über das Dachprodukt verstehen.

Vielen Dank schonmal,

LG
Matze

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Zunächst mal solltest du den Zusammenhang zwischen Geschlossenheit und Exaktheit verstehen.

Eine Form f ist geschlossen, wenn gilt

Eine n-Form f ist exakt, wenn es eine (n-1)-Form g gibt, so dass

Nun ist aber d²=0, d.h. aus der Exaktheit von f folgt die Geschlossenheit

Umgekehrt gilt dies nicht, d.h. es kann geschlossene Formen geben, die nicht exakt sind.

Das Dachprodukt ist zunächst mal einfach eine Definition. Es gilt

Was kann man damit machen?

Zunächst mal erlauben Differentialformen eine äußerst elegante Formulierung sowie eine Verallgemeinerung bekannter Sätze auf n Dimensionen. Bsp.: Satz von Stokes, Gauß-Bonnet-Chern Theorem, Maxwell-Gleichungen.

Im wesentlichen ist die Differentialgeometrie und algebraische Topologie eine Theorie der Mannigfaltigeiten bzw. der auf ihr "lebenden" Differentialformen. Dabei sagen die Eigenschaften der Differentalformen etwas über die Geometrie oder Topologie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten aus. D.h. man interessiert sich im wesentlichen für die Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten und wendet dabei die Theorie der Differentialformen an (es geht nicht mehr um eine spezielle Form, sondern um generelle Eigenschaften aller Formen auf einer speziellen Mannigfaltigkeit).

Ein berühmtes Beispiel ist das Atiyah-Singer-Indextheorem, aus dem sich viele Spezialfälle ableiten lassen. Ein weiteres Beispiel sind die sogenannten Donaldson- sowie Seibert-Witten-Invarianten, die etwas über die topologische und differentalgeometrische Klassifizierung von 4-dim. Mannigfaltigkeiten aussagen.

Am einfachsten liest du dir mal ein paar Artikel (u.a. zu den von mir o.g. Sätzen) in der Wikipedia durch
http://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Differentialgeometrie
http://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Differentialtopologie