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Margarita90
Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61
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 Margarita90 Verfasst am: 22. Jun 2010 19:30 Titel: EM Welle in rechteckigem Hohlleiter |
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Hallo Leute,
zur Aufgabe erstmal:
In einem metallischen (leitfähigen) Hohlleiter mit Rechteckquerschnitt (x,y) = (a,b) laufe eine ebene Welle in z-Richtung.
a) Geben Sie die Lösungen für transversal-elektrische Wellen ) an!
b) Wie sieht das zugehörige B-Feld aus?
c) Skizzieren Sie die E- und B-Felder im Hohlleiter!
d) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter, verglichen mit der im freien Raum?
Ich würde sagen, wir beschränken uns erstmal auf a).
Die Wellengleichung heißt ja  . Wenn die Wellengleichung jetzt nur von einer, der z-Komponente, abhängt (da es sich um einen ebene Welle handelt), müsste doch gelten
Zumindest steht sowas in meinem Buch=) Im Buch schlussfolgern sie weiter, dass der Vektor E auf einer Ebene  zu einem festen Zeitpunkt  überall den gleichen Wert und die gleiche Richtung hat. Aber wie kann z eine Ebene beschreiben? Das versteh ich schon nicht...
Weiter geht es dann mit der vereinfachten Welengleichung 
Da die Welle transversal sein soll, folgt  , oder? Damit ist  , also  räumlich konstant. Wählt man  , hat E nur noch x- und y-Komponenten, also ) . Das wäre dann, wie in der Aufgabe gewünscht.
Aber wie geht es hier weiter? Bzw. kann ich das überhaupt zur Lösung heranziehen?
In diesem Buch gibt es noch eine andere Seite, da geht es um einen Hohlleiter mit rechteckigem Querschnitt, aber ich weiß nicht, ob das dort Beschriebene wirklich zu meinem Problem passt:
Also, es gibt zwei Randbedingungen (da x und y beschränkt sind) und z ist offen. Dann ist die Feldamplitude  jetzt eine Funktion von x und y. Für die laufende Welle steht hier die Gleichung \cdot E=0) , wobei k hier als Wellenvektor agiert.
Jetzt sollen da zwei Lösungstypen rauskommen: TE- Wellen mit  ) und TM-Wellen mit ) . Mit den Maxwell-Gleichungen und den Randbedingungen  und  müsste für die TE-Wellen gelten:
=A \cos(n \frac{\pi}{a})x \cdot \sin(m \frac{\pi}{b})y) und
=B \sin(n \frac{\pi}{a})x \cdot \cos(m \frac{\pi}{b})y) und  .
Sollte das die Lösung sein: Könnte mir da jemand noch ein paar Erklörungen zu den einzelnen Schritten geben? So richtit steig ich da nämlich noch nicht durch. Woher kommen bspw. auf einmal die trigonometrischen Funktionen? Die fallen hier ja einfach vom Himmel...
Vielleicht hab tihr auch noch den ein oder anderen Ansatz für die estlichen Teilaufgaben, ich wäre euch sehr dankbar!
Liebe Grüße!
P.S.: Bei den Wellengleichungen: Es muss eigentlich immer das geschwungene "d" für die partiellen Ableitungen sein, aber wie schreibt man das bloß? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 24. Jun 2010 08:56 Titel: Re: EM Welle in rechteckigem Hohlleiter |
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| Margarita90 hat Folgendes geschrieben: | Hallo Leute,
zur Aufgabe erstmal:
In einem metallischen (leitfähigen) Hohlleiter mit Rechteckquerschnitt (x,y) = (a,b) laufe eine ebene Welle in z-Richtung.
a) Geben Sie die Lösungen für transversal-elektrische Wellen an!
b) Wie sieht das zugehörige B-Feld aus?
c) Skizzieren Sie die E- und B-Felder im Hohlleiter!
d) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter, verglichen mit der im freien Raum?
Ich würde sagen, wir beschränken uns erstmal auf a).
Die Wellengleichung heißt ja . Wenn die Wellengleichung jetzt nur von einer, der z-Komponente, abhängt (da es sich um einen ebene Welle handelt), müsste doch gelten
Zumindest steht sowas in meinem Buch=) Im Buch schlussfolgern sie weiter, dass der Vektor E auf einer Ebene zu einem festen Zeitpunkt überall den gleichen Wert und die gleiche Richtung hat.
Das kann nur für eine ebene Welle gelten, nicht aber für einen Hohlleiter, da du natürlich auch eine Abhängigkeit von x und y haben wirst. Alle Punkte im Raum mit gleichem z machen eine ebene aus. Male mal eine Skizze um dir das klarzumachen!
Aber wie kann z eine Ebene beschreiben? Das versteh ich schon nicht...
Weiter geht es dann mit der vereinfachten Welengleichung
Auch das kann nur für eine ebene Welle stimmen...Wo ist x und y geblieben...
Da die Welle transversal sein soll, folgt , oder? Damit ist , also räumlich konstant. Wählt man , hat E nur noch x- und y-Komponenten, also . Das wäre dann, wie in der Aufgabe gewünscht.
Aber wie geht es hier weiter? Bzw. kann ich das überhaupt zur Lösung heranziehen?
In diesem Buch gibt es noch eine andere Seite, da geht es um einen Hohlleiter mit rechteckigem Querschnitt, aber ich weiß nicht, ob das dort Beschriebene wirklich zu meinem Problem passt:
Also, es gibt zwei Randbedingungen (da x und y beschränkt sind) und z ist offen. Dann ist die Feldamplitude jetzt eine Funktion von x und y. Für die laufende Welle steht hier die Gleichung
Es wird wohl eher so dortstehen:
\cdot E=0)
\cdot B=0)
Auf diese Gleichung kommst du, indem du den Ansatz
 = \vec E_0(x, y) e^{i \omega t - kz})
 = \vec B_0(x, y) e^{i \omega t - kz})
für eine sich in z-Richtung ausbreitende Welle in die allgemeine Wellengleichung einsetzt. der Laplaceoperator wird dadurch um eine Dimension reduziert, weshalb du nun nur noch die Abhängigkeit in x,y lösen musst.
, wobei k hier als Wellenvektor agiert.
Jetzt sollen da zwei Lösungstypen rauskommen: TE- Wellen mit und TM-Wellen mit . Mit den Maxwell-Gleichungen und den Randbedingungen und müsste für die TE-Wellen gelten:
und
und .
Sollte das die Lösung sein: Könnte mir da jemand noch ein paar Erklörungen zu den einzelnen Schritten geben? So richtit steig ich da nämlich noch nicht durch. Woher kommen bspw. auf einmal die trigonometrischen Funktionen? Die fallen hier ja einfach vom Himmel...
Vielleicht hab tihr auch noch den ein oder anderen Ansatz für die estlichen Teilaufgaben, ich wäre euch sehr dankbar!
Liebe Grüße!
P.S.: Bei den Wellengleichungen: Es muss eigentlich immer das geschwungene "d" für die partiellen Ableitungen sein, aber wie schreibt man das bloß? |
Für TE Wellen ist es günstiger, von der Bz Komponente auszugehen, und von dieser die E Komponenten Ex und Ey zu bestimmen:
Du musst daher Bz(x,y) füe die DG
\cdot B_z=0)
lösen. Wie sieht die allgemeine Lösung den aus? Kommt die diese DG nicht bekannt vor? Hast du schon mal von einem Eigenwertproblem gehört? Vergiss nicht, dass du an der als ideal leitenden Grenzschicht des Leiters
als Randbedingung hast! Was bedeutet dies für die erlaubten Eigenwerte?
Wenn du unbedingt von Ex und Ey ausgehen möchtest (was natürlich auch geht), dann musst du wissen, dass die Randbedingung E=0 an der Oberfläche des Leiteres ist. Daraus ergeben sich selbstverständlich die gleichen Eigenwerte.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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