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gast
Gast
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 gast Verfasst am: 12. März 2005 12:55 Titel: Fülldauerberechnug von Röhre |
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Hallo an alle
hoffentlich kann mir jemand bei folgendem Problem helfen.
Das Problem :
Wir haben eine 600m senkrecht aufgehängte Röhre.Sie ist unten verschlossen und oben offen.Die Röhre hat einen Innendurchmesser von 300mm.Am Boden der Röhre befindet sich eine Bohrung von 10mm.Die Röhre soll mit Wasser über einen freien Zulauf gefüllt werden.
Die Frage :
Wie lange dauert es bei kostantem Wasserzulauf die Röhe zu füllen .
Formel wäre toll.
Vorab vielen Dank für eure Bemühungen.  |
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Dieter5858
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.08.2004
Beiträge: 696
Wohnort: Hamburg
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| Dieter5858 Verfasst am: 12. März 2005 13:46 Titel: |
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Hiho
Aua schon wieder eine schöne Aufgabe.
Nur mal zum Prinzip.
Du wirst ja einen konstanten Zulauf haben, dieser Füllt das Volumen des Rohres in einer bestimmten Zeit, Wenn kein Ablauf vorhanden ist wäredas ganze recht einfach.
Zu einem sehr großen Problem kommst du allerdings bei einem Loch im Boden deines Behälters, da hierdurch dein Ablauf nicht konstant ist.
Denn je höher du das Rohr füllen wirst desto mehr Wasser wird durch dein Bodenloch durch den Hydrostatischen Druck gedrückt.
Am Anfang ist dein Ablauf recht gering.
Wenn dein Rohr voller Wasser ist strömt allerdings viel mehr Wasser unten durch.
Kann dir nur sagen das das eine schwierige Rechnung wird.
Wie gesagt du musst darauf achten das der Wasserpegel nicht konstant ansteigt und der Ablauf nicht konstant ist, durch den ansteigenden Ablauf(also das Wasser strömt unten immer schneller raus) steigt das Wasser im Rohr auch langsamer an.
Ich hoffe das hat man so halbwegs verstanden was ich meine. |
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kurellajunior
Anmeldungsdatum: 16.08.2004
Beiträge: 16
Wohnort: Berlin
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| kurellajunior Verfasst am: 12. März 2005 15:06 Titel: |
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Erweiterung des Prinzips:- Betrachte die Röhre unten zu und stelle die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit auf (einfach)
- Betrachte die Röhre voll und bestimme die Funktion der Höhe beim Ablaufen (schwieriger)
- bestimme aus 2. die Abflussmenge pro Höhe und subtrahiere den Wert von 1. (knifflig)
- Überprüfe, ob der Grenzwert für
 größer als 600m ist
- fertig
Jan |
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gast
Gast
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| gast Verfasst am: 12. März 2005 15:24 Titel: |
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hallo ihr beiden,
wir haben glücklicherweise die gleichen Überlegungen wie ihr angestrengt , sind theoretisch auf das gleiche Ergebnis gekommen .
Allerdings haben wir noch keine exakte mathematische Lösung . |
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etzwane
Anmeldungsdatum: 23.12.2004
Beiträge: 90
Wohnort: Hude
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| etzwane Verfasst am: 12. März 2005 19:23 Titel: |
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Ist bei der Aufgabe nicht angegeben, wieviel Wasser pro Zeiteinheit zuläuft ?
Angenommen, die Röhre ist voll, dann ist die Ausströmgeschwindigkeit unten  , und durch eine perfekt abgerundete Bohrung mit Querschnitt  und ohne irgendwelche sonstigen Verluste würde dann eine Wassermenge von  ausströmen.
Soviel muss also mindestens zufließen. |
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kurellajunior
Anmeldungsdatum: 16.08.2004
Beiträge: 16
Wohnort: Berlin
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| kurellajunior Verfasst am: 12. März 2005 20:02 Titel: |
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Na damit lässt sich doch arbeiten. Jetzt nur noch ) bestimmen *g* und alles als eine Funktion der Zeit.
Dann haben wir es doch schon fast...
Jan |
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etzwane
Anmeldungsdatum: 23.12.2004
Beiträge: 90
Wohnort: Hude
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| etzwane Verfasst am: 12. März 2005 21:54 Titel: |
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Es sei:
 =Durchmesser des Rohres
 =Höhe des Rohres
 =Querschnitt des Rohres
=Fläche der Abflussbohrung
 =momentane Höhe des Wasserspiegels zum Zeitpunkt t
 =zufließende Wassermenge
 =abfließende Wassermenge
 Wasservolumen im Rohr zum Zeitpunkt t
 für die Erdbeschleunigung
Nun gilt für die Zunahme des Wasservolumens im Rohr  ,
und mit  folgt
Eigentlich ist das jetzt eine ziemlich einfache DGL geworden:
also zu integrieren:
 mit der Anfangsbedingung 
(Erstmal aufgehört, will/muss das Ergebnis noch überprüfen.) |
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etzwane
Anmeldungsdatum: 23.12.2004
Beiträge: 90
Wohnort: Hude
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| etzwane Verfasst am: 13. März 2005 22:09 Titel: |
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Keinen Fehler gefunden bisher, also fröhlich weiter.
Etwas umgeformt zur Integration:
Jetzt substituieren z.B.:
 ergibt
 , und integriert:
)]^u_{u_0}= \frac{2}{k^2}\frac{A}{Q_{zu}}(-u-ln(1-u)))
und mit der Substitution zurück  : ))
Damit die Zeit positiv (>0) wird, muss  > k\sqrt{h_t} > 0 \text{ sein sowie } k\sqrt{h_t} < 1) ,
was wegen  auch gegeben ist.
Mit  erhält man also letztendlich für die Füllzeit als Funktion des Wasserstandes im Rohr
-\frac{A_1}{Q_{zu}}\sqrt{2gh_t}))
Kleine Kontrolle für die Füllzeit ohne Abflussbohrung, also mit  :
Mit -x = x+x^2/2+x^3/3+... -x = x^2/2+x^3/3+...) für kleine x nahe 0 folgt
=\frac{A\cdot h_t}{Q_{zu}})
= Volumen des Rohres geteilt durch die Zuflussmenge, das passt also schon mal. |
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Gast
Gast
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| Gast Verfasst am: 17. März 2005 18:02 Titel: |
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Hallo
und vielen Dank für die exakte und kompetente Lösung.
Da es sich bei der Aufgabe nicht um eine theoretische sonden um eine praktische Aufgabe handelt , gebe ich euch hier noch ein paar Hintergrundinformationen:
Wir planen einen Brunnen mit einer Tiefe von 770m.Die Pumpe ist unter einem frei aufhehängtem Rohr befestigt.Der Rohrinnendurchmesser beträgt 244mm.Damit die Pumpe im Störungsfall problemlos "gezogen" werden kann , muß die Wassersäule die sich im Rohr befindet sich über eine 10mm Bohrung am unteren Ende des Rohres entleeren.
Mit der Formel von etzwane läßt sich nun die Füllzeit beim Befüllen der "Steigleitung" berechnen.!! |
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