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Gast
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 Gast Verfasst am: 10. März 2005 18:28 Titel: Klopapier Rollen |
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Hi ich habe eine Aufgabe.
Auf einer Ebene, werden oben 2 Rollen Klopapier losgelassen, die eine wird oben jedoch so befestigt, dass sie auf dem Rollweg sich abspult, die andere wird einfach soll losgelassen und rollt runter.
Welche kommt schneller unten an??
Wie sollte ich die Aufgabe anfangen, hab keine ansätze danke! |
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Dieter5858
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.08.2004
Beiträge: 696
Wohnort: Hamburg
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| Dieter5858 Verfasst am: 10. März 2005 18:33 Titel: |
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Hiho
Interresante Frage.
Ich würd sagen die die sich nicht abspult.
Mit der Begründung das sich bei ihr der Umfang nicht verändert.
Bei der anderen wird der Umfang ja kleiner und bei gleicher Drehgeschwindigkeit kommt die nicht abspulende unten schneller an.
Vorraussetzung ist dabei nur das die Drehgeschwindigkeit gleich ist. |
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Mister S
Anmeldungsdatum: 06.01.2005
Beiträge: 426
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| Mister S Verfasst am: 10. März 2005 18:37 Titel: |
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Davon kannst du nicht ausgehen! Die beiden müssen die gleiche Energie erhalten. Da geht ein Teil in den Drehmoment, der andere in die Geschwindigkeit. Die Rolle, die den kleineren Anteil in den Drehimpuls verliert, gewinnt. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 10. März 2005 18:38 Titel: |
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Hi ja kann sein, der Umfang nimmt ja bei größerem s immer mehr ab, da die sich ja abspult.
Die Hangabtriebskraft spielt dabei vielleicht auch eine Rolle F= g* sin (a)
Wenn sich die Rolle abspult verliert sie ja auch an Masse und somit ich die Hangabtriebskraft geringer, jedoch auch bei geringerer Masse.
kannst du das auch rechnerisch beweisen?
danke |
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dachdecker2
Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004
Beiträge: 1174
Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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| dachdecker2 Verfasst am: 10. März 2005 18:42 Titel: |
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Wenn beide rollen und eine dabei abgespult wird, dann könnte die sich abspulende Rolle zuerst ankommen. Begründung: die Rolle, die sich abspult verliert immer mehr Trägheitsmoment (quadratisch mit dem Durchmesser). Man müsste einfach mal rechnen  , während die Rotationsenergie des abspulenden Klopapiers in der verbleibenden Rolle bleibt.
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Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 10. März 2005 18:43 Titel: |
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Kannst dus mal mit beliebigen d und m rechnen? |
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Aqua
Anmeldungsdatum: 10.03.2005
Beiträge: 45
Wohnort: Berlin
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| Aqua Verfasst am: 10. März 2005 19:02 Titel: |
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Ist den die Reibung der abrollenden Rolle als irrelevant zu betrachten?
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Diejenigen, die durch ihr Wissen die Höhen der Welt erklimmen,
Mit ihrem Verstand die Unendlichkeit der Himmel erkunden,
Sie leben, einem auf den Kopf gestellten Himmelsschnitt gleich,
mit einem Schwindelgefühl.
Umar al-Hayyam |
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dachdecker2
Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004
Beiträge: 1174
Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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| dachdecker2 Verfasst am: 10. März 2005 19:04 Titel: |
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Wenn das Klopapier trocken und nicht klebrig ist, sollte bei beiden die Reibung sehr ähnlich sein  .
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Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de
Zuletzt bearbeitet von dachdecker2 am 10. März 2005 19:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 10. März 2005 19:04 Titel: |
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ja die reibung denke ich ist zu vernachlässigen, man soll die aufgabe mit hilfe von dem begriff ,,kreisbewegungen" und beschleunigung lösen. |
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Mr.E
Anmeldungsdatum: 05.05.2004
Beiträge: 61
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Gast
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| Gast Verfasst am: 10. März 2005 21:57 Titel: |
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Die Rotationsenergie ist bei beiden Rollen gleich, denn beide Körper rollen die gleiche Schiefe ebene herunter mit der gleichen Erdanziehung.
Eine Flasche die mit Wasser gefüllt ist fliegt auch gleich schnell wie eine Flasche, die oben geöffnet ist und ausläuft, wenn beide in einem luftleeren Raum von gleicher Höhen unter Einwirkung gleicher Erdanziehung gefallen lassen wird.
Hier ist jedoch zu unterscheiden, dass bei der Rolle die sich abspült, der Radius immer mehr abnimmt, desto mehr Weg sie zurücklegt.
Somit nimmt der Träggheitsmoment ab. |
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dachdecker2
Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004
Beiträge: 1174
Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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| dachdecker2 Verfasst am: 10. März 2005 21:59 Titel: |
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Das ist nicht richtig... mit der fallenden Masse der sich abspulenden Rolle wird der Zugewinn an kinetischer und Rotagionsenergie natürlich kleiner.
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Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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Mr.E
Anmeldungsdatum: 05.05.2004
Beiträge: 61
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etzwane
Anmeldungsdatum: 23.12.2004
Beiträge: 90
Wohnort: Hude
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| etzwane Verfasst am: 10. März 2005 22:33 Titel: |
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Was ist, wenn man mal ein anderes ähnliches Problem betrachet:
Auf einer schiefen Ebene werden 2 unterschiedliche Rollen losgelassen, eine davon mit sehr kleinem Durchmesser und damit Trägheitsmoment, die andere mit sehr großem Durchmesser und Trägheitsmoment, beide aus gleichem Material. Welche der Rollen kommt schneller unten an?
Ich würde spontan sagen, die kleinere Rolle, da mehr Energie aufgewendet werden muss, die große Rolle in Drehbewegung zu versetzen.
Es ist doch  mit  , also ) ,
und je größer J, desto kleiner ist v.
Andrerseit gilt für das Trägheitsmoment einer Rolle J=m*r^2/2, also J/r^2=m/2, so dass bleibt: bei größerer Masse ist die erreichte Endgeschwindigkeit kleiner, die mittl. Geschw. also auch, die erforderliche Zeit bis nach unten also größer.
Aber ob das so stimmt ??? |
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Sulei
Anmeldungsdatum: 14.02.2005
Beiträge: 24
Wohnort: Kaiserslautern
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| Sulei Verfasst am: 10. März 2005 23:05 Titel: |
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So, ich hab mich mal mit dem Problem etwas auseinandergesetzt und bin auch zu einem Ergebnis gekommen. Sollte ich mich jetzt vertexen, bitte ich um Verzeihung, ist mein Tex-Debüt .
Erstmal die Definitionen:
Innenradius der Klopapierrolle sei  , Außenradius sei  . Die Translationsbeschleunigung des Schwerpunkts beim runterrollen sei  und zuletzt der Neigungswinkel der schiefen Ebene  . Das Hauptträgheitsmoment ergibt sich dann nach kurzer Rechnung:
) , das Trägheitsmoment 'am Außenradius' der Rolle, also im Abstand , nach Steiner:
 .
Jetzt zum konkreten Vorgang: Die Drehung der Rolle erfolgt um die jeweilige Berührungslinie mit der schiefen Ebene, das wirkende Drehmoment hierbei ist )R_a) . Mit  folgt
=I\dot{\omega}) .
Die Translationsbeschleunigung des Schwerpunkts ist gleich der Umfangsbeschleunigung  , mit der der Körper die schiefe Ebene herunterrollt. Also gilt:
}{I_s+MR_a^2}=\frac{gsin(\alpha)}{1+\frac{I_s}{MR_a^2}}.)
Jetzt wurde mir das genaue Weiterrechnen etwas zu nervig, da es hier eh nur um eine qualitative Aussage geht, argumentiere ich mit der Proportionalität von a weiter.
^{-1} <=> a~(1+1+0.5\frac{R_i^2}{R_a^2})^{-1}) .
Bei der Rolle, die sich abrollt, wird der Außenradius mit der Zeit kleiner, also wird der Bruch mit  im Nenner größer, der Ausdruck in der Klammer damit ebenfalls, a folgerichtig dann kleiner.
Hieraus kann also geschlossen werden, dass die Rolle, bei der sich das Klopapier abrollt, später unten ankommt.
Achja - ich bin immer dankbar für Fehlerchecks ... |
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Mr.E
Anmeldungsdatum: 05.05.2004
Beiträge: 61
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| Mr.E Verfasst am: 10. März 2005 23:18 Titel: |
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Um mal meinen obigen Post zu "entspammen":
Ich meinte, die sich abrollende Rolle berührt zwar den Untergrund, dort bewegt sie sich aber nicht so, wie die andere Rolle.
Eigentlich liegt sie, zumindest mit einem Teil der Auflagefläche, nur auf und bewegt sich nicht.
Da rollt eher Papier auf Papier.
Aber da muß ich nochmal genauer drüber nachdenken. Und auch mal die nächsten Verwandten mit pisa(c?)ken.
_________________
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kurellajunior
Anmeldungsdatum: 16.08.2004
Beiträge: 16
Wohnort: Berlin
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| kurellajunior Verfasst am: 11. März 2005 10:16 Titel: |
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Habs mal versucht nachzuvollziehen:
| Sulei hat Folgendes geschrieben: | }{I_s+MR_a^2}=\frac{g\sin(\alpha)}{1+\frac{I_s}{MR_a^2}}.) |
Für die Umformung bin ich wohl zu bled. Wo sind denn die "r"s hin?
| Sulei hat Folgendes geschrieben: | .
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Folgerung versteh' ich, aber sollte es nicht heißen:
}{MR_a^2}\right)^{-1}\\\Leftrightarrow& a\left(1+0.5+0.5\frac{R_i^2}{R_a^2}\right)^{-1})
Achja  erzeugt man mit Sieht schöner aus
Und wenn Du wissen willst wo die Pfeile herkommen und die Ausrichtung und die Umbrüche, einfach zitieren.
Bei weiteren Fragen zu LaTeX im InformatikerBoard melden |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 11. März 2005 10:31 Titel: |
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Warum soll sich die Rolle immer um den Berührpunkt mit dem Boden drehen? Die Rolle dreht sich doch wie gewohnt um ihren Mittelpunkt. oder nicht?
Damit wäre der Satz von Steiner hier garnicht nötig.
Ich schließe mich der Vermutung von dachdecker2 an. Weil das Trägheitsmoment immer kleiner wird, geht weniger potentielle Energie in die Rotation, wodurch automatisch mehr potentielle Energie in kinetische Energie geht.
Hmm, ich glaub ich rechne dazu auch mal was, aber das mach ich erstmal auf dem Papier.
EDiT: Hehe, nun kommt bei mir natürlich was raus, was wider meiner Vermutung ist. 
Also erstmal Energieerhaltung:
Nehmen wir mal an dass das Ding die ganze zeit rollt, es also  gilt, wobei  der Aussendurchmesser ist:
Nach  umgeformt:
Das Trägheistsmoment ist ) :
}{r_a^2}})
Umgeformt:
Gna, womit ich nun schonmal einen Fehler gefunden hätte... die Massen darf ich nämlich so garnicht kürzen, die beiden im Nenner nehmen ja mit der Höhe ab. 
Also nochmal da ansetzen:
+\frac{\frac{1}{2}m(h)(r_a^2+r_i^2)}{r_a^2}})
(\frac{3}{2}+\frac{r_i^2}{r_a^2})})
So jetzt bräucht ich noch nen Zusammenhang zwischen der Abnahme der Masse und der Abnahme von . Wer hilft mir da auf die Sprünge?
EDiT No2:
| kurellajunior hat Folgendes geschrieben: |
Auch ich muss meinen Beitrag wohl korrigieren... Da die Masse der zweiten Rolle nicht konstant bleibt, sind die Enregieerhaltungssätze nicht ohne weiteres anwendbar. Die Gesamtenergie der befestigten Rolle verteilt sich ja schließlich auch auf das leigengeblienene Papier |
(aus dem Matheboard zitiert)
Das hab ich mich grad auch gerfragt. Aber wenn ich mir einen Punkt auf der Rolle angucke, dann hat der den Ortsvektor:
=\begin{pmatrix} r\sin{\omega t}+\omega rt \\ r\cos{\omega t}\end{pmatrix})
(Die Masse startet oben auf der Rolle drauf)
Dann ist die Geschwindigkeit:
=\begin{pmatrix} \omega r\cos{\omega t}+\omega r \\ -\omega r\sin{\omega t}\end{pmatrix})
Wenn die Masse dann unten ist, wo sie abgerollt wird, ist  und damit ist die Geschwindigkeit:
Also dürfte da keine kinetische Energie flöten gehen.
_________________
Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 11. März 2005 11:49 Titel: |
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Vorschlag:
Lagrange Formalismus
Die Lagrange Gleichung für die Rolle die sich verkleinert sollte ja einfach
 sein
Das ganze in 2 Dimensionen und dann noch die Zwangsbedingungen  eingearbeitet wobei offensichtlich  Damit lässt sich das System alleine mit r als generalisierter Koordinate auffassen und die Dimension des Problems reduziert sich auf 1.
Ansatz zur Abhängikeit von Rollenradius von der zurückgelegten Strecke:
Bei jeder vollen Umdrehung nimmt der Radius um die Papierdicke ab, damit hat einher geht eine Abnahme von  und zwar sowohl in M als auch in R.
Soweit erstmal als überlegungsansatz. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 11. März 2005 12:59 Titel: |
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natürlich bleibt pot Energie liegen in Form der Masse und und der jeweils zugehörigen Höhe. Insgesamt dürfte das 1/2*ms*g*h sein, wobei ms die auf der kompletten Schiefe liegengebliebene Masse sein soll |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 11. März 2005 13:07 Titel: |
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| Anonymous hat Folgendes geschrieben: | | wobei offensichtlich |
Warum das offensichtlich ist, musst du mir erklären. Wenn das gelten würde, dann würde die rolle ja nicht rollen.
_________________
Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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kurellajunior
Anmeldungsdatum: 16.08.2004
Beiträge: 16
Wohnort: Berlin
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| kurellajunior Verfasst am: 11. März 2005 13:13 Titel: |
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Ok betrachten wir erstmal nur die befestigte Rolle. Da sich die Eigenschaften der Rolle über die Zeit ändern, werden wir wohl nicht um Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit drumrumkommen:
=E_{\mbox{kin}}(t) +E_{\mbox{rot}}(t) -E_{\mbox{pot}_R}(t))
Wobei ) die potentielle Energie des liegengebliebenen Klopapiers ist.
Man müsste jetzt dem Ansatz von Sulei folgen und ) für die befestigte Rolle bestimmen. Danach kann man ganz regulär mit den Gesetzen für die beschleunigte Bewegung die Zeitverhältnisse für die lose Rolle  und die befestigte Rolle  berechnen.
Der Ansatz von Sulei sollte aber noch um die Veränderlichkeit von ) erweitert werden.
Jan
Edit @navajo, nein keine kinetische, potentielle Energie "bleibt auf der Strecke" |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 11. März 2005 13:38 Titel: |
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Entschuldigung das hätte ich vielleicht dazu sagen sollen. Ich hab  etwas unüblich als den Anstellwinkel der ebene gemeint. Das war im Zusammenhang mit der Aufgabe vielleicht ein wenig unglücklich. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 11. März 2005 17:13 Titel: |
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| Zitat: | | Ansatz zur Abhängikeit von Rollenradius von der zurückgelegten Strecke: |
Dazu folgende Überlegung:
Der Radius R nimmt nach einer Umdrehung um 2*d ab, wobei d die Papierdicke sei. Die Kreisfrequenz  der Rolle beschreibt aber wieviele Umdrehungen die Rolle pro Sekunde macht. Also ist die Abnahme des Radius pro Zeit:
 = \omega * 2 * d)
Mit 
bekommt man  = \frac {d \phi} {dt} * 2 * d)
Aus der Drehung um einen Winkel  und dem aktuellem Radius R(t) läßt sich die zurückgelegte, weil abgerollte Strecke berechnen, die die Klorolle macht:
)
Damit ist folgender Zusammenhang erkennbar
 = \frac {ds} {dt} * \frac {2 * d} {R(t)})
Also gilt mit s'(t) als Translationsgeschwindigkeit der Rolle
 = \frac {1} {2d} * R'(t) * R(t))
Um die Abhängigkeit von Rollenradius zur zurückgelegten Strecke zu bekommen, muss NUR noch s'(t) über t integriert werden...kann das einer ?  |
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SheepTrick
Anmeldungsdatum: 07.03.2005
Beiträge: 99
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| SheepTrick Verfasst am: 11. März 2005 17:15 Titel: |
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...das war ich....falls jemand fragt...bääääh |
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Dieter5858
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.08.2004
Beiträge: 696
Wohnort: Hamburg
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| Dieter5858 Verfasst am: 11. März 2005 17:19 Titel: |
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Hiho Leute
Also wie ist nu?
Kommen wir hier nochmal zum Schluss(Ergebniss)?
Schon beschämend das man für so eine (einfache) Frage Formeln braucht.
Aber ich finds gut das man sich auch darüber Gedanken machen kann.
Hört der Autor der Frage eigentlich noch zu? |
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kurellajunior
Anmeldungsdatum: 16.08.2004
Beiträge: 16
Wohnort: Berlin
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SheepTrick
Anmeldungsdatum: 07.03.2005
Beiträge: 99
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| SheepTrick Verfasst am: 11. März 2005 20:52 Titel: |
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Wenn jetzt die Klopapierrolle keine Papprolle in der Mitte hätte, kommt Deine Verhältnisrechnung auf den festen Wert E_trans = E_rot * 2. Und beim abrollen bleibt es auch so.
Heisst das Mullbinden rollen anders ab als Klopapier ? 
Heisst das, das Pappröllchen in der Mitte "bremst" irgendwie...sofern abgerollt wird ? |
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Sulei
Anmeldungsdatum: 14.02.2005
Beiträge: 24
Wohnort: Kaiserslautern
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| Sulei Verfasst am: 11. März 2005 21:26 Titel: |
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Ich glaub ich schick die Aufgabe an unseren Fachbereich, für die Ersties zur Übung  .
| kurellajunior hat Folgendes geschrieben: | Habs mal versucht nachzuvollziehen:
| Sulei hat Folgendes geschrieben: | |
Für die Umformung bin ich wohl zu bled. Wo sind denn die "r"s hin? |
Die "r"s waren ja eigentlich ""s und haben sich da entsprechend gekürzt.
| Zitat: | | Sulei hat Folgendes geschrieben: | .
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Folgerung versteh' ich, aber sollte es nicht heißen:
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Hier hat Latex anscheinend ein paar Proportionalitätszeichen (~) geschluckt .
| Zitat: | Achja erzeugt man mit Sieht schöner aus
Und wenn Du wissen willst wo die Pfeile herkommen und die Ausrichtung und die Umbrüche, einfach zitieren.
Bei weiteren Fragen zu LaTeX im InformatikerBoard melden |
Geht klar
| Zitat: | | Warum soll sich die Rolle immer um den Berührpunkt mit dem Boden drehen? Die Rolle dreht sich doch wie gewohnt um ihren Mittelpunkt. oder nicht? |
Du kannst die Bewegung einerseits als Drehung um den Mittelpunkt mit Translationsbewegung des Körpers auffassen, aber auch einfach als Drehung um die Berührungsachse mit der Ebene (die sich natürlich auch bewegt). Ist zwar etwas komplizierter vorstellbar, hat aber den Vorteil, dass wir  offensichtlicher setzen können. Im Zweifelsfall Skizze .
| Zitat: | | Schon beschämend das man für so eine (einfache) Frage Formeln braucht. |
So einfach finde ich die Frage garnicht. Außerdem - denk doch mal an Fermats letzten Satz. Da war die Frage auch extrem einfach: Beweise, dass es für  keine ganzzahligen a, b, c gibt, die die Gleichung  (die ja für n=2 in den Pythagoras übergeht) erfüllen...
Ich melde mich demnächst dann nochmal mit einem weiteren Lösungsansatz, werde das erstmal mit ein paar mehr Leuten durchdiskutieren . |
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kurellajunior
Anmeldungsdatum: 16.08.2004
Beiträge: 16
Wohnort: Berlin
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| kurellajunior Verfasst am: 11. März 2005 22:11 Titel: |
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Übrigens hat Arthur Dent auf dem Matheboard gezeigt, dass die befestigte Rolle tatsächlich schneller unten ankommen muss. Ich habs tapfer gesucht, konnte aber weder Fehler noch Widerspruch finden.
Hier der Link zur Erläuterung
Jan |
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Gast
Gast
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| Gast Verfasst am: 17. März 2005 11:16 Titel: Toll |
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 :dance |
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