Überlagerung von Wasserstoffwellenfunktionen

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Hallo liebe Forengemeinde,

ich sitze über folgender Aufgabe und komme einfach nicht weiter:
Eine Wellenfunktion ist zum Zeitpunkt t=0 gegeben durch eine Überlagerung von Wasserstoffwellenfunktionen:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das System in den Zuständen nlm=100 anzutreffen?

Ich weiß, dass die Wahrscheinlichkeit definiert ist durch:

Wenn ich nun den Zustand 100 haben wirll, muss ich dann einfach nur in die Wellenfunktion n=1, l=m=0 einsetzen und dann über die Laguerre-Polynome mir die Wahrscheinlichkeit aufschreiben? Mein problem ist, dass ich dann aber gar nicht die aktuelle Wellenfunktion, also die Überlagerung berücksichtige. Wenn ich die aber dort einsetze, wie berechne ich dann den speziellen Zustand 100?

Vielen Dank für eure Hilfe.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

die Eigenfunktionen stehen allesamt senkrecht aufeinander, hilft dir das schon? Augenzwinkern

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Leider hilft es nicht wirklich. Muss ich die gegebene Überlagerung zerlegen und in die Wahrscheinlichkeit dann nur den Psi100 Term einsetzen?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die gegebene Wellenfunktion ist ja schon zerlegt. Weißt du , was die Größe

angibt? Hast du schon vom Begriff Wahrscheinlichkeitsamplitude gehört?

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Nein, diese Größe sagt mir so auch noch nichts. Vielleicht kenne ich sie mit einer anderen Notation.
Mit<> kenne ich nur die Definition des Erwartungswerts eines Operators.
Die Wahrscheinlichkeit ist doh das Quadrat der wellenfunktion. Darüber dann das Integerql gäbe doch die Aufenthaltswahescheinlichkeit.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Jeder allgemeine Zustand kann als Überlagerung von Basiszuständen angeschrieben werden:

mit komplexen Koeffizienten

, die angeben, was der "Anteil" des i-ten Basiszustands im Gesamtzustand ist. Das Betragsquadrat der

ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer "Messung" den Zustand

zu erhalten. In deinem Beispiel hast du den Zustand schon als Überlagerung von Basiszuständen vorliegen, und brauchst nur noch das

herauszufinden. Thumbs up!

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Ah ok.
Wenn ich also jeden allgemeinen Zustand als Summe der Basiszustände schreiben kann, dann müsste ich ja im obigen Beispiel nur noch die Summe "auseinander ziehen" und würde, allerdings hier reelle Koeffizienten erhalten:

Analog dann

Davon das Quadrat ergäbe meine Wahrscheinlichkeitsamplitude, das System im jeweiligen Zustand anzutreffen.
Nur wie wäre dann die Wahrscheinlichkeit da System in einem beliebigen Zustand anzutreffen? Addieren sich dann alle Koeffizienten c?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

was meinst du mit beliebigem Zustand?

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

So steht es zumindest in der Aufgabe, Zitat:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass System in einem beliebigen, anderen Zusstand anzutreffen?"

Als andere Zustände könnte das System doch nur noch 200 und 321 haben.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

wieso? es gibt ja noch beliebige Überlagerungen der Basiszustände. Alle davon sind "Zustände".

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, in der vorgegebenen Überlagerung

beliebige andere (normierte) Zustände

zu "finden" ist

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Aber wax bedeuten diese <> Klammern als Rechenanweisung?
Die müssen ja für irgend etwas stehen.
Ich kenne es als Erwartungswert für diese Größe, somit ein Integral über den Raum von der Wahrscheinlichkeitsdicht (Betragsquadrat der Wellenfunktion) multipliziert mit der jeweiligen Größe, von der man den Erwartungswert berechnen will.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das ist bloß die Dirac'sche Schreibweise des inneren Produkts für allgemeine Zustände. Für den konkreten Fall von zwei Ortswellenfunktionen ist

Für zwei Basiswellenfunktionen haben wir die Orthonormalitätsrelation

Du musst daher das Integral nicht ausführen, wenn du die Koeffizienten kennst.

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Daher war mir die Schreibweise unbekannt. Diracschreibweise wird bei uns wohl nicht eingeführt in einer Experimentalvorlesung.
Vielen, vielen Dank nochmals für deine Hilfe.