Aufgabe zu Energieerhaltungssätzen

Oktaeder · Gast

Meine Frage:
Ich schreibe bald eine Klausur in Physik und habe ein paar Fragen.
Es geht um Aufgabe, die ich selber ausgedacht habe um mich für die Klausur vorzubereiten:
An eine Feder mit der Federkonstanten D=10N/m wird eine Masse m=0,2kg aufgehängt und losgelassen, die Feder schwingt harmonisch weiter. Zu berechnen ist die maximale Geschwindigkeit v.

Meine Ideen:
Als Ansatz habe ich:
Bezeichnen wir die Strecke zwischen oberem und unterem Umkehrpunkt s. die Geschwindigkeit ist genau zwischen dem oberem und unterem Umkehrpunkt maximal. Unten hat das Feder nur Spannenergie und oben nur potentielle Energie. Sei der Abstand zwischen dem Punkt, wo die Feder die maximale Geschwindigkeit hat und unterem Umkehrpunkt s0.
Da keine Energie verloren geht gilt:
E(spann) am unterem Umkehrpunkt = E(kin)+E(pot)+E(spann) in der Mitte
0,5Ds²=0,5mv²+mgs0+0,5Ds0²
jetzt löse ich nach v auf, sofern das richtig ist
v²=(Ds²-Ds0²-2mgs0)/m
Ds²-Ds0²=0,75Ds² (kann man das so machen?, weil s=2*s0)
also ist v=wurzel aus (0,75(Ds)²-2mgs0)/m
s= 0,392 m/s
s0=s/2=0,196 m/s , wie ich gerade berechnet habe.
Werte ich die Formel einsetzen ergibt:
v=wurzel aus ((0,75*10N/m*0,392m/s)²-2*0,2kg*9,81m/s²*0,196m))/0,2kg
daraus folgt: (11.5248N²/s²-3.924kg*m²/s²)/0,2kg=38,004m²/s²
Die Wurzel daraus ist 6,16474m/s
Ich bezweifele das es richtig ist, vor allem mit den Einheiten unglücklich

, bin mehr ein Mathematiker.
Und gibt es keinen Weg das schneller und eleganter zu lösen?

Was mich noch interessieren würde: Wie berechnet man z.B. die Stellen, wo die Feder keine maximale Geschwindigkeit hat, sondern zB v=3?
Könnt ihr mir mindestens einen Ansatz geben? Braucht man dafür vllt. quadratische Funktionen ?

Entschuldigung, dass ich so unübersichtlich geschrieben habe. Wäre für die Hilfe sehr dankbar.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das Ergebnis würde ich nochmals überdenken...

Magdalena · Gast

Wieso kannst du einfach vorraussetzen dass s=2s0 ? Ich würde die ganze Geschichte umdrehen und das Massestück "nach oben" fliegen lassen, das macht die Aufgabe eindeutiger.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Oktaeder · Gast

Magdalena · Gast

Was ich meinte, ist: s0 ist die Hälfte der Strecke. Okay, akzeptiert. Aber woher willst du wissen dass die Geschwindigkeit auf der Hälfte der Strecke maximal ist? Oder ist das ne weitere Vorgabe? Ich verstehs nämlich nicht so ganz warum das so sein soll.

Oktaeder · Gast

Ja, das ist eine Vorgabe.

Ich bräuchte noch Hilfe, bei der Bestimmung der Stellen wo v=1m/s ist. Ich mache erst seit einem halben Jahr Physik, darum kann ich solche Formeln wie v(t)=ymax*w*cos(wt) nicht. Wir lernen im Moment erst die Energieerhaltungssätze.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Dein Ansatz, sich auf die Schwingungsgleichung zu berufen, ist richtig. Die ergibt sich als Lösung der Differentialgleichung, die sich aus dem Kräftegleichgewicht an einer beliebigen Stelle x während des Schwingungsvorgangs ergibt. Dabei ist x die Auslenkung aus der Ruhelage (die Du mit s0 bezeichnet hast). Kräftegleichgewicht: Trägheitskraft + Federspannkraft = Null

[; m\cdot\ddot x + D\cdot x = 0 ;]

Diese Gleichung hat mehrere mögliche Lösungen, je nachdem, wie man den zeitlichen Nullpunkt definiert. Sofern man de zeitlichen Nullpunkt im positiven Durchgang durch die Ruhelage definiert, ist die Lösung

x = Xmax*sin(wt)

Wenn man wie Du den zeitlichen Nullpunkt im oberen Umkehrpunkt definiert, ergibt sich

x = Xmax*cos(wt)

Dabei ist w (omega) die sogenannte Kreisfrequenz, die sich beim Lösen der Dgl. automatisch zu w = sqrt(D/m) ergibt, während Xmax sich aus dem Energieerhaltungssatz zu Xmax = m*g/D ergibt.

Nehmen wir mal die erste obere Gleichung als Ausgangspunkt und leiten sie nach der Zeit ab, so ergibt sich

dx/dt = v = w*Xmax*cos(wt)

was sich auch schreiben lässt als

v = vmax*cos(wt)

Die maximale Geschwindigkeit ist also vmax = w*Xmax und ergibt genau den Wert, den Du schließlich auch bestimmt hast.

Wenn Du die Auslenkung bestimmen willst, an der die Masse eine bestimmte Geschwindigkeit v hat, so setzt Du diese Geschwindigkeit in Deine Geschwindigkeitsgleichung ein und erhältst

wt = arccos(v/vmax) (Achtung! Taschenrechner auf Bogenmaß RAD stellen)

Diesen Winkel setzt Du in Deine "Weggleichung" ein und erhältst die zugehörige Auslenkung:

x = Xmax*sin(arccos(v/vmax))

Magdalena · Gast

Um die "Stelle" zu berechnen an der v=1m/s ist würde ich das versuchen:

0.5*m*v²+m*g*s(1)+0.5*D*(s-s(1))²=m*g*s

s(1) ist die gesuchte "Stelle". Die Summe der kinetischen, potentiellen und Spannenergie müsste an dieser Stelle so groß sein wie die potentielle Energie der Masse bei s. 1m/s für v einsetzen und nach s(1) auflösen. (s ist gegeben?)

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Oktaeder · Gast

s ist 0,392m/s. Ich habe die Aufgabe selber ausgedacht, um mich auf die Klausur vorzubereiten. Also braucht man doch eine quadratische Gleichung lösen, wie ich habe. Mal sehen ob, ich das richtig gemacht habe:

ich lasse die Einheiten wieder aus:

0,5*0,2*1²+0,2*9,81s(1)+0,76832-5s(1)²=0,2*9,81*0,392
Zusammengefasst: -5s(1)²+1,962s(1)+0,1007
Es fällt auf, dass ich schon wieder einen Fehler gemacht habe grübelnd

Der Scheitelpunkt der Funktion liegt ca. bei x=0.2 und es kommen 2 verschiedene Lösungen raus. Die sollen doch gleich weit von x=0 entfernt sein ?

Und bei der Formel 0.5*m*v²+m*g*s(1)+0.5*D*(s-s(1))²=m*g*s verstehe ich nicht, warum es 0,5*D*(s-s(1))² heißt und nicht 0,5*D*s(1)²

Magdalena · Gast

Magdalena · Gast

Du hast bei der Rechnung die zweite binomische Formel außer Acht gelassen, und zwar bei 0,5*D*(s-s(1))²

Oktaeder · Gast

Jetzt habe ich die 2 binomische Formel mitberücksichtigt:

0,5*0,2*1²+0,2*9,81s(1)+5*0,392²-2*0,392*s(1)+s(1)²=0,2*9,81*0,392

5s(1)²+1,178s(1)+0,993=0
Diese Funktion hat 2 Lösungen: Einmal ungefähr bei x=0 und ca. bei x=-0,23
Wie bestimmt man jetzt die "Stellen" wo v=1m/s ist, wenn man Nullstellen hat, falls sie richtig sind?
Wenn ich falsch gerechnet habe, dann bitte ich dich darum mir das vorzurechnen, sonst mache ich immer wieder Fehler.

Oktaeder · Gast

Ich denke, ich habe es geschafft:

x=xmax*sin(wt)
v=w*xmax*cos(wt)=vmax*cos(wt)
wt=arccos(v/vmax)
wt=arccos(1/1,38)=0,76
Und jetzt setzt man den Winkel in die Stammfunktion ein x=xmax*sin(0,76)
x=0,196*sin(0,76)=0,135m
Also ist die v=1m/s bei s=0,135m und s=-0,135m
Ist das richtig so?

Und habe ich das mit Hilfe von Enegrieerhaltungssätzen im vorheerigem Beitrag richtig berechnet? Ich glaube nicht. Bitte korrigiert alles, was ich falsch gemacht habe. Ich schreibe morgen die Klausur und muss noch andere Themen üben.

Oktaeder · Gast

Bitte, ich schreibe morgen die Klausur und brauche dringend Hilfe.

Also nochmal:
An eine Feder mit der Federkonstanten D=10N/m wird ein Körper mit der Masse m=0,2kg aufgehängt und die Feder beginnt harmonisch zu schwingen. Die maximale v habe ich schon berechnet= 1,38 m/s, jetzt muss ich können mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes auszurechnen, wo die Masse die Geschwindigkeit v=1m/s hat. Und der Abstand zwischen oberem und unterem Umkehrpunkt ist gleich 0,392m.

Ich habe schon versucht es auszurechnen mit der Formel:

0.5*m*v²+m*g*s(1)+0.5*D*(s-s(1))²=m*g*s

aber ich verrechne mich immer unglücklich

Könnt ihr bitte die Gleichung lösen ? Es ist keine Hausaufgabe, die Aufgabe habe ich selber ausgedacht um mich auf die Klausur vorzubereiten.

Oktaeder · Gast

Oktaeder · Gast

bitte