renormierbare lagrangedichte

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

die frage ist: wann ist eine lagrangedichte renormierbar?
-bis jetzt habe ich eine notwendige bedingung gefunden: die massendimension der kopplungskonstanten ist größer oder gleich null.
-außerdem sind eichtheorien renormierbar

gibt es noch irgendwelche dinge, die hier zu beachten wären?

gruß bollen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Du hast die wesentlichen Punkte bereits zusammengetragen.

Eichtheorien (in vier Dimensionen) sind übigens genau deswegen renormierbar, weil sie eine dimensionslose Kopplunsgkonstante haben.

Im Falle negativer Massendimensionen treten immer höhere Divergenzen auf, die neue Counterterme mit neuen Parametern erfodern, so dass also die Divergenzen nicht in eine endliche Anzahl von Parametern absorbiert werden können. Im Falle positiver Massendimensionen können sogenannte super-renormierbare Theorien entstehen, die nur eine endliche Anzahl an Divergenzen enthalten; so ist z.B. die QCD in 1+1 Dimensionen super-renormierbar: die einzige auftretende Divergenz wird durch die Normalordnung bereits eliminiert, d.h. höhere Feynmangraphen wären tatsächlich konvergent.

Die Anhängigkeit von der Dimension kann man leicht über das Zählen der Impuls-Dimensionen verstehen:

die Propagatorterme tragen jedoch jeweils die selbe Dimension, d.h. Fermionen -1 sowie Bosonen -2.

Es kann Gründe geben, dass Theorien trotz der zunächst vermuteten Nicht-Renormierbarkeit vom diesem Verhalten entsprechend des naiven Power-Counting abweichen.
1) SUSYs verhalten sich immer besser, da sich hier Bosonen- und Fermionen-Loops (teilw.) gegenseitig aufheben.
2) die SUGRA verhält sich ebenfalls besser
3) in einigen SUGRAs wird sogar über Endlichkeit spekuliert; dabei werden aber meines Erachtens on-shell Amplituden betrachtet, d.h. dass sich Divergenzen möglicherweise nur off-shell bemerkbar machen (das ist aber alles ziemlich misteriös)
4) es kann zusätzliche Symmetrien geben (auch im Falle der SUGRA), die für ein besseres Verhalten sorgen; z.B. ist die naive störunsgtheoretische Quantisierung der ART nicht-renormierbar, jedoch ohne Materiefelder in erster Ordnung sogar endlich (zumindest on-shell; wenn ich da nicht was grundätzlich falsch verstanden habe); sie ist jedoch in erster Ordnung divergent, sobald man Materiekopplungen einführt. D.h.dass es weitere Eigenschaften geben kann, die das naive Power-Counting Verhalten beeinflussen.

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

vorerst mal vielen dank für die antwort.

oh ja, ich bin ein bisschen blöd^^, ist mir garnich aufgefallen, dass ja alle eichtheorien per konstruktion dimensionslose kopplungskonstanten liefern...
aber ist die bedingung: dimension der kopplungskonstante größergleich null auch hinreichend, oder nur notwendig?
und der konkrete zusammenhang zwischen kopplungskonstante und divergenz der auftetenden schleifenintegrale ist mir noch nicht so recht klar.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Das power-counting liefert dir folgendes: Dimensionen der Beiträge von
- Vertizes, d.h. Kopplungskonstante * Beiträge der Felder
- Propagatoren

An jedem Vertex treffen ja Felder aufeinander (wie man in der Lagrangedichte sieht), und diese Felder tragen selbst eine sogenannte kanonische Dimension.

Die kanonische Dimension der Felder erhält man durch die Forderung, dass das freie Wirkungsintegral die Dimension einer Wirkung hat; die Dimension der Kopplungskonstanten erhält man durch die analoge Forderung für den Wechselwirkungsterm.

Für alle Beiträge kann man die kanonischen Dimensionenbestimmen; in Feynmanintegralen tragen dabei die Propagatoren nicht nur ihre eigentliche Dimension bei, sondern eben auch die des von mir genannten Integrals. Deswegen ist das selbe Diagramm in 1+1 Dimensionen z.B. logarithmisch, in 3+1 Dimensionen dagegen quadratisch divergent.

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

im moment verstehe ich ungefähr soviel (in D dimensionen):
kanonische dimension: "[...] = massendimension" (d.h. ich benutze natürliche einheiten)
[ort oder zeit] = -1, [masse oder energie] = 1
[wirkung] = 0 -> [lagrangedichte] = D
aus den kinetischen termen der felder ergeben sich die dimensionen der felder:
[skalares feld] = (D-2)/2, [eichfeld] = (D-2)/2, [fermionfeld] = (D-1)/2
->[kopplungskonstante für eichtheorie] = 0.

ein fermionpropagator im ortsraum besteht aus zwei fermionfeldern im ortsraum (die wickkontrahiert sind), hat also die dimension (D-1).
auf der anderen seite hat der fermionpropagator im impulsraum die dimension -1, sodass, wenn man das impuls-integral drüberlegt um in den ortsraum zu kommen, man konsistenterweise im ortsraum ebenfalls die dimension D-1 erhält.
der fermionpropagator (und analog jeder propagator) ist somit im impulsraum nicht dimensionsabhängig und damit ist die abhängigkeit einer divergenz von einem loopintegral ganz simpel über die dimension D des schleifenimpulsintegrals gegeben, d.h. ein integral das in 4 dimensionen noch quadratisch divergent war, ist in 2 dimensionen "quadratisch - 2 = logarithmisch" divergent. das hab ich dann soweit kapiert.

was ich nich ganz verstanden hab ist, wie du den ersten satz meinst:
"Das power-counting liefert dir folgendes: Dimensionen der Beiträge von
- Vertizes, d.h. Kopplungskonstante * Beiträge der Felder"

für mich gabs powercounting immer nur direkt im zusammenhang mit propagatoren, oder hast du damit gerade die kanonische dimension gemeint?

und vielleicht das wichtigste: wie helfen mir all diese werkzeuge weiter um zu erklären, dass wenn die kopplung dimensionslos (oder positiv) ist, die theorie renormierbar wird?

sagen wir ich habe z.b. die qed, mit der Wechselwirkung:

als eichtheorie mit dimensionsloser kopplungskonstante.

auf der anderen seite eine "falsche qed", mit der Wechselwirkung:

mit [e] = -1.

kann man mit den zusammengetragenen sachen irgenwelche aussagen über die renormierbarkeit treffen?

gruß bollen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich weiß ja nicht, was du über Power Counting alles weißt. Ich skizziere mal die Idee in einer rein skalaren Theorie.

Man startet mit einem Feynman-Diagramm mit

# Vertizes vom Typ i:

# skalarer Linien im Vertex vom Typ i:

# der Ableitungen am Vertex vom Typ i:

# externer skalarer Linien:

# interner skalarer Linien:

Man findet Relationen der Form

Für die Anzahl der Loops gilt

mit

Damit lässt sich der oberflächliche Divergenzgrad wie folgt bestimmen

mit

Letzteres lässt sich mittels der kanonischen Dimensionen der Felder zur Dimension der Kopplungskonstanten am Vertex vom Typ i in Verbindung setzen

Das alles erhält man durch Abzählen von Dimensionen und Betrachtungen des Graphen bzw. des Diagramms.

Wenn nun am Vertex vom Typ i ein positiver Index (= negative Dimension der Kopplungskonstanten) vorliegt, dann ist die Theorie nicht-renormierbar. Dazu betrachtet man die Divergenz einer Greensfunktion

Dabei wurde die Divergenz nach Potenzen des Impulses p entwickelt; der letzte Term der Reihe entspricht der quadratischen Divergenz. Diese Terme müssen nun durch Counterterme kompensiert werden. Dabei ersetzt man Impulse wieder durch Ableitungen. Die Counterterme haben die Form

Man erhält die kanonische Dimension sowie den Index

Wenn nun der Index am Vertex i größer Null ist, so wird auch der Index des Counterterms mit wachsender Anzahl der Vertizes beliebig groß. D.h. dass Counterterme der Form

,

für beliebig große m, n auftreten müssen.

Eigentlich hatte ich hier noch dein Beispiel durchgerechnet, aber dann leider einen Fehler gefunden; solange der nicht korrigiert ist, schmeiße ich den Teil wieder raus ...

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

vielen dank erstmal für die einführung ins powercounting. ich glaube, ich habe da bisher einiges missverstanden ... ich dachte immer power-counting bedeutet folgendes: betrachte z.b. vakuum polarisation -> 2 fermionpropagatoren, für große schleifen-impulse q gilt:
fermionpropagator ~ 1/q
damit folgt, für große schleifenimpulse:

weißt du, wie man so eine abschätzung nennt?

gruß bollen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

na ja, das ist natürlich der Beginn von Power Counting ...

Es handelt sich umden Divergenzgrad des Integrals; also ob das Intgegral z.B. logarithmisch, oder - wie in deinem Fall - quadratisch divergiert.

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

alles klar. vielen dank nochma für die antworten.

gruß bollen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Man kann sich übrigens mal ein paar Beispiele anschauen.

Betrachtet man den WW-Term

, so führt dieser natürlich zu genau vier Linien an einem Vertex. Mittels der kanonschen Dimension des Felder findet man auch die kanonische Dimension der Kopplungskonstanten.

Betrachtet man die WW-Terme des Gluonfeldes in der QCD, so benötigt man zuerst die Lagrangedichte. beginnen wir mit dem Feldstärketensor

und dem WW-Term

Daraus entstehen bilineare Terme sowie zwei Sorten an WW-Termen, nämlich einmal Terme mit

sowie mit

der erste Term enthält drei A-Felder sowie eine Ableitung; daraus werden im Feynman-Diagramm drei Linien am Vertex und ein Faktor mit einem Impuls sowie im zweiten Fall vier Linien am Vertex ohne zusätzlichen Impulsfaktor.

Es ist klar, dass der zusätzliche Impuls das Konvergenzverhalten des Integrals verschlechtert.

Betrachtet man die Problematik bei der Quantisierung der Gravitation, so findet man einen vertex,an dem ebenfalls drei Felder zusammentreffen (also drei Linien), aber noch ein zweiter Impulsfaktor. Diesre zusätzliche Impulsfaktor wird von der Dimension der Koppungskonstanten kompensiert.

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

also, nochmal vielen dank für all die antworten die du mir in den vergangen wochen gegeben hast! ich hatte heute prüfung und es ist super gelaufen!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

freut mich!