| Autor |
Nachricht |
clockwork
Gast
|
 clockwork Verfasst am: 03. Nov 2014 17:34 Titel: Maxwellgleichungen über Lagrangedichte, semiklassisches Feld |
 |
|
Hallo allerseits. Folgende Fragestellung.
Gegeben ist die Lagrangedichte:
(\frac{\hbar}{i} \nabla \psi^* + q \vec{A}\psi^*) - \frac{\hbar}{2i}[\psi^* \partial_t \psi - (\partial_t \psi^*)\psi] - \psi^* V \psi + \frac{\epsilon_0}{2} \vec{E}^2 - \frac{1}{2 \mu_0} \vec{B}^2 - \psi^* q \phi \psi)
Daraus sollen nun die Potentialgleichungen für  und  , die inhomogenen Maxwellgleichungen und die Schrödingergleichung hergeleitet werden.
Das sollte ja rein technisch kein Problem sein prinzipiell. Eigentlich nur ableiten. Die Bewegungsgleichung lautet allgemein ja für ) :
} = 0)
Wenn ich das aber nun z. B. für  mache, was die Schrödingergleichung ergeben müsste, komme ich zwar auf die einzelnen Terme der Schrödingergleichung, es bleiben aber auch Terme mit  und erhalten, was in der Schrödingergleichung ja nicht sein sollte (es sei denn es gibt eine Formulierung die mir soweit nicht bekannt ist). Ich mache das mal ausführlich. Wer den Fehler findet, melde sich. 
 + \frac{\hbar}{2i} \partial_t \psi^* - \psi^* V - \psi^* q \phi)
} = -\frac{\hbar}{2i} \partial_t \psi^*)
Nebenrechnung für die nächste Ableitung:
 = (\partial_{x_j} \psi) \partial_{x_j} \psi^*)
 = (\partial_{x_j} \psi) A_j)
Damit:
} = \frac{-\hbar^2}{2m} \partial_{x_j} \partial_{x_j} \psi^* + \frac{\hbar}{2mi}q \psi^* \partial_{x_j}A_j = \frac{-\hbar^2}{2m} \Delta \psi^* + \frac{\hbar}{2 m i} q \psi^* (\nabla \cdot \vec{A}))
Insgesamt habe ich also:
 + \frac{\hbar}{2i} \partial_t \psi^* - \psi^* V - \psi^* q \phi + \frac{\hbar}{2i} \partial_t \psi^* + \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi^* - \frac{\hbar}{2 m i} q \psi^* (\nabla \cdot \vec{A}) = 0)
 + \frac{\hbar}{i} \partial_t \psi^* - \psi^* V - \psi^* q \phi + \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi^* - \frac{\hbar}{2 m i} q \psi^* (\nabla \cdot \vec{A}) = 0)
Bischen umgeordnet, damit man sieht, dass es "fast" die Schrödingergleichung ist:
 \psi^*+ \frac{1}{2m} q \vec{A} (\frac{\hbar}{i} \nabla \psi^* + q \vec{A}\psi^*) + \psi^* q \phi + \frac{\hbar}{2 m i} q \psi^* (\nabla \cdot \vec{A}))
So. Alles nach dem ersten Term nach dem Gleichheitszeichen müsste eigentlich nicht da sein. 
Ist im Übrigen eine E-Dynamik-Vorlesung, auch wenn die Teilaufgabe jetzt Quantenmechanik ist, aber ich werde wahrscheinlich auch noch Fragen zur Herleitung der Maxwellgleichungen haben, worum es ja eigentlich geht bei der Aufgabe. Daher habe ich das Thema in diesem Bereich aufgemacht. |
|
 |
clockwork
Gast
|
| clockwork Verfasst am: 03. Nov 2014 18:38 Titel: |
|
|
Ah ja. Vielleicht sollte ich die Aufgabenstellung beim nächsten Mal genauer lesen. Es handelt sich um ein geladenes Teilchen das mit einem elektromagnetischen Feld wechselwirkt. Dann stimmt das so natürlich mit den Termen (kleine Rechenfehler mal außenvorgenommen). Hatte natürlich die ganze Zeit die freie SGL im Kopf und wundere mich was der ganze Rattenschwanz soll.  |
|
|
schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
|
| schnudl Verfasst am: 03. Nov 2014 19:26 Titel: |
|
|
Mit den Maxwellgleichungen hat das auch nur wenig zu tun...
Man kann diese natürlich auch aus einer Lagrangedichte herleiten, die hat aber nichts mit der Schrödingerghleichung zu tun und sieht auch ganz anders aus.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
|
| jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2014 19:28 Titel: |
|
|
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | ... und sieht auch ganz anders aus. |
Na ja... so anders nun auch wieder nicht. Variation nach A der obigen Lagrangefunktion liefert die Maxwell-Gleichungen (zumindest 2 davon  ). |
|
|
clockwork
Gast
|
| clockwork Verfasst am: 03. Nov 2014 19:38 Titel: |
|
|
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | schnudl hat Folgendes geschrieben: | | ... und sieht auch ganz anders aus. |
Na ja... so anders nun auch wieder nicht. Variation nach A der obigen Lagrangefunktion liefert die Maxwell-Gleichungen (zumindest 2 davon ). |
Exakt. Ist erstmal vielleicht nicht ganz einfach zu sehen.  |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18089
|
| TomS Verfasst am: 03. Nov 2014 21:05 Titel: |
|
|
Die Maxwellgleichungen folgen sicher nicht aus dieser Lagrangedichte. Wie soll bzgl. A, E und B variiert werden? Wie hängen E und B mit A zusammen?
Ok, wir wissen das, aber ohne diese Kenntnis sind die Maxwellgleichungen prinzipiell nicht ableitbar.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
|
| jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2014 21:10 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Die Maxwellgleichungen folgen sicher nicht aus dieser Lagrangedichte. Wie soll bzgl. A, E und B variiert werden? Wie hängen E und B mit A zusammen?
Ok, wir wissen das, aber ohne diese Kenntnis sind die Maxwellgleichungen prinzipiell nicht ableitbar. |
... wolle wir mal nicht päpstlicher sein als der Papst. Wenn man schon A, phi und E, B in einer Gleichung verwendet, dann sollte da auch ein Zusammenhang bekannt sein... |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
|
| jh8979 Verfasst am: 03. Nov 2014 21:13 Titel: |
|
|
oder man begnügt sich mit den Maxwell-Gleichungen in sehr merkwürdiger Form a la
 \sim J^j )
.. oder so ähnlich |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18089
|
| TomS Verfasst am: 03. Nov 2014 21:18 Titel: |
|
|
ja, gut, schön ausschauen tut's halt nicht, aber es geht natürlich irgendwie, wenn man weiß, was rauskommen soll ...
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
