Lagrangedichte des Freien Photons vs QED Lagrangedichte

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

hi,
bei der quantisierung des photonfeldes haben wir in der vorlesung folgende lagrangedichte gehabt:

der zweite term wurde damit begründet, dass man einen kanonisch konjugierten impuls zum feld haben wollte, dessen nullte komponente von null verschieden ist. das war nötig, um die kanonischen vertauschungsrelationen anzusetzen.

in der lagrangedichte der QED taucht aber nur der erste term auf. wo ist der zweite hingekommen?

gruß bollen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

So habt ihr das direkt hingeschrieben? Habt ihr eine Art Eichfixierung / Gupta-Bleuler-Quantisierung besprochen?

Generell: ja, die QED hat zunächst einen unphysikalischen Freiheitsgrad A° zu dem kein kanonischer Impuls gehört; den gilt es zu eliminieren. Dazu sind aber verschiedene Methoden denkbar, u.a. die Eichung A°=0 sowie anschließend die Implementierung des Gauss-Gesetzes.

Ohne den Kontext kann ich nur raten.

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

ja, also wir haben den gupta bleuler formalismus gemacht. und ich glaube, ich habe ihn auch einigermaßen verstanden.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Das ist alles schon eine Weile her ...

Die Idee ist, dass man diesen Zusatzterm einführt, um einen nicht-verschwindenden kanonisch konjugierten Impuls zu erhalten, allerdings gleichzeit fordert, dass die Matrixelemente der Lorentz-Eichbedingung zwischen physikalischen Zuständen verschwinden (müsste ebenfalls in der Vorlesung drangekommen sein); d.h. dass man so etwas ähnliches wie die Lorentzeichung einführt, allerdings nicht auf Operatorebene.

D.h. was du hier siehst ist eine spezielle Methode, die QED zu quantisieren, nicht die allgemeine Form der QED, daher steht das auch nicht in der originalen Lagrangedichte. Diese Methode funktioniert übrigens nicht für nichtabelsche Eichtheorien.

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

alles klar, das mit der lorentzeichung für erwartungswerte kenn ich.

die lagrangedichte die ich oben hingeschrieben hab, entspricht also einer möglichen lagrangedichte. in der üblichen form der QED-lagrangedichte wurde (heimlich, weil bei mir im skript steht da nix zu) eine andere art der photonfeldquantisierung benutzt, die nicht auf einen solchen zusatzterm angewiesen ist.

soviel gupta bleuler, und in der QED braucht das dann wieder kein mensch ... ich bin ziemlich entsetzt Hammer

danke für die antwort!
gruß bollen

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

ich hab da übrigens noch ne frage, die wahrscheinlich von ähnlicher unwichtigkeit ist, mich aber sehr stört. als wir die feynmanregeln der QED besprochen haben kam da folgende formel für die S- und T-Matrix dran:
S = 1 + i T
und T hatte dann den üblichen zusammenhang zur feynmanamplitude M:

als ich die feynmanregeln durchgegangen bin, mit denen man M berechnet ist mir aber aufgefallen, dass allen faktoren i die in S vorkommen schon in M rechnung getragen wurde. das waren nämlich ein faktor i pro propagator und ein faktor i für jeden vertex. das i in S = 1+ i T erscheint mir zu viel und ich weiß nicht, warum es da steht.
in wirkungsquerschnitte geht das i ja sowieso nicht ein, weil man ja immer das betragsquadrat der feynmanamplitude reinrechnet. trotzdem nervt es... weißt du vielleicht wo es herkommt?

gruß bollen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Die von dir genannte Lagrangedichte hat eben eine spezielle Form, in der zwingend eine bestimmte Eichung gewählt werden muss und ein Quantisierungsmechanismus vorgegeben ist. Das ist historisch von Interesse und zeigt eine generelle Problematik der Quantisierung von Eichtheorien.

Lokale Eichsymmetrien entsprechen immer unphysikalischen Freiheitsgraden, die zu eliminieren sind. Dazu gibt es verschiedene Vorgehensweisen, wobei die Gupta-Bleuler-QUantisierung eben ein sehr spezieller Fall ist.

Wenn dich das Thema interessiert, dann kannst du dir ja mal folgende Themen ansehen:
- kanonische Quantisierung im Dirac-Formalismus
- Pfadintegralquantisierung und Fadeev-Popov
- BRST-Quantisierung

Das sind teilweise sehr fortgeschrittene Methoden, die jedoch in nichtabelschen Eichtheorien angewandt werden müssen. Der Grund ist eigentlich recht einfach zu erklären:

In der QED kann man die Eichung

wählen und damit ein unphysikalisches Eichfeld eliminieren. Natürlich muss diese Bedingung auch unter Zeitentwicklung gültig bleiben, es gilt also außerdem

. Das ist aber äquivalent zu der Forderung, dass der kanonisch konjugierte Impuls verschwindet. Daraus folgt eine Zwangsbedingung, nämlich das Gaußsche Gesetz

In der QED kann man diese Gleichung invertieren, was letztlich das Coulomb-Potential produziert und einen weiteren Freiheitsgrad des Photonfeldes eliminiert, so dass nur noch zwei transversale Photonen übrig bleiben. In nichtabelschen Eichtheorien kann man das entsprechende Gaußsche Gesetz nicht direkt invertieren, da hier die kovariante Ableitung auftritt, also

mit

Dieser Operator ist aber nicht so einfach invertierbar, da er im Gegensatz zur QED von den dynamischen Eichfreiheitsgraden abhängt. Darin verbirgt sich letztlich die Problematik der Quantisierung; der Gupta-Bleuler-Mechanismus versagt hier.

derBollen · Anmeldungsdatum: 05.09.2009 Beiträge: 78

wow, danke für die erleuterung! weil ich bald prüfung habe, bin ich im moment zeitlich etwas ausgebucht, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass ich mir das ein oder andere danach noch antuen werde:).

gruß bollen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

immer gerne ...