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Neuling88
Gast
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 Neuling88 Verfasst am: 15. Jan 2015 12:55 Titel: Noether Theorem, Transformation Lagrangedichte |
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Hallo
Es geht mir um die Transformation einer Lagrange-Dichte. Ich beschränke mich auf einer Raumdimension x und einem feld phi.
, \partial_x \Phi(x, t), \partial_t, \Phi (x, t), x, t))
Diese Lagrange-Dichte soll zu einer Dichte
, \partial_{x'} \Phi'(x', t'), \partial_{t'} \Phi (x', t'), x', t' ))
transformiert werden.
Das Problem, welches ich habe tritt nur auf, wenn die Koordinaten x und t zu x' und t' mittransformiert werden.
Ich betrachte dazu mal ein Beispiel
Das Feld phi wird einer U(1) Transformation unterzogen und die koordinaten einer Verschiebung x'=x+a, t'=t+b. Dann ist
=\exp{(i \Lambda)}\Phi(x, t))
Jetzt weiß ich nicht wie ich mit den koordinaten umgehen muss.
Mal angenommen das Feld sei =x-t)
Durch die U(1) transformation wird das dann
=\exp{(i \Lambda)}(x-t))
Jetzt habe ich aber noch die alten Koordinaten.
Ist die vollständige transformation jetzt
=\exp{(i \Lambda)}(x'-t')) oder
=\exp{(i \Lambda)}((x'-a)-(t'-b)))
?
[/latex] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 15. Jan 2015 16:33 Titel: |
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Ich verstehe die Logik nicht.
Zunächst mal ist eine U(1) Eichtransformation unabhängig von einer Raum- bzw. Zeittranslation u.u. Insbs. induziert eine Eichtransformation nie eine Koordinatentransformation.
Nun kann es umgekehrt sein, dass eine RZ-Transformation eine Transformation des Feldes induziert; das gilt z.B. für Rotationen SO(3) oder Lorentz-Transformationen SO(3,1). Aber das gilt sicher nicht für ein Skalarfeld, sondern nur für Vektor- bzw. allg. Tensorfelder sowie Spinorfelder. Die induzierte Transformation ist jedoch sicher keine U(1) Transformation, sondern wieder SO(3) bzw. SO(3,1), allerdings ggf. in einer anderen Darstellung.
Um welche Transformation und um welche Felder geht es denn genau?
Dein vereinfachtes Beispiel ist m.E. immer falsch.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Neuling88
Gast
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| Neuling88 Verfasst am: 15. Jan 2015 17:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe die Logik nicht.
Zunächst mal ist eine U(1) Eichtransformation unabhängig von einer Raum- bzw. Zeittranslation u.u. Insbs. induziert eine Eichtransformation nie eine Koordinatentransformation.
Nun kann es umgekehrt sein, dass eine RZ-Transformation eine Transformation des Feldes induziert; das gilt z.B. für Rotationen SO(3) oder Lorentz-Transformationen SO(3,1). Aber das gilt sicher nicht für ein Skalarfeld, sondern nur für Vektor- bzw. allg. Tensorfelder sowie Spinorfelder. Die induzierte Transformation ist jedoch sicher keine U(1) Transformation, sondern wieder SO(3) bzw. SO(3,1), allerdings ggf. in einer anderen Darstellung.
Um welche Transformation und um welche Felder geht es denn genau?
Dein vereinfachtes Beispiel ist m.E. immer falsch. |
Es geht mir letztlich um die ableitung des Noether Theorems
Betrachte dazu mal hier die Gleichungen (4) und (5) auf der Seite 2
thphys.uni-heidelberg.de/~mielke/Skript20130709.pdf
Sollten die Variation und die totale Variation nicht das Gleiche sein, weil sich doch skalarfelder bei einer Transformation nicht ändern. Ich kann das hier doch so auffassen, dass die Lagrangedichte von n skalarfeldern abhängen, die mit dem Index r nummeriert sind.
Wieso ändern sich die Skalarfelder durch die Koordinatentransformation.
Ich hoffe, dass mein Problem damit klarer geworden ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 15. Jan 2015 18:04 Titel: |
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Fußnote Seite 1: n = 1 bedeutet Skalarfelder; n > 1 bedeutet Vektorfelder (oder Tensorfelder, Spinorfelder).
Eigtl. ganz einfach: wir betrachten eine Rotation.
Ein Skalarfeld ändert sich unter Rotation R nicht, d.h.
 \to \phi(Rx) = \phi(x))
Ein Vektorfeld transformiert exakt so wie der Vektor selbst:
 \to \phi(Rx) = R^{-1}\phi(x))
Ich halte die Darstellung in dem PDF für etwas verwickelt.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 15. Jan 2015 19:20, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Neuling88
Gast
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| Neuling88 Verfasst am: 15. Jan 2015 19:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Fußnote Seite 1: n = 1 bedeutet Skalarfelder; n > 1 bedeutet Vektorfelder (oder Tensorfelder, Spinorfelder).
Eigtl. ganz einfach: wir betrachten eine Rotation.
Ein Skalarfeld ändert sich unter Rotation R nicht, d.h.
Ein Vektorfeld transformiert exakt so wie der Vektor selbst:
Ich halte die Darstellung in dem PDF für etwas verwickelt. |
Ok betrachten wir mal nur den Spezialfall n=1.
Dann ändert sich nach (7) offenbar trotzdem das Feld durch die Koordinatentransformation. Der erste Term beschreibt die Änderung des Feldes durch eine direkte Transformation des Feldes und der zweite Term eine Änderung des Feldes durch eine Koordinatentransformation. DIes aber ganz unabhängig davon ob ich nur Skalarfelder oder ganz allgemein Tensorfelder betrachte. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 15. Jan 2015 19:32 Titel: |
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Nein, "offenbar" ändert sich da nichts.
Für n = 1 entfällt der Index r, es liegt ein Skalarfeld vor. Und für ein Skalarfeld induziert eine entsprechende Koordinatentransformation keine Änderung des Feldes. Das ist gerade die Definition eines Skalarfeldes. Und damit verschwindet der Term
 - \phi(x) = 0)
(Überleg' dir das doch mal für ein Skalarfeld wie die Temperatur)
Die Herleitung setzt einfach den allgemeinstmöglichen Fall an und berücksichtigt alle möglichen Terme. In Spezialfällen wie dem Skalarfeld entfallen bestimmte Terme.
Ich habe aber den Eindruck, dass wir abschweifen.
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Neuling88
Gast
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| Neuling88 Verfasst am: 15. Jan 2015 20:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nein, "offenbar" ändert sich da nichts.
Für n = 1 entfällt der Index r, es liegt ein Skalarfeld vor. Und für ein Skalarfeld induziert eine entsprechende Koordinatentransformation keine Änderung des Feldes. Das ist gerade die Definition eines Skalarfeldes. Und damit verschwindet der Term
(Überleg' dir das doch mal für ein Skalarfeld wie die Temperatur)
Die Herleitung setzt einfach den allgemeinstmöglichen Fall an und berücksichtigt alle möglichen Terme. In Spezialfällen wie dem Skalarfeld entfallen bestimmte Terme.
Ich habe aber den Eindruck, dass wir abschweifen. |
Laut dem skript gilt bei einer Koordinatentransformation
=\Phi_r(x)+\frac{\partial \Phi_r(x)}{\partial x_{\nu}}\delta x_{\nu})
Das gilt insbesondere, wenn ich für r nur den wert 1 zulasse.
Ich verstehe, dass sich skalarfelder bei einer koordinatentransformation nicht ändern. Ich verstehe aber nicht wie bei der Vorgehensweise im Skript ein Skalarfeld sich bei einer reinen Koordinatentransformation nicht ändert. Die Änderung wäre nur null, wenn die Ableitungen des Feldes nach den Koordinaten null wären. Das ist aber im Allgemeinen nicht der Fall. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 15. Jan 2015 21:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein Skalarfeld ändert sich unter Rotation R nicht, d.h.
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Das Argument der Skalarfunktion hingegen schon (oder Du verwendest eine Notation, die mich verwirrt, aber diese letzte Gleichung gilt ja garantiert nicht für alle Skalarfelder, oder einen Strich beim letzten x vergessen?).
Ich find die Darstellung in dem pdf wie Tom auch nicht besonders klar. Allgemein gilt unter einer (verallgemeinerten) Lorentztransformation (Rotation/Boost  plus Translation in Raumzeit um  ):
 \rightarrow \psi'_{l} (x') = \sum_{l'}D(\Lambda^{-1})_{ll'}\psi_{l'} (\Lambda x + a))
wobei _{ll'}) eine entsprechende Matrix-Darstellung der Lorentzgruppe ist (die Zahl 1 für ein Skalar, "normale"  für 4er-Vektoren, etc). Daraus kann man jetzt die infinitesimalen Formen ableiten wenn man mag. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 15. Jan 2015 21:39 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein Skalarfeld ändert sich unter Rotation R nicht, d.h.
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Das Argument der Skalarfunktion hingegen schon. |
Ja, sorry:
 \to \phi(x^\prime) = \phi(Rx) )
Ändert aber nichts an der Tatsache, dass keine Transformation des Feldes induziert wird; anders gesagt, das Skalarfeld ist ein Singulet bzgl. der Koordinatentransformation.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 15. Jan 2015 21:54 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ändert aber nichts an der Tatsache, dass keine Transformation des Feldes induziert wird; anders gesagt, das Skalarfeld ist ein Singulet bzgl. der Koordinatentransformation. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 15. Jan 2015 23:08 Titel: |
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Trotzdem: ich habe aber den Eindruck, dass wir abschweifen; es geht um den allgemeinen Beweis des Noether-Theorems für beliebige, nicht näher spezifizierte Symmetrien.
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Neuling88
Gast
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| Neuling88 Verfasst am: 16. Jan 2015 01:24 Titel: |
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Ich habe noch einmal darüber nachgedacht und ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Nun tut sich mir allerdings ein anderes Problem auf.
Bisher wurde gefordert, dass L bzgl. einer Transformation invariant ist, um kovariante bewegungsgleichungen zu erhalten.
Allerdings tritt bei der variation des Wirkungsfunktionals ein Oberflächenterm auf, der verschwindet und nicht in die Euler-Lagrange-Gleichungen mit einfließt. Ich könnte also so einen term bei dem L addieren und würde immer noch dieselben Bewegungsgleichungen erhalten. Wieso wurde gefordert, dass sich L um null ändert und nicht um so einen Term, der letztlich bei der Variation verschwindet. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 16. Jan 2015 07:00 Titel: |
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| Neuling88 hat Folgendes geschrieben: | | Wieso wurde gefordert, dass sich L um null ändert und nicht um so einen Term, der letztlich bei der Variation verschwindet. |
Dass L invariant ist, ist der etwas einfachere Fall, aber i.A. darf sich L auch um eine totale Ableitung ändern. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2015 07:10 Titel: |
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M.W.n. wird das im Falle ART für den Energie-Impuls-Tensor diskutiert. Es ist nicht immer so einfach, weil man teilw. Oberflächenladungen diskutieren muss.
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