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Nachricht |
Quantenphoenix
Anmeldungsdatum: 15.07.2014
Beiträge: 5
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 Quantenphoenix Verfasst am: 15. Jul 2014 18:37 Titel: Lagrangedichte Diracgleichung mit externem Feld |
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Meine Frage:
Hallo Physiker,
für meine Klausurvorbereitung Quantenphysik II bin ich auf eine Aufgabe gestoßen die ich einfach nicht gelöst bekomme.
Und zwar geht es um die Herleitungen der Bewegungsgleichungen aus folgender Lagrangedichte:
\psi^{+}][(-i\hbar \vec \nabla-q \vec A)\psi]-\psi^{+}(q \phi + \mu \vec \sigma \cdot \vec B)\psi)
Meine Ideen:
Meine Idee war, nach  zu variieren
also mit
das Prinzip der kleinsten Wirkung zu nutzen.
Allerdings erwarte ich ja eine Diracgleichung und auf so eine Darstellung komme ich beim besten Willen nicht.
Vielleicht kennt jemand eine gute Quelle oder kann mir direkt meine Dummheit zeigen.
Vielen Dank
Zuletzt bearbeitet von Quantenphoenix am 16. Jul 2014 09:36, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 15. Jul 2014 22:20 Titel: |
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Das ist ganz einfach nicht die Lagrangedichte für die Dirac-Gleichung.
Diese lautet
\psi)
Bei dir treten die räumlichen Komponenten (Nabla, Vektorpotential) quadratisch auf; und das B-Feld ist direkt enthalten.
Handelt es sich evtl. stattdessen um die Pauli-Gleichung, die nicht-rel. Näherung der Dirac-Gleichung für zwei-komponentige Spinoren?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 16. Jul 2014 06:50 Titel: |
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@Quantenphoenix: Sieht eher wie eine Lagrange-Fkt. aus und nicht wie eine Dichte.
Nebenbei bemerkt solltest du partielle Ableitungen auch so notieren.
EDIT:
@TomS: Denke du hast recht: Wenn man es als Lagrange-Fkt betrachtet kommt auf den ersten Blick die Pauli-Gleichung raus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 16. Jul 2014 07:14 Titel: |
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| bassiks hat Folgendes geschrieben: | | @Quantenphoenix: Sieht eher wie eine Lagrange-Fkt. aus und nicht wie eine Dichte. |
Nee, es ist schon eine Dichte, da A, B und psi Felder (mit Ortsabhängigkeit) sind.
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 16. Jul 2014 07:25 Titel: |
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EDIT: hat sich erledgit. Du hast natürlich recht. |
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Quantenphoenix
Anmeldungsdatum: 15.07.2014
Beiträge: 5
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| Quantenphoenix Verfasst am: 16. Jul 2014 09:48 Titel: |
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check partielle Ableitungen sind drin.
Nun aber zurück zur Kernfrage:
stimmt es sieht eher wie eine Pauligleichung aus, wenn man die kennt.
Aber auch auf die komme ich nicht beim Ableiten.
Ich komme auf:
\psi^{+} q \vec A - \psi^{+} (q \phi+\mu \vec \sigma \cdot \vec B)+ \nabla \frac{i \hbar}{2m} (i \hbar \vec \nabla - q \vec A)\psi^{+})
Woraus sich bei mir nicht die Pauligleichung ergibt. Oder habe ich Tomaten auf den Augen? |
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alex2007
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 76
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| alex2007 Verfasst am: 18. Jul 2014 01:55 Titel: |
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Doch das ist die Pauligleichung!
Ersetze:  und entsprechend 
es gilt: 
Und dann solltest du auf eine Darstellung der Pauligleichung kommen, die du kennst!
PS: Ich habe eine Frage zum berechnen der Terme für die Ableitungen, da ich auch gerade an der Variationsrechnung sitze. Wieso fällt bei der Ableitung nach Psi der Impulsoperator der auf Psi angewendet wird, weg? Einfach, weil er keine Wirkung mehr hat, nachdem abgeleitet wurde? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 18. Jul 2014 07:13 Titel: |
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| alex2007 hat Folgendes geschrieben: | | Und dann solltest du auf eine Darstellung der Pauligleichung kommen |
Ich hab das jetzt nicht durchgerechnet, aber man muss wirklich nur die Terme entsprechend sortieren.
| alex2007 hat Folgendes geschrieben: | | Wieso fällt bei der Ableitung nach Psi der Impulsoperator der auf Psi angewendet wird, weg? Einfach, weil er keine Wirkung mehr hat, nachdem abgeleitet wurde? |
Kann ich mir nicht vorstellen; wie sieht denn der Term aus?
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Quantenphoenix
Anmeldungsdatum: 15.07.2014
Beiträge: 5
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| Quantenphoenix Verfasst am: 18. Jul 2014 09:15 Titel: |
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Ok hab mal die Terme sortiert.
Ich habe da aber trotzdem immer noch stehen:
 \psi^+ (-q \vec A))+(- i \hbar) \nabla (i \hbar \nabla -q \vec A) \psi^+)
damit erhalte ich:
\psi^+ +(\vec p^2 - q \vec A)\psi^+)
Aber wie gibt das ^2) (quadratische Ergänzung???)
und noch zu deiner Frage:
du leitest ja nach Psi und divPsi getrennt ab... das heißt bei der Ableirtung nach Psi bekommst du ein -qA und bei der Ableitung nach NablaPsi ein -i hbar |
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alex2007
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 76
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| alex2007 Verfasst am: 18. Jul 2014 11:14 Titel: |
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| Quantenphoenix hat Folgendes geschrieben: | Ok hab mal die Terme sortiert.
Ich habe da aber trotzdem immer noch stehen:
 \psi^{\dagger} (-q \vec A))+(- i \hbar) \nabla (i \hbar \nabla -q \vec A) \psi^{\dagger} \quad \left(*\right))
damit erhalte ich:
\psi^{\dagger} +(\vec p^2 - q \vec A)\psi^{\dagger} \quad \left(**\right))
Aber wie gibt das (quadratische Ergänzung???)
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Es gilt  \Rightarrow \vec{\nabla} \vec A \neq 0 )
Also unterschlag mal die Terme, in den der Impulsoperator mit Ladung und Vektorpotential multipliziert wird, nicht! Dann sollte es passen. Du musst schauen dass da natürlich einmal p adjungiert multipliziert werden muss und einmal p, da das quadrat ja auch aus p und p adjungiert besteht. Also nochmal den Schritt von (*) nach (**) nachrechnen.
PS: Vermutlich sitzen wir an den gleichen Aufgaben. Ist das eine alte Klausuraufgabe? Wenn ja, dann hast du mit der konjugierten Pauligleichung ja die in a) erforderliche Bewegungsgleichung gefunden. Aufgabenteil b) wäre ja dann die Kontigleichung zu finden, oder? Hast du das schon gemacht? |
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Quantenphoenix
Anmeldungsdatum: 15.07.2014
Beiträge: 5
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| Quantenphoenix Verfasst am: 18. Jul 2014 11:31 Titel: |
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Jo hab ich, das machste wie bei allen kontigleichungen mit der konj. komplexen addieren ...
guck mal ins skript bei der kontigl zur dirac-gl
und danke dir jetzt hab ichs auch  |
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alex2007
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 76
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| alex2007 Verfasst am: 18. Jul 2014 11:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | alex2007 hat Folgendes geschrieben: | | Und dann solltest du auf eine Darstellung der Pauligleichung kommen |
Ich hab das jetzt nicht durchgerechnet, aber man muss wirklich nur die Terme entsprechend sortieren. |
Wie denn umsortieren? Die Gleichung von Quantenphoenix, die er aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung gewinnt stimmt. Aber durch umsortieren sehe ich da keine Pauligleichung. Zumindest kenne ich keine derartige Darstellung (gern kannst du mir die aber zeigen, wie du eine bekommst!)
Ich kenne die Darstellung:
}^2}{2m}-\mu\vec{\sigma}\vec{B}+e\phi\right]\psi)
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| alex2007 hat Folgendes geschrieben: | | Wieso fällt bei der Ableitung nach Psi der Impulsoperator der auf Psi angewendet wird, weg? Einfach, weil er keine Wirkung mehr hat, nachdem abgeleitet wurde? |
Kann ich mir nicht vorstellen; wie sieht denn der Term aus? |
Es geht um den ersten Term in der Gleichung, die Quantenphoenix versucht umzustellen. Dabei Wird die Lagrangedichte nach psi abgeleitet, wobei aber der Impulsoperator, welcher von links auf psi wirkt, nicht stehen bleibt. Allerdings ist das wohl grundsätzlich so, dass man bei der ableitung nach psi, nabla auf psi vernachlässigen muss, da die ableitung nach nabla psi die explizite Abhängigkeit von nabla auf psi angewandt betrachtet. Stimmt auch bei genaurem überlgen. Wenn ich nabla auf psi anwende, dann ist das "Ergebnis" nicht mehr explizit von psi abhängig, weswegen der nablaoperator auch nicht stehen bleiben kann. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18029
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| TomS Verfasst am: 18. Jul 2014 14:40 Titel: |
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Für das Ableiten der Feldgleichung aus der Lagrangefunktion sind doch die beiden Terme
})
zu berechnen.
Generell ergeben sich ja zwei Gleichungen, nämlich eine durch Variation nach psi, eine durch Variation nach psi*; beide ergeben sich unabhängig voneinander, müssen aber natürlich durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen.
Ich verstehe jetzt immer noch nicht, wo genau das Problem liegt
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alex2007
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 76
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| alex2007 Verfasst am: 18. Jul 2014 14:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Für das Ableiten der Feldgleichung aus der Lagrangefunktion sind doch die beiden Terme
zu berechnen.
Generell ergeben sich ja zwei Gleichungen, nämlich eine durch Variation nach psi, eine durch Variation nach psi*; beide ergeben sich unabhängig voneinander, müssen aber natürlich durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen.
Ich verstehe jetzt immer noch nicht, wo genau das Problem liegt |
Alles gut, hab es verstanden 
Wenn die Bewegungsgleichungen gefordert sind, müssen beide Variationen (nach psi und psi*) durchgeführt werden, oder?
Es ging doch lediglich darum dass man die Gleichung als Pauli-Gleichung erkennt, was in der geschriebenen Form eben nicht eindeutig war (zumindest für uns). |
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