RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Der Drallsatz und die Drehachse
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik
Autor Nachricht
Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 20. Feb 2010 21:59    Titel: Der Drallsatz und die Drehachse Antworten mit Zitat

Schönen guten Abend,

seit überabzählbar langer Zeit habe ich meinen Account hier wiederentdeckt und auch gleich eine Frage, die mich schon länger beschäftigt, mitgebracht smile.

Meine Frage lautet irgendwie so: Kann man sich bei der Anwendung des Drallsatzes den Punkt, für den man ihn aufstellt, beliebig aussuchen oder muss es immer ein bestimmter Punkt (Schwerpunkt, Drehpunkt, Momentanpol, ...) sein? Konkret:

Gilt für alle Punkte S bei korrespondierenden Drehungen und entsprechend mit Steiner angepassten Massenträgheitsmomenten ?

Ich weiß nicht, ob man das verstehen kann, weil es sicher völlig sinnfrei ist, zumal ich es damals in der Mechanik-VL verstanden, hundertfach angewendet und dann solange drüber philosophiert habe, dass ich nun alles verdrehe - im wahrsten Sinne des Wortes Augenzwinkern.

Daher ein kleines Standardbeispiel: Ein Rad, das auf einer geraden Ebene reine Rollbewegungen ausführt - kein Schlupf. Radius sei meinetwegen r und irgendjemand zieht oben an einem aufgewickelten Faden (nennen wir die Kraft ) nach rechts. Dann dreht das Rad mathematisch negativ. Insgesamt wirken vier Kräfte im System: Fadenkraft oben nach rechts, Reibkraft unten nach rechts, Gewichtskraft im Schwerpunkt nach unten und die Kontaktkraft am Boden nach oben. Bei Bedarf mal ich schnell ein Bild.

Ist es hier eindeutig, dass als Drehpunkt S hier gerade der Schwerpunkt (sei das Rad mal isotrop) genommen wird? Dann würde der Drallsatz ja wie folgt lauten:



Oder könnte man das ganze auch als Drehung um den Momentanpol unten interpretieren? Und dann sagen:



Ich habe hier die Winkel unterschiedlich aussehen lassen, wüsste beim zweiten Beispiel auch nicht wirklich, wie ich den Winkel bestimmen sollte und würde eher intuitiv schließen, dass er in diesem Bsp. genau dem obigen entspricht. Bei Verwendung eines beliebigen (gedachten) Drehpunktes müsste man ja dann, sofern meine These stimmt (und ich hoffe, sie tut es nicht), ganz verrückte Winkelabhängigkeiten bestimmen.

Außerdem sollte letzteres Beispiel auch gleichbedeutend sein mit einem Rad, das in einem Peripheriepunkt auf eine Achse gesteckt wurde und nun darum tatsächlich dreht - also etwas völlig anderes ohne eine Abrollebene!

Ich konnte in meinen Büchern keinen Anhaltspunkt finden, warum das alles so sein sollte, wie ich es eben versucht habe zu erklären. Vielleicht habe ich das irgendwo mal (falsch) aufgeschnappt und dummerweise weiterverfolgt. Daher steinert, äh .. steinigt mich bitte nicht Big Laugh. Helft mir, dieses Problem ein für alle mal zu lösen.

Ich hoffe, mein Gebrabbel war zu verstehen und freue mich auf Eure Antworten smile.
Vielen Dank schon mal!
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 22. Feb 2010 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

Im Prinzip führen alle Wege nach Rom.

Mach mal eine Skizze von dem Beispiel.

Egal welchen Punkt du betrachtest du betrachtest ja immer ein und dieselbe Bewegung, und im Endeffekt beziehst du trotzdem alles wieder auf den Schwerpunkt durch Steiner (Verschiebesatz).

Es verändern sich halt die Momente zu dem Punkt aber das wird durch den Steinerschen Verschiebesatz wieder ausgeglichen.

Vielleicht mal anders, weißt du wieso man in der Statik zum Beispiel jeden x beliebigen Drehpunkt wählen kann und man erhält immer dasselbe?. Woraus resultiert das?
Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 22. Feb 2010 20:57    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo VeryApe smile,

danke für Deine Antwort. Also zuerst: In der Statik müssen natürlich in jedem Punkt alle resultierenden Momente und Kräfte Null sein, sonst wäre das System nicht statisch. Da das alles höchstgradig lineare Systeme sind, kann ich natürlich alles hin- und herschieben, wie ich möchte. Meintest du das? Ich verstehe auch, was Du damit in Hinblick auf Steiner meinst. Zumindest glaube und hoffe ich das.

Da mein Scanner defekt ist, musste ich jetzt äußerst hässliche Paintbildchen malen (bei denen immer die Gewichtskraft fehlt, sorry!). Drei Kreise sieht man da: Der erste ist der, den ich in der Rechnung bevorzugen würde und auf diese Gleichung käme:



Der zweite beschreibt die zweite Gleichung:



Beim letzten Kreis sehe ich aber wenigstens jetzt deutlich, dass er nicht analog zum zweiten ist, da die Gewichtskraft natürlich immer mit dem Faktor eingeht. Da hatte ich zu schnell und zu falsch gedacht.

Im letzten Bild sieht man eine Theoriefrage aus meiner Mechanik2-Klausur vom letzten SoSe. Ich würde jetzt intuitiv 1 und 2 ankreuzen. Begründen kann ich das aber nicht mehr, darum würde ich Euch darum bitten. Falls die beiden Antworten überhaupt korrekt sind.

Ich finde auf die Schnelle keine Möglichkeit zu zeigen, dass die beiden Gleichungen tatsächlich gleich sind, da ich keinen Zusammenhang zwischen und finde.

Würfel ich hier evtl. etwas mit der Bestimmung der kinetischen Energie eines Körpers zusammen? Da bestimmt man doch auch den Ortsvektor zum Schwerpunkt und damit und dann die Rotationsenergie bzgl. des Schwerpunktes. Oder man bezieht gleich alles auf das Drehzentrum und lässt den Translationsanteil geschickt verschwinden. Letzteres dann natürlich auch mit Steiner.

Leider fehlt mir aufgrund 1000er Klausuren momentan die Zeit, die Skripte nochmal richtig durchzuarbeiten, um dieses Gespenst aus meinem Kopf zu bringen. Ich würde mich daher weiterhin über Unterstützung freuen.

Vielen, vielen Dank schon mal erneut smile.



drallsatz.png
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  drallsatz.png
 Dateigröße:  23.28 KB
 Heruntergeladen:  5694 mal


mech2.jpg
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  mech2.jpg
 Dateigröße:  78.72 KB
 Heruntergeladen:  5669 mal

VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 22. Feb 2010 22:06    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich geh mal zunächst auf deine Skizzen ein.

Erstens die Reibkraft ist falsch angenommen die wirkt sicher gegen FF.
also in entgegengesetzter Richtung.

Im ersten Fall wählst du den Schwerpunkt als Pol im zweiten fall
den Auflagepunkt.

wie kommst du nun drauf das da FN in irgendeiner weise ein Drehmoment erzeugt?. Ist da ein Hebelarm vorhanden?

Die Gleichungen lauten daher wie folgt:



Der zweite beschreibt die zweite Gleichung:




Zu der Statik da wischt du mir zu schnell drüber.

Der einzige Grund warum man in der Statik jeden x beliebigen Drehpunkt betrachten kann und immer das selbe Moment bekommt ist aufgrund von



Betrachte ein Drehmoment das durch zwei gleichgroße entgegengesetzte Kräfte ensteht.
Was hier zählt ist nur der Abstand zwischen diesen Kräften aber nicht der Abstand zu irgendeinen Pol. Das kommt immer auf dasselbe Ergebnis egal welcher Pol.

http://www.physikerboard.de/files/drehmoment_528.jpg

denk dir da mal verschiedene Pole und du wirsd sehen du erhälst immer dasselbe Drehmoment.

In der Dynamik ergeben die Summe aller Kräfte



aber du kannsd auch schreiben



Betrachtest du nun alle Momente der einzelnen Kräfte inklusive des Momentes von m* a (das du dir auch als Kraft vorstellen kannsd) ist dies mit der Statik gleichwertig und du erhälst immer dasselbe Moment egal welcher Pol.



daraus folgt:



im Schwerpunkt hätten wir dann die besonders einfache Form

nur weil m*a hier kein Moment aufweist.

Es gilt also: rp....hebelarm Pol, rs...Hebelarm Schwerpunkt



In der Dynamik gilt:



Somit gilt auch



oder anders formuliert.




weist der Pol den du betrachtest keine Bewegung auf somit gilt ein konstantes alpha zu dem Pol.

Dann gilt:






(Is * + m * rp² ) ist genau der Steinersche Verschiebesatz.

Das heißt im Prinzip nichts anders als wendest du den Verschiebesatz an ist das gleichwertig als würdest du alles im Schwerpunkt betrachten.

Egal was du rechnest es kommt immer aufselbe raus.

Im Prinzip gilt alle ansetzenden Kräfte erzeugen eine Schwerpunktsbeschleunigung. bzw eine Drehung um den Schwerpunkt.
Aus dem obigen folgt nun, das man nicht unbedingt den SChwerpunkt betrachten muß um auf das richtige Ergebnis zu kommen sondern jeder beliebige Pol wie in der statik gewählt werden kann wenn man den Verschiebesatz von Steiner benützt.

In besonderen Fällen gilt der Drallsatz in einfacher Form und weise und zwar.
bei Pol in Schwerpunkt.
oder Pol auf unbewegter Drehachse.

wenn du eine bewegte drehachse hast dann reicht es nicht nur mit dem steinerschen Verschiebesatz zu arbeiten. weil du dann noch eine Schwerpunktsbeschleunigung hast die nicht aufgrund der Winkelbeschleunigung um den Pol gedeckt ist. mußt also extra noch ein
m*A (drechachse) *rp berücksichtigen.

weil dann (as- alpha*rp)=A (drechachse) ist.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 22. Feb 2010 22:14    Titel: Antworten mit Zitat

achja die ganze Theorie nun auf deine zwei gleichungen bezogen.

Die Gleichungen lauten daher wie folgt:













Aufgrund der Rollbedingung die den Auflagepunkt unbeweglich macht:
alpha * R= a


und jetzt siehe zweite gleichung

Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 22. Feb 2010 22:28    Titel: Antworten mit Zitat

wow, vielen dank erneut smile!

heute schaffe ich nicht mehr, eine ordentliche antwort dazu zuverfassen oder gar es vollständig zulesen. aber ich möchte sagen:

1) ich weiß nicht warum, aber ich habe in meinen beiden posts F_N mit F_F verwechselt beim texen. ein bsp., wo sich eine gerade anzahl von fehlern leider nicht aufhebt ... entschuldigung für die zusätzliche verwirrung Augenzwinkern.

2) dass ich die reibkraft falsch gerichtet angenommen habe, leuchtet mir hingegen nicht ein: das rad bewegt sich nach rechts, d.h. der kontaktpunkt am boden bewegt sich nach links, ergo muss die reibkraft wiederum nach rechts wirken um dem entgegenzuwirken?!

den rest habe ich jetzt nur quer gelesen, aber das meiste kam mir heftig bekannt vor und ich denke, deine ausführungen werden mir die erleuchtung bringen. tausend dank dafür, ich werde antworten, sobald ich damit durch bin smile.

gute nacht Thumbs up!
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 22. Feb 2010 23:59    Titel: Antworten mit Zitat

ric hat Folgendes geschrieben:
2) dass ich die reibkraft falsch gerichtet angenommen habe, leuchtet mir hingegen nicht ein: das rad bewegt sich nach rechts, d.h. der kontaktpunkt am boden bewegt sich nach links, ergo muss die reibkraft wiederum nach rechts wirken um dem entgegenzuwirken?!


Augenzwinkern da wärsd du der erste Mensch den die Reibkraft beim beschleunigen hilft.
Bis jetzt kannte ich nur Menschen die beim ziehen durch die Reibkraft gebremst wurden.

übrigens beide Winkel sind gleich
wie du aus den 2 Gleichungen erkennen kannsd. Wären sie nicht gleich würde die Theorie nicht stimmen. Also du kannsd das ja geometrisch untersuchen.

Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 01. März 2010 13:14    Titel: Antworten mit Zitat

So, ich habe mir das jetzt alles im Detail angeschaut und anscheinend mehrere Aha!-Erlebnisse gehabt. Ich schreib jetzt mal alles sauber auf, wie ich es verstanden habe und stelle Fragen, an Stellen, wo es mir nicht ganz klar geworden ist (rot):



Führst Du jetzt hier eine Art unbestimmter Integration über alle Abstände aus ( ), sodass dann gilt?:



Für den Schwerpunkt S gilt dann:



Dynamik:



Jetzt linke Seite durch Gleichung (2) ersetzen:




Mit



Wenn ich das jetzt alles korrekt verstanden und die Herleitung richtig nachvollzogen habe, dann stelle ich folgendes fest: Das bekomme ich immer über Steiner bzgl. des Schwerpunktes und dem Abstand des gewählten Pols zum Schwerpunkt. Der Drehwinkel bezieht sich ebenfalls immer auf den Schwerpunkt.
Hätte ich eine Aufgabe wie zum Beispiel bei Kreis 2 bekommen, wo der Winkel von unten gemessen wird, hätte ich erst über die Geometrie herausfinden müssen, dass dieser gleich dem Winkel wie bei Kreis 1 ist, da ich unbedingt den "Schwerpunktsdrehwinkel" benötige?


Falls keine groben Fehler enthalten sind, würde ich mich noch über eine Erklärung von (1) zu (2) freuen. Auch wenn alles ziemlich genau so aussieht wie deine Erklärungen, so habe ich doch nichts abgeschrieben und jeden Schritt allein nachvollzogen und mich immer gefreut, dass du das auch so hattest. Vielen 1000 Dank für Deine Mühe smile! Hab mich sehr gefreut!

Mit der Reibkraft hatte ich mich leider wirklich vertan. Hier eine kleine Bonusfrage: Bei einem Autorad wirkt doch ein Moment, das das Rad zum Drehen bringt. Im Kontaktpunkt Boden-Rad bewegt sich das äußere Reifenstück ja entgegen der Fahrtrichtung, daher zeigt die Reibkraft in Fahrtrichtung? Stimmt das? Oder anders: Beim Auto ist es tatsächlich die Reibkraft, die beim Beschleunigen hilft? Augenzwinkern
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 01. März 2010 23:13    Titel: Antworten mit Zitat

Ric hat Folgendes geschrieben:

Führst Du jetzt hier eine Art unbestimmter Integration über alle Abstände aus ( ), sodass dann gilt?:




Das hat nix mit Integration zu tun das ist einfach eine Schlussfolgerung aus der Statik.

Wenn du dir das mit dem Drehmoment angeschaut hast und dir verschiedene Pole gedacht hast, dann müsste es dir ja klar sein das irgendein Pol egal wäre weil nur der Abstand zwischen den Kräften zählt.

Für ein Drehmoment gilt .. 2 gegensinnige Kräfte (hebensich auf Summe F=0) im Abstand d.


somit gilt:


betrachtest du jetzt 10 Kräfte oder von mir aus 10000 für die gilt Summe aller F=0. So findest du für jede Kraft eine gegensinnige Kraft und kannsd somit so ein Drehmoment bilden. Daher wirsd du für jeden Pol immer dasselbe gesamte Drehmoment erhalten.

Wenn du nur eine einzelne Kraft betrachtest und das Kraftmoment zu irgendeinen Pol dann erhälst du natürlich unterschiedliche Momente nur wenn Summe aller F=0 gilt. erhälst du immer dasselbe.

Wie ich geschrieben habe gilt in der Dynamik


das heißt betrachte ich nur die Kräfte die wirken hab ich kein Nullresultat somit ist auch das Moment zu jeden Pol anders.


!=0 bedeutet ungleich null






Form ich aber die Gleichung um:





So hab ich wieder ein Nullresultat. Betrachte ich nun alle Momente von Fi inklusive m*as*rp. Das muß ich natürlich mit betrachten sonst hab ich kein nullresultat.

Dann gilt:



Wobei man dieses m * as als eine Kraft betrachten kann die im Schwerpunkt in beschleunigungsrichtung wirkt. Das minus in der Gleichung indiziert jetzt das sie eigentlich gegen die angreifende Kraft wirkt. also """gegen die Resultierende""" somit wird alles wieder null.
Nehm ich sie so an brauche ich kein minus. nehm ich sie in beschleunigungsrichtung an brauche ich ein minus.

DAs rp bei m*as steht natürlich vorn den Abstand Pol-> Schwerpunkt.

ric hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich das jetzt alles korrekt verstanden und die Herleitung richtig nachvollzogen habe, dann stelle ich folgendes fest: Das bekomme ich immer über Steiner bzgl. des Schwerpunktes und dem Abstand des gewählten Pols zum Schwerpunkt. Der Drehwinkel bezieht sich ebenfalls immer auf den Schwerpunkt.
Hätte ich eine Aufgabe wie zum Beispiel bei Kreis 2 bekommen, wo der Winkel von unten gemessen wird, hätte ich erst über die Geometrie herausfinden müssen, dass dieser gleich dem Winkel wie bei Kreis 1 ist, da ich unbedingt den "Schwerpunktsdrehwinkel" benötige?


Nein, das brauchst du dir bloss einmal ermitteln dann kommst du drauf das die Winkel immer gleich groß sind.
Du kannsd jede Rotation um einen fixen Punkt auch in eine Schwerpunktsbewegung und in eine Drehung um den Schwerpunkt zerlegen oder umgekehrt, dabei sind die Winkel immer gleich groß.
Dadurch wird ja das ganze so einfach.
Aber ja wärs nicht so einfach wäre der Schwerpunktswinkel ausschlaggebend.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 01. März 2010 23:36    Titel: Antworten mit Zitat

ric hat Folgendes geschrieben:

Mit der Reibkraft hatte ich mich leider wirklich vertan. Hier eine kleine Bonusfrage: Bei einem Autorad wirkt doch ein Moment, das das Rad zum Drehen bringt. Im Kontaktpunkt Boden-Rad bewegt sich das äußere Reifenstück ja entgegen der Fahrtrichtung, daher zeigt die Reibkraft in Fahrtrichtung? Stimmt das? Oder anders: Beim Auto ist es tatsächlich die Reibkraft, die beim Beschleunigen hilft?


Die Reibkraft wirkt immer gegen die relative Bewegung im Boden.
Betrachtest du nun alle Kräfte die wirken ohne die Reibkraft, dann erhälst du eine relative Geschwindigkeit im Boden, gegen die wirkt die Reibkraft. Beim Drehmoment im Uhrzeigersinn hättest du natürlich eine relative Geschwindigkeit nach links im Boden somit wirkt die Reibkraft nach rechts und beschleunigt das Auto.

Ich muß mich oben auch widerrufen es ist natürlich abhängig wie groß der Hebelarm von FF ist und vom Trägheitsmoment des Rades in welcher Richtung die Reibkraft wirkt.

Somit kann dein Fall so wie mein Fall eintreten.

Meistens hat man aber eine Kraftübertragung beim Ziehen genau im Schwerpunkt des Rades weil es dort gelagert ist. Zum Beispiel beim ziehen eines einkaufswagens.
Somit wirkt die Reibkraft immer bremsend
Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 18. März 2010 00:02    Titel: Antworten mit Zitat

So, Meister. Hier bin ich wieder; ich habe noch über alles, was du mir geschrieben hast, nachgedacht. Mir sind dabei glücklicherweise ein paar Fehler aufgefallen, die ich in meinen bisherigen Überlegungen angestellt habe.

Zu den Reibungsgeschichten habe ich mir diesen Thread von dir und steel durchgelesen und: ich bin begeistert smile. http://www.physikerboard.de/ltopic,16046,0,asc,0.html

Daher muss ich ganz klein beigeben und dir Recht geben, dass ich die Reibkraft in diesem Beispiel falsch herum angetragen habe. Es ist ja wirklich sehr wichtig zu wissen, wie genau die Bewegung abläuft, wie sie erzeugt wird. Die Beispiele mit dem Zug und dem Einkaufswagen waren hilfreich!

Nun hast du mir in deinem 3. Posting eindrucksvoll gezeigt, dass die beiden Gleichungen (Zu Kreis 1 und Kreis 2) tatsächlich gleich sind. Ich hatte mich davor immer gewundert, wie es sein kann, dass bei der zweiten Gleichung, also , die Reibkraft überhaupt keinen Einfluss mehr hat. Aber das ist natürlich Blödsinn, da diese bereits über die kinematische Beziehung eingeflochten ist. Sprich, ich gehe bereits von einer Rollbewegung aus. Stimmt das so, hast du da Einwände? Ich bin sehr vorsichtig geworden, mit dem was ich sage Augenzwinkern.

Mit der Festlegung des unteren Punktes als Bezugspunkt für den Drallsatz, habe ich also bereits festgelegt, dass der ganze Körper darum rollt?

So, jetzt muss ich aber noch mal bei meiner Altklausuraufgabe, wo es um die (unbewegte) Drehachse geht, nachhaken. Was ist mit "unbewegt" gemeint? Ich meine, bei unseren beiden Fällen bewegt sich die Drehachse (ein mal im Schwerpunkt, ein mal im Kontaktpunkt) ja translatorisch mit! Oder ist damit eine Rotation (um den Pol) gemeint? Vllt. kannst du hier noch etwas Licht ins Dunkel bringen. Ich könnte zusätzlich auch fragen: Sind die beiden Punkte am Kreis, über die wir hier die ganze Zeit reden, die einzigen, die man hier für die einfache Form des Drallsatzes nehmen kann, ohne zusätzliche Trägheitskräfte beachten zu müssen? (Wenn du das jetzt verneinst, wäre das der Beweis, dass ich wohl doch nichts verstanden habe Augenzwinkern ).

Irgendwie entmutigt es mich ein bisschen, dass ich dir diese Fragen nach drei Semestern technischer Mechanik an der Uni stellen muss. Anscheinend ist uns genau in diesen Detailfragen die theoretische Mechanik erheblich überlegen unglücklich. Studierst du Physik?
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 19. März 2010 21:49    Titel: Antworten mit Zitat

RIC hat Folgendes geschrieben:

Daher muss ich ganz klein beigeben und dir Recht geben, dass ich die Reibkraft in diesem Beispiel falsch herum angetragen habe. Es ist ja wirklich sehr wichtig zu wissen, wie genau die Bewegung abläuft, wie sie erzeugt wird. Die Beispiele mit dem Zug und dem Einkaufswagen waren hilfreich!


Ich habe oben schon geschrieben das es in diesem Beispiel nicht so ersichtlich ist wie die Reibkraft wirkt. Es kann dein Fall eintreten so wie meiner, abhängig von Trägheitsmoment und Hebelarm.
Greift FF im Schwerpunkt an so bremst die Reibkraft immer.

RIC hat Folgendes geschrieben:

Ich hatte mich davor immer gewundert, wie es sein kann, dass bei der zweiten Gleichung, also , die Reibkraft überhaupt keinen Einfluss mehr hat. Aber das ist natürlich Blödsinn, da diese bereits über die kinematische Beziehung eingeflochten ist. Sprich, ich gehe bereits von einer Rollbewegung aus. Stimmt das so, hast du da Einwände?


Zu nächstmal ist die Rollbedingung näher theoretisch betrachtet genau das gleiche wie eine Rotation um einen Fixpunkt, der ausserhalb des Schwerpunktes liegt und zwar der Auflagepunkt.
selbe Geschwindigkeits - Beschleunigungsverhältnisse. Der einzige Unterschied ist das man für eine Rotation um den Auflagepunkt eine Zentripetalkraft benötigen würde, aber die hat ja keine Auswirkung auf alpha. Das keine um den Auflagepunkt wirkt erkennt man weil der Schwerpunktsgeschwindigkeitsvektor vs immer gleich bleibt.

Man kann sich also theoretisch vorstellen , das um den Auflagepunkt gedreht wird, dadurch wird der Auflagepunkt durch die Zentrifugalkraft wegbeschleunigt und ein neuer Auflagepunkt tritt an seine Stelle.

Manche behaupten man solle den Abrollvorgang betrachten als das was er ist nämlich eine Drehung um den Auflagepunkt, die sollen mir dann mal erklären, wieso vs immer gleich bleibt. Denn eine wirkliche Drehung um den Auflagepunkt würde eine Umlenkung von vs erfordern.
In Wirklichkeit ist alles immer eine Bewegung des Schwerpunktes und Drehung des Schwerpunktes. Wie ich oben schon geschrieben habe muß man nicht unbedingt den Schwerpunkt betrachten.

Dadurch das du das Trägheitsmoment mit dem Verschiebesatz von Steiner bestimmst und es mit einem einheitlichen Alpha multipliziert, hast du die Abläufe bereits nach der Rollbedingung festgelegt.

(Is+ m*r²) * alpha=Is* alpha + m*as *r

as=alpha*r.... Du definierst also hiermit genau die Rollbedingung.

Erinnerung Rollbedingung ist genau das gleiche wie eine Rotation um einen Fixpunkt. vom Beschleunigungs geschwindigkeitsverlauf.

Zu deiner Frage mit dem Einfluss der Reibkraft:

Die Reibkraft hat tatsächlich keinen Einfluss auf das gesamte, sie ist eine Zwangskraft für die vordefinierte Bewegung, die du mit
(Is+ m*r²) * alpha beschreibst. Diese Gleichung gilt für eine Rotatiom um einen Fixpunkt.
Mit dieser Gleichung definierst du die Reibkraft als Zwangskraft die gerade soviel Kraft aufbringt das die Bewegung so wie du sie definiert hast abläuft.
Und das ist ja auch der Fall.
Solange du Haftreibung hast wirkt die Reibkraft nicht mit einem festen vordefinierten wert von müH* FN sondern liegt in diesem Bereich 0 bis. Sie stellt sich auf den Wert ein der gerade notwendig ist um FF diese Rollbewegung ausführen zu lassen.
Das ist nix anderes wie die Lagerkraft bei der Rotation.

Die wird auch gerade nur so groß wie es gerade notwendig ist den Körper um den Fixpunkt rotieren zulassen. Sie ist keine agierende Kraft sondern ein reactio, das durch FF verursacht wird.

Alles steckt also kompakt in der Formel:
(Is+ m*r²) * alpha drinnen.

Die Reibkraft genauso wie die Lagerkraft wäre dann FF-m*as

RIC hat Folgendes geschrieben:

So, jetzt muss ich aber noch mal bei meiner Altklausuraufgabe, wo es um die (unbewegte) Drehachse geht, nachhaken. Was ist mit "unbewegt" gemeint? Ich meine, bei unseren beiden Fällen bewegt sich die Drehachse (ein mal im Schwerpunkt, ein mal im Kontaktpunkt) ja translatorisch mit! Oder ist damit eine Rotation (um den Pol) gemeint? Vllt. kannst du hier noch etwas Licht ins Dunkel bringen.


wenn du meinst das es sich beim Schwerpunkt um eine bewegte Drehachse handelt dann hast du Recht.

wenn du meinst das es sich beim Auflagepunkt um eine bewegte Drehachse handelt, dann hast du nicht ganz Recht, aber auch nicht ganz unrecht.

Der Auflagepunkt bewegt sich über dt->0 mit v->0. kann man also als unbewegt betrachten. Das der Auflagepunkt mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit vs wandert erscheint dir nur so Aber das ist aufgrund dessen, das jedesmal wieder ein neuer Punkt des Rades ein Auflagepunkt wird, während der Schwerpunkt immer derselbe Punkt bleibt.

Ich mein jetzt kommt ein blödes Beispiel, aber mir fällt kein anderes ein.

Man stelle sich vor man hat 100 Zwillinge nebeneinander stehen, die man in zwei Zustände bringen kann. Nämlich sichtbar und unsichtbar.
Nun sitzt ich am Schalthebel. und stelle den ersten auf sichtbar alle anderen auf unsichtbar. danach stelle ich den ersten auf unsichtbar, den zweiten aufsichtbar, danach den zweiten auf unsichtbar, den dritten auf sichtbar usw. bis zum 100.

Wenn du diesem Spektakel beiwohnst würdest du glauben es wäre eine Person die durch den Raum wandert. in Wirklichkeit ist aber nie jemand durch den Raum gewandert.

Der Schwerpunkt ist eine bewegte Drehachse.
Die einfache Form deswegen. Weil jedes Drehmoment immer um den Schwerpunkt dreht und jede Kraft immer eine translatorische Beschleunigung im Schwerpunkt erzeugt.
Wobei eigentlich Schwerpunkt der falsche Begriff ist. Eigentlich wärs der Massenmittelpunkt. Der Schwerpunkt ist ganz was anderes und fällt nur bei einheitlicher Schwerebeschleunigung mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Aber irgendwie hat sich Schwerpunkt durchgesetzt.

Wieso jedes Drehmoment um den Massenmittelpunkt dreht und wieso jede Kraft eine beschleunigung in diesem erzeugt ist wieder ein anderes Kapitel.

RIC hat Folgendes geschrieben:

Irgendwie entmutigt es mich ein bisschen, dass ich dir diese Fragen nach drei Semestern technischer Mechanik an der Uni stellen muss.


Ich glaub nicht das du der einzige bist, der irgendwann mal was nicht gleich bis ins letzte Detail versteht.

Meistens kriegt man ja was vorgeworfen im Sinne von da hast und friß.
Für das wieso bleibt nicht soviel Zeit, weil ja der Drallsatz nicht das einzige ist was man in der mechanik beherrschen muß.

Physik studiere ich nicht, ich bin mehr autodidakt habe aber eine mechanische Grundausbildung aus der HTL für Maschinenbau und Automatisierungstechnik.
Das meiste was ich von der Dynamik weiß, hab ich aus keinen Lehrbuch, sondern selbst erarbeiten müssen durch etliches Grübeln, wenn mir mal langweilig war.
Bin aber draufgekommen das sich die Dynamik überhaupt nicht von der Statik unterscheidet, für mich ist alles und jeder Zeit im Gleichgewicht, weil ich dieses m*as als tatsächliche Kraft betrachte die gegen die resultierende wirkt, genauso dieses Is*alpha betrachte ich als reales Drehmoment das gegen das resultierende wirkt.
Aber das ist wieder eine eigene Geschichte.


Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 20. März 2010 13:04, insgesamt 4-mal bearbeitet
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 20. März 2010 01:19    Titel: Antworten mit Zitat

ich muß mich für die Verunsicherung entschuldigen. In deinem Fall hast du sogar recht mit der Wirkung der Reibkraft.
wenn ich ein Trägheitsmoment des Zylinders annehme.
Ich betrachte zunächst was passieren würde ohne Reibkraft.



mit rs=r



Beschleunigung aufgrund Drehung im Auflagepunkt:



Die Schwerpunktsbeschleunigung:



hier würde also die doppelte Beschleunigung aufgrund Drehung im Auflagepunkt herrschen, als die im Schwerpunkt, somit muß die Reibkraft, nach vorne wirken.

Setz mal die Gleichung mit einer nach vorne gerichteten Reibkraft für den Schwerpunkt an.

Nach der oben geschilderten Theorie muß trotzdem wieder alles gleich der 2 Gleichung sein.
Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 27. März 2010 17:47    Titel: Antworten mit Zitat

Hey VeryApe,

habe jetzt wieder etwas Zeit gefunden und die letzten Stunden viel gegrübelt und gerechnet Thumbs up!.

Du hast Recht, da gings jetzt wirklich etwas drunter und drüber mit dem Verständnis und der Sauberkeit der Argumentation. Anscheinend war meine erste Intuition über die Wirkungsrichtung der Reibkraft doch richtig, allein schon aufgrund der Tatsache, dass ich es seltsam fand, dass eine rückwärtig gerichtete Reibkraft die durch die Fadenkraft erzeugte Rotation nur noch verstärkt hätte. Aber das war nur ein haltloses Bauchgefühl, dummer Glaube und hatte mit reiner Physik wenig zu tun.

In deinem letzten Post sieht man es dann ganz deutlich, dass für das Trägheitsmoment des Vollzylinders die Reibkraft nach vorne zeigt (also in Translationsrichtung). Jetzt verstehe ich auch erst, was du damit meinst, dass auch der Hebelarm von eine Auswirkung hat. Klar ist mir jetzt, dass die Fadenkraft natürlich immer dieselbe Schwerpunktsbeschleunigung erzeugt, aber die Drehung vom erzeugten Moment abhängt.
Daher habe ich ganz sauber mal die Newton'schen Gleichungen aufgestellt und eine beliebige Reibkraft (nach vorne gerichtet) angenommen.



Mit der Rollbedingung und dem genannten Trägheitsmoment folgte dann tatsächlich, dass ist, also richtungsgleich. Für eine im Schwerpunkt angreifende Kraft erhielt ich dann . Im ersten Fall führt der Hebelarm also zu einer Drehung, die, um die Rollbedingung zu erfüllen, zu schnell ist. Daher muss die Reibkraft der Drehung entgegen wirken. Dies führt unweigerlich zu einer Translationserhöhung.
Im zweiten Fall führt natürlich zu gar keiner Drehung bzgl. des Schwerpunktes, daher muss das dann die Reibkraft übernehmen (für Rollen) und zwackt der Translationsenergie etwas für die zu erzeugende Rotation ab. Das führt mich zu der Annahme, dass es einen Hebelarm gibt, der dafür sorgt, dass die Drehung und die Translation gerade so abgestimmt sind, dass der Körper ohne Einwirken einer Reibkraft rollt. Die Annahme ist jetzt natürlich dass dieser Hebelarm gerade dem halben Radius entspricht (sofern immer noch über dem Schwerpunkt angreift). Und siehe da, die Gleichungen bestätigen es.

Das was ich hier alles wegblubber, hast du ja alles schon gesagt, ich weiß. Aber ich finds wirklich sehr interessant und freu mich über die Erkenntnisse smile.

Ich hatte interessehalber auch mal geschaut, wie viel kinetische Energie diese Wechselwirkung der Reibkraft mit dem Boden verschlingt, wenn oben angreift. Immerhin 1/6 geht verloren, um die Bewegungen auf das richtige Maß zu trimmen.

Jetzt noch was zur Drehachse. Ich habe verstanden, dass der Schwerpunkt sich als Achse bewegen darf. Und ich habe auch deine Veranschaulichung, dass der Auflagepunkt mit jedem dt ein neuer wird, verstanden. Es ist also so, als würde man ein Foto machen (ein dt vergehen lassen) und in diesem Zustand bereits alle Informationen aus dem System herauslocken können. Na ja, bissl arg seltsam beschrieben Big Laugh. Ich gestehe, ich empfinde das etwas als Schummelei und ich weiß nicht, ob ich es ganz verstanden habe - also, dass das geht.
Du schreibst ...

Zitat:
Manche behaupten man solle den Abrollvorgang betrachten als das was er ist nämlich eine Drehung um den Auflagepunkt, die sollen mir dann mal erklären, wieso vs immer gleich bleibt. Denn eine wirkliche Drehung um den Auflagepunkt würde eine Umlenkung von vs erfordern.


Das ist übrigens genau der Grund, weshalb ich Kreis 3 ganz oben gezeichnet habe. Das ist für mich eine Drehung um den Auflagepunkt. Nur ist das ja ein völlig anderes Beispiel, denn um eine tatsächliche Drehung zu erzeugen, müsste ja mindestens auch drehen. Ansonsten würde sich wohl ziemlich schnell ein statischer Zustand einstellen. Aber das hilft mir jetzt auch nicht.

Du hattest ganz oben noch geschrieben:

Zitat:
übrigens beide Winkel sind gleich
wie du aus den 2 Gleichungen erkennen kannsd. Wären sie nicht gleich würde die Theorie nicht stimmen. Also du kannsd das ja geometrisch untersuchen.


Ich habe das jetzt wirklich mal untersucht. Ich habe für den ersten Fall raus, dass für ein Stück Bogenlänge gilt: . Für Fall 2, also die Drehung um die Auflage, habe ich mir einen doppelt so großen Kreis vorgestellt, in dem der eigentliche drin liegt und erhielt für den großen Kreis als Bogenlänge und durch scharfes Hinsehen und Eulergleichung folgte dann für mich, dass und damit dass . Aber eben wirklich nur für ein dt, weil sich der kleine Kreis im großen sonst weggedreht hätte. Ich finde also die Winkelzählung für sehr verwirrend, weil es sich in meinen Augen um einen anderen Winkel handelt und recht zufällig dennoch die gleiche Bewegung beschrieben wird.

Was mir eben spontan noch eingefallen ist: Ich habe mir noch gar nicht überlegt, wo der Drallsatz eigentlich herkommt. Ich muss das jetzt hier auch noch reinquetschen:

Wir kennen ja den Drehimpuls L:


Und um jetzt auf den Drall zu kommen, schauen wir uns ja auch nur eine kleine Drehimpulsänderung über ein dt an. Also ...

.

Ich weiß jetzt nicht, ob das Sinn ergibt, aber wenn die äußeren Kräfte und Momente konstant sind, dann spielt es ja keine Rolle, ob ich ein lang hingucke oder ein oder ein oder ... . Da die Drehimpulsänderung über der Zeit damit auch konstant wäre. Und dann sehe ich die Schummelei mit den Winkeln ein, weil ich dann wirklich nur ein dt hingucken muss. Nur: Was wenn die äußeren Lasten zeitabhängig sind bzw. hat das überhaupt etwas damit zu tun? Ich glaub, ich seh den Baum vor lauter Wäldern grad nicht mehr Big Laugh.

So, Schluss erstmal. Hab Hunger Augenzwinkern. Kann dir immer wieder nur danken, dass du dir die Zeit nimmst. Ich hab auch über deinen Ansatz nachgedacht, alles als statischen Fall zu betrachten und die Trägheitsterme als Kräfte/Momente zu betrachten. Gefällt mir Thumbs up!. Und auch deine autodidaktische Ader finde ich toll. Mir fehlt es leider allzu oft an Zeit und manchmal auch an Grips, mir irgendwas selbst beizubringen. Was ich sehr bedaure übrigens.



phi.jpg
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  phi.jpg
 Dateigröße:  78.52 KB
 Heruntergeladen:  3050 mal

VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3154
Wohnort: Austria - Wiener Neustadt

Beitrag VeryApe Verfasst am: 27. März 2010 23:33    Titel: Antworten mit Zitat

Man betrachtet ja mit dem 2 Fall eine Drehung um den Auflagepunkt, Da aber der Auflagepunkt ständig wechselt, kann diese Drehung nur für dt->0 betrachtet werden.
Das ist auch keine Schummelei, das ist einwandfrei.

Ich vermute aber das du wahrscheinlich den winkel zum Auflagepunkt anders interpretierst.

Du bewegst dein Messsystem mit der schwerpunktsgeschwindigkeit mit und betrachtest jedesmal den Winkel eines bestimmten Punktes zum Momentanen auflagepunkt, wenn du diesen winkel dann in deine Berechnung nimmst bzw diese Winkeländerung wirsd du zwangsläufig falsch ermitteln. Der winkel ist kleiner als der Schwerpunktswinkel.

Wenn du die winkeländerung zu einem ruhenden Auflagepunkt betrachtest, und dann berücksichtigst das die winkeländerung der Punkte zu dem neuen Auflagepunkt der nach dt dann eintritt anders sind, dann weißt du das du dies nicht für deine Berechnung heranziehen mit deiner oben angegebenen Gleichung für Bild 2.

Wenn sich die Momente und Kräfte zeitabhängig verändern, so betrachtet man sie immer über einen Zeitabschnitt dt->0 als konstant.
Die Beschleunigung und den Drehwinkel für diese Zeit kann man sich mit deiner Gleichung errechnen.
Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 28. März 2010 01:59    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann meinen wir sogar mal das gleiche Big Laugh. Na klar, kann ich im beim rechten Beispiel den Winkel nicht durchlaufen lassen, sondern muss nach jedem dt mit der Zählung erneut beginnen. Deswegen habe ich mich in der Skizze auch auf infinitesimale Winkel, die nur über ein dt dauern beschränkt. Sonst bekäme ich ja nur Winkel die vom Betrage her zwischen und schwankten. Meintest du das auch?

Anscheinend stecken in diesem kleinen Zeitdifferential bereits alle Informationen über das System drin.

Mir ist auch noch aufgefallen, dass wir oben in der Herleitung ja bereits geklärt (?) hatten, dass als Winkel immer der des Schwerpunktes genommen wird. Der wurde ja nie angetastet und etwa auf den Auflagepunkt verschoben. Es blieb in der Betrachtung immer .

Beste Grüße und einen erholsamen Sonntag,
Rick smile.
Ric



Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182

Beitrag Ric Verfasst am: 01. Apr 2010 20:44    Titel: Antworten mit Zitat

Hey,

habe in meinem Mechanikbuch (Hauger, Gross) die exakte Herleitung des Drehimpulssatzes gefunden und gleich mal alles versucht herzuleiten. Die Herleitung läuft über den Schwerpunkt eines starren Körpers:


P ist ein beliebiger, S der Schwerpunkt. Dann wird zwei Mal nach der Zeit abgeleitet:

.

ist aber gerade die im Schwerpunkt angreifende Kraft, die aus der Summe aller kleinen , die an jedem angreifen, besteht. So gelangt man zu


Nun möchte man das Moment haben, das diese alle um einen beliebigen, körperfesten Punkt A ausüben. Dazu wird von links mit einem dem Abstandsvektor gekreuzt:



Die rechte Seite ist definitionsgemäß gerade das Moment und die linke Seite wird erst Mal kräftig bearbeitet. Das schenk ich mir hier und schreibe gleich das Resultat dieser Umformung auf:



Und jetzt kommt das ewig Diskutierte: Wähle ich einen unbewegten Punkt durch den die Drehachse verläuft, wird . Wähle ich den Schwerpunkt als Achse wird . Und Heureka, wer hätte das gedacht, es bleibt in beiden Fällen die Form:



Frohes Fest smile.
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik