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Physik_Student
Anmeldungsdatum: 01.07.2021
Beiträge: 26
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 Physik_Student Verfasst am: 01. Jul 2021 13:51 Titel: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, in der wir die Drehachsen, um welche eine kräftefreie Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit möglich ist, bestimmen sollen. Das sollen wir mit Euler-Gleichungen machen, die wie folgt gegeben sind:
\omega_2\omega_3=0 \\ I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_1\omega_3=0 \\ I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2=0 )
Die Hauptträgheitsmomente sollen außerdem verschieden sein.
Meine Ideen:
Weil die Winkelgeschwindigkeit konstant sein soll, müsste ja der erste Teil der 3 Gleichungen jeweils wegfallen. Nach Voraussetzung sind die Trägheitsmomente verschieden, somit kann die Klammer in der jeweiligen Gleichung nicht 0 werden. Damit folgt ja dann:
\omega_2\omega_3=0 \Leftrightarrow (I_3-I_2)\omega_2\omega_3=0 \Rightarrow \omega_2 = 0 \vee\omega_3 = 0 \vee\omega_2=\omega_3=0)
für die erste Gleichung und für die anderen kann man analog vorgehen. Dann müsste auch die Möglichkeit, dass beide Omegas 0 sind rausfliegen, weil dann würde sich ja gar nichts drehen. Aber von hier weiß ich nicht weiter, wie finde ich jetzt die gesuchten Drehachsen heraus? Kann man jemand helfen?
Danke im Voraus und LG |
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 01. Jul 2021 15:04 Titel: |
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Gibt es denn einen konkreten Körper der zu betrachten ist? Es geht ja hier um die Bestimmung der Achsen und nicht um die Bestimmung der Trägheitsmomente. Auch wenn der Wert von I3 und I2 identisch ist, sind es die Achsen definitiv nicht. |
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Physik_Student
Anmeldungsdatum: 01.07.2021
Beiträge: 26
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| Physik_Student Verfasst am: 01. Jul 2021 15:18 Titel: |
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| gast_free hat Folgendes geschrieben: | | Gibt es denn einen konkreten Körper der zu betrachten ist? Es geht ja hier um die Bestimmung der Achsen und nicht um die Bestimmung der Trägheitsmomente. Auch wenn der Wert von I3 und I2 identisch ist, sind es die Achsen definitiv nicht. |
Nein, in der Aufgabe heißt es nur: "Wir betrachten einen starren Körper mit drei paarweise verschiedenen Hauptträgheitsmomenten." |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jul 2021 15:31 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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Alle  sind ungleich null. Daraus folgt:
Die verbleibende Frage ist also: welche  \neq 0) erfüllen diese drei Bedingungen? Betrachte irgendeines der Produkte  und setze einen Faktor gleich null. Was folgt dann? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5869
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| Myon Verfasst am: 01. Jul 2021 15:32 Titel: |
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Naja, aus  folgt, dass nur ein  ungleich null sein kann. D.h. die Rotation muss um eine der Hauptträgheitsachsen erfolgen. Man kann dann noch zeigen, dass nur eine Drehung um die Achse mit dem grössten oder dem kleinsten Hauptträgheitsmoment stabil ist. Die Drehung um die Achse mit dem „mittleren“ Hauptträgheitsmoment ist instabil, eine kleine Störung bewirkt eine exponentielle Änderung der Drehachse. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 01. Jul 2021 15:34 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Physik_Student hat Folgendes geschrieben: | Damit folgt ja dann:
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Da stimmt was nicht in deiner Argumentation, denn wir können z.B.
annehmen, und alle Gleichungen sind erfüllt: Eine Rotation um eine der Haupträgheitsachsen ist also mit konstanter Winkelgeschwindigkeit möglich (was ja intuitiv auch logisch erscheint). Stabile Achsen sind aber nur jene mit dem größten und kleinsten Wert für I.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Zuletzt bearbeitet von schnudl am 01. Jul 2021 15:38, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jul 2021 15:38 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Physik_Student hat Folgendes geschrieben: | Damit folgt ja dann:
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Da stimmt was nicht in deiner Argumentation, denn wir können z.B.
annehmen, und alle Gleichungen sind erfüllt: |
Da steht doch auch  oder  oder (redundanterweise) beide sind null. Das stimmt doch.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 01. Jul 2021 15:48, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 01. Jul 2021 15:45 Titel: |
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Besitzen alle Hauptträgheitsmomente denselben Wert, dann besitzt jede Drehachse die durch den Schwerpunkt verläuft ebenfalls das gleiche Trägheitsmoment. Dies hat zur Folge das die Körper, bei homogener Dichte bestimmte geometrische Eigenschaften besitzen. Dazu zählen Körper wie z.B.
Kugeln, Würfel usw.
Die Hauptträgheitsmomente in der Schnittebene sind die mit dem größten und kleinsten Trägheitsmoment. Ihre Achsen stehen senkrecht aufeinander. Die Achse des dritten Haupträgheitsmoments steht wiederum senkrecht auf den beiden anderen Achsen. Bei symmetrischen Körpern verlaufen diese Achsen entlang der Symmetrielinien. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 01. Jul 2021 15:48 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Physik_Student hat Folgendes geschrieben: | Damit folgt ja dann:
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Da stimmt was nicht in deiner Argumentation, denn wir können z.B.
annehmen, und alle Gleichungen sind erfüllt: |
Da steht doch auch  oder  oder (redundanterweise) beide sind null. Das stimmt doch. |
Ich hab es so verstanden, dass der Fragesteller zum Schluss kam, dass sich bei Berücksichtigung aller drei Gleichungen nichts drehen kann. Das habe ich falsch herausgelesen und wollte sagen, dass es Lösungen gibt, wo jeweils genau eine der Hauptdrehrichtungen ungleich null ist (siehe Beispiel).
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Physik_Student
Anmeldungsdatum: 01.07.2021
Beiträge: 26
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| Physik_Student Verfasst am: 01. Jul 2021 16:12 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Alle sind ungleich null. Daraus folgt:
Die verbleibende Frage ist also: welche erfüllen diese drei Bedingungen? Betrachte irgendeines der Produkte und setze einen Faktor gleich null. Was folgt dann? |
Also irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch: Ich kann ja  annehmen, solange die jeweils anderen beiden Omegas gleich 0 sind, oder nicht? Wie kann ich jetzt wissen, welches davon das Richtige ist? Das mit dem Faktor verstehe ich auch nicht so ganz, ich verstehe das so:
Betrachte z.B. einen Faktor  Setze  Ich sehe nicht, was ich daraus folgern kann, kannst du es mir vielleicht noch einmal anders beschreiben? Danke für die Antowort! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jul 2021 16:26 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Physik_Student hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | Alle sind ungleich null. Daraus folgt:
Die verbleibende Frage ist also: welche erfüllen diese drei Bedingungen? Betrachte irgendeines der Produkte und setze einen Faktor gleich null. Was folgt dann? |
Also irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch: Ich kann ja annehmen, solange die jeweils anderen beiden Omegas gleich 0 sind, oder nicht? Wie kann ich jetzt wissen, welches davon das Richtige ist?
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Was heißt das "richtige"? Gehst du davon aus, daß es nur eine Lösung gibt? Alle möglichen Lösungen sind richtig.
| Zitat: |
Das mit dem Faktor verstehe ich auch nicht so ganz, ich verstehe das so:
Betrachte z.B. einen Faktor Setze Ich sehe nicht, was ich daraus folgern kann, kannst du es mir vielleicht noch einmal anders beschreiben? Danke für die Antowort! |
In jedem Produkt muß ein Faktor null sein, und in mindestens einem Produkt muß ein Faktor ungleich null sein. Nun nimm dir irgendein Produkt, z.B.  . Jetzt machst du eine Fallunterscheidung
1) 
2) 
3) 
Andere Möglichkeiten gibt es nicht. Aus 1) folgt sofort  . Und aus der verbleibenden Gl.  folgt nichts neues mehr. Also hast du die erste Lösung: ) . Mit einem beliebigen  . Jetzt machst so lange weiter bis du alle Möglichkeiten erschöpft hast. 2) Funktioniert analog. Aus 3) folgt sofort  . Und du bist fertig. |
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Physik_Student
Anmeldungsdatum: 01.07.2021
Beiträge: 26
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| Physik_Student Verfasst am: 01. Jul 2021 17:06 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Zitat: | In jedem Produkt muß ein Faktor null sein, und in mindestens einem Produkt muß ein Faktor ungleich null sein. Nun nimm dir irgendein Produkt, z.B. . Jetzt machst du eine Fallunterscheidung
1)
2)
3)
Andere Möglichkeiten gibt es nicht. Aus 1) folgt sofort . Und aus der verbleibenden Gl. folgt nichts neues mehr. Also hast du die erste Lösung: . Mit einem beliebigen . Jetzt machst so lange weiter bis du alle Möglichkeiten erschöpft hast. 2) Funktioniert analog. Aus 3) folgt sofort . Und du bist fertig. |
Danke für die weitere Erklärung! Heißt das also, dass um jede Achse eine kräftefreie Rotation möglich ist? Denn ich habe das jetzt so verstanden: Durch das Gleichsetzen  eliminiert man erstmal noch kein Omega, für alle drei ist der Fall "ungleich 0" möglich. Nun betrachte ich ein Produkt, z.B.  und erhalte durch Fallunterscheidung drei verschiedene Möglichkeiten:
 \omega_1\neq 0\\ 2.) \omega_2\neq0 \\3.) \omega_3\neq 0) Das heißt, kräftefreie Rotation ist um jede Achse möglich, solange die Rotationsgeschwindigkeit der anderen beiden Achsen gleich Null ist. Stimmt das so? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jul 2021 17:23 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Physik_Student hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | In jedem Produkt muß ein Faktor null sein, und in mindestens einem Produkt muß ein Faktor ungleich null sein. Nun nimm dir irgendein Produkt, z.B. . Jetzt machst du eine Fallunterscheidung
1)
2)
3)
Andere Möglichkeiten gibt es nicht. Aus 1) folgt sofort . Und aus der verbleibenden Gl. folgt nichts neues mehr. Also hast du die erste Lösung: . Mit einem beliebigen . Jetzt machst so lange weiter bis du alle Möglichkeiten erschöpft hast. 2) Funktioniert analog. Aus 3) folgt sofort . Und du bist fertig. |
Danke für die weitere Erklärung! Heißt das also, dass um jede Achse eine kräftefreie Rotation möglich ist?
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Nicht um jede Achse, sondern um jede Hauptachse. (Und wie oben bereits angemerkt wurde, hat eine der Achsen ein Stabilitätsproblem. Aber davon scheint die Aufgabe nichts wissen zu wollen.)
| Zitat: |
Denn ich habe das jetzt so verstanden: Durch das Gleichsetzen eliminiert man erstmal noch kein Omega, für alle drei ist der Fall "ungleich 0" möglich.
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Ja, und es sind nur Fälle möglich, in denen mindestens zwei  . Das ist die Schlußfolgerung.
| Zitat: |
Nun betrachte ich ein Produkt, z.B. und erhalte durch Fallunterscheidung drei verschiedene Möglichkeiten:
Das heißt, kräftefreie Rotation ist um jede Achse möglich, solange die Rotationsgeschwindigkeit der anderen beiden Achsen gleich Null ist. |
Der letzte Satz ist etwas seltsam formuliert. Kräftefreie Rotation ist um genau 3 Achsen möglich. Welche das sind haben wir jetzt festgestellt. |
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Physik_Student
Anmeldungsdatum: 01.07.2021
Beiträge: 26
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| Physik_Student Verfasst am: 01. Jul 2021 19:18 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Zitat: |
Nicht um jede Achse, sondern um jede Hauptachse. (Und wie oben bereits angemerkt wurde, hat eine der Achsen ein Stabilitätsproblem. Aber davon scheint die Aufgabe nichts wissen zu wollen.) |
Das stimmt, da habe ich mich undeutlich ausgedrückt. Das ist tatsächlich sehr relevant für mich, weil ich in Teilaufgabe b) die gefundene Achsen auf Stabilität untersuchen soll.
| Zitat: |
Der letzte Satz ist etwas seltsam formuliert. Kräftefreie Rotation ist um genau 3 Achsen möglich. Welche das sind haben wir jetzt festgestellt. |
Das heißt, kräftefreie Rotation ist um genau 3 Achsen möglich, die 3 Hauptträgheitsachsen mit den zugehörigen Winkelgeschwindigkeiten  , wobei jeweils zwei der Omegas gleich Null sein müssen, was wir oben gezeigt haben; stimmt das so?
Vielen Dank für die Mühe! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jul 2021 20:30 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Physik_Student hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Der letzte Satz ist etwas seltsam formuliert. Kräftefreie Rotation ist um genau 3 Achsen möglich. Welche das sind haben wir jetzt festgestellt. |
Das heißt, kräftefreie Rotation ist um genau 3 Achsen möglich, die 3 Hauptträgheitsachsen mit den zugehörigen Winkelgeschwindigkeiten , wobei jeweils zwei der Omegas gleich Null sein müssen, was wir oben gezeigt haben; stimmt das so?
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Wenn du es verstanden hast, mußt du mir doch jetzt sagen können, ob es stimmt. Wenn du mich fragst, hast du irgendwas noch nicht verstanden.
Weil genau zwei null sein müssen, sind die möglichen Drehrichtungen gerade die Hauptrichtungen. Ich glaube dieser Zusammenhang ist dir noch nicht klar genug. |
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Physik_Student
Anmeldungsdatum: 01.07.2021
Beiträge: 26
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| Physik_Student Verfasst am: 01. Jul 2021 21:10 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Zitat: |
Weil genau zwei null sein müssen, sind die möglichen Drehrichtungen gerade die Hauptrichtungen. Ich glaube dieser Zusammenhang ist dir noch nicht klar genug. |
Ja das stimmt, das ist mir noch nicht ganz klar. Mir ist z.B. nicht ganz klar, ob die Omegas Komponenten eines Omega sind, also :
oder ob die einzelnen Omega selber Vektoren sind. Denn wenn es die Komponenten eines Vektors sind, dann ist es klar, dass sich der Körper um die Hauptachsen dreht, weil dann ja jeweils zwei Komponenten des Vektors 0 sind. Aber falls das nicht der Fall ist, bräuchte ich noch einmal eine Erklärung.
LG |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 01. Jul 2021 23:12 Titel: |
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Die ω1, ω2 und ω3 sind Zahlen - mögliche Vektoren der Winkelgeschwindigkeiten sind (alle Hautptträgheitsmomente verschieden):
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Physik_Student
Anmeldungsdatum: 01.07.2021
Beiträge: 26
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| Physik_Student Verfasst am: 01. Jul 2021 23:21 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Die ω1, ω2 und ω3 sind Zahlen - mögliche Vektoren der Winkelgeschwindigkeiten sind (alle Hautptträgheitsmomente verschieden):
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Dann habe ich es jetzt verstanden, vielen Dank! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Jul 2021 08:22 Titel: Re: Euler-Gleichungen, Drehachse bestimmen |
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| Physik_Student hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Weil genau zwei null sein müssen, sind die möglichen Drehrichtungen gerade die Hauptrichtungen. Ich glaube dieser Zusammenhang ist dir noch nicht klar genug. |
Ja das stimmt, das ist mir noch nicht ganz klar. Mir ist z.B. nicht ganz klar, ob die Omegas Komponenten eines Omega sind, also :
oder ob die einzelnen Omega selber Vektoren sind. Denn wenn es die Komponenten eines Vektors sind, dann ist es klar, dass sich der Körper um die Hauptachsen dreht, weil dann ja jeweils zwei Komponenten des Vektors 0 sind. |
Ja, es sind die Komponenten eines Vektors bzgl. des Hauptachsensystems des Trägheitstensors. Das liegt daran, daß du die Eulergleichung schon in diesem Hauptachsensystem gegeben hast. In einem anderen System hat der Vektor  natürlich andere Komponenten und die Eulergleichung sieht komplizierter aus. |
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