Die akustische Unschärfe - Herleitung

Fabian2206 · Anmeldungsdatum: 16.01.2010 Beiträge: 53 Wohnort: Prüm

Laut dem Physiklehrbuch "Metzler" ist die akustische Unschärfe folgendermaßen definiert:

Zwischen der Dauer der Schwingung 2?t und der Breite des Frequenzintervalls 2?f besteht der als akustische Unschärfe bezeichnete Zusammenhang:

Warum die Dauer von 2?t? Warum die Breite von 2?f? Und vor allem:
Woher stammt der Zusammenhang zwischen Dauer der Schwingung und der Breite des Frequenzintervalls und wie ergibt sich dieser zu der Konstanten "1/2"?

Was ich benötige ist ein Herleitungsansatz der diese Punkte verständlich macht.

MfG
Fabian L.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Magst du dazu mal dort

http://www.physikerboard.de/topic,10872,-akustische-unschaerfe.html

und damit auch dort

http://www.ha.shuttle.de/ha/hildegardis/mint/physik/plemplem/probekapitel.htm#tth_sEc5.5.1

spicken?

Fabian2206 · Anmeldungsdatum: 16.01.2010 Beiträge: 53 Wohnort: Prüm

Die Herleitung habe ich mir schon angeguckt. Das Problem ist, dass auch hier von einem Frequenzintervall von 2 f ausgegangen wird. Mit welcher Begründung??

Fabian2206 · Anmeldungsdatum: 16.01.2010 Beiträge: 53 Wohnort: Prüm

weiß das niemand?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was meinst du mit "wissen"? Bei so etwas kommt es oft vor allem darauf an, wie genau man hinschaut, wenn man die Herleitung liest und nachvollzieht.

Ich würde zum Beispiel vorschlagen, so anfangen:

* Was genau wird in der Herleitung, zum Beispiel der im angegebenen Link, als

bezeichnet? Und was genau bezeichnet der Ausdruck

, wenn er zum ersten Mal in dieser Herleitung auftaucht?

* Wieviel der anderen Teile der Herleitung hast du bisher bereits nachvollzogen/ nachvollziehen können? (Kapitel 5.5.1 bis zum Ende dieses Kapitels) Weißt du zum Beispiel schon, was mit einer Überlagerung aller Frequenzen innerhalb eines bestimmten Intervalls gemeint ist, und hast du eventuell sogar die dadurch entstehenden Graphen selbst schon mit einem dementsprechenden Programm plotten lassen können?

Fabian2206 · Anmeldungsdatum: 16.01.2010 Beiträge: 53 Wohnort: Prüm

Die Graphen sowie das Phänomen der Schwebung hab ich schon nachvollziehen können. Mittlerweile kann ich mein Verständnisproblem schon auf eine Zeile in der Herleitung begrenzen:

"Wir setzen hierbei und in Zukunft voraus, dass die einzelnen Stimmgabeln eine gleich große Amplitude haben. Da die zweite Stimmgabel wie oben gesagt von der Frequenz her zur ersten benachbart ist [//es geht an dieser Stelle um die Überlagerung zweier Schwingungen], gilt für ihre Frequenz:

"

Wie kommt es zu dieser Gleichung?
Denn

bezeichnet doch den Abstand der Frequenzen. Also müsste doch gelten:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Fabian2206 · Anmeldungsdatum: 16.01.2010 Beiträge: 53 Wohnort: Prüm

Ich habe den Zusammenhang jetzt anders nachvollziehen können.
Betrachtet man die Superposition zweier Schwingungen ergibt sich ja die Gleichung:

Formt man das Ganze mithilfe einer trigonometrischen Identität um, so erhält man:

Der Cosinusterm ist hierbei das was ich brauche. Die Frequenz, die dort angegeben ist, entspricht der Frequenz der Amplitudenschwankung. Da der Ton auch "anschwillt" wenn der Cosinus zum lokalen Minimum fällt, bekommt man durch Multiplikation mit Zwei die Frequenz des an- und abschwellenden Tones. Bei der akustischen Unschärfe ist die Zeit vom ersten lokalen Maximum der Amplitude bis zum ersten Minimum interessant. Daher multipliziert man nochmals mit Zwei und man hat einen Zusammenhang zwischen Breite des Wellenpaketes Δf und der Dauer Δt bis zum "Verklingen":

Ist diese Schlussfolgerung allgemeingültig?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich bin einverstanden, dass es schon mal in die richtige Richtung geht, sich anzuschauen, wie das Signal aussieht, wenn man zwei Wellen mit verschiedenen Frequenzen miteinander überlagert.

Ich würde aber sagen, dass das noch nicht das Ende des Weges ist, denn:

* Eine Überlagerung aus zwei Frequenzen ergibt ja noch kein Wellenpaket, sondern eine ganze Kette von Paketen

* Die Größen, die das Wellenpaket vermessen und kennzeichnen, reichen nicht vom Maximum bis zum Minimum des Paketes, sondern nur vom Maximum bis zu dem Punkt auf der Seite des Paketes, wo die Einhüllende auf die halbe Höhe abgefallen ist.

Ich würde also sagen, dass es nötig und hilfreich sein dürfte, zumindest mehr als zwei verschiedene Frequenzen miteinander zu überlagern, um diesem Zusammenhang wirklich näher auf die Spur zu kommen.

(Sobald du die nötige Mathe-Fitness dazu hast, würde ich vorschlagen, die Überlagerung von unendlich vielen Frequenzen aus einem bestimmten Frequenzbereich zu einem Wellenpaket zu betrachten. Das führt dann sicher aufs genaue Resultat der Herleitung smile

)

Fabian2206 · Anmeldungsdatum: 16.01.2010 Beiträge: 53 Wohnort: Prüm

Ok vielen Dank für alles.
Du hast mir sehr geholfen ;-)
Dann werde ich mich dieses Wochenende mal an die allgemeine Variante ranmachen.