Physik und Integralrechnung; Bogenlängen und Mantelflächen

Mistmatz · Gast

Hallo, ich muss eine Facharbeit schreiben, zum Thema Anwendungen der Integralrechnung und suche nun Beispiele aus der Physik.
Hab hier schon einige Threads durchsucht:
-Integral- und Differentialrechnung in der Physik
-Integralrechnung in der Physik
-Integrale an Anwendungsbeispielen aus der Physik
-Differenzial- und Integralrechnung in der Physik
-Integralrechnen in der Physik

Allerdings ist das nicht ganz das, was ich suche.
Bin eher auf der Suche nach Anwendungen für Bogenlängen von Funktionsgraphen, sprich Integralen der Form

und Mantel(Ober-)flächen von Rotationskörpern:

Da ich so etwas bisher noch nicht hier gefunden hab, stellt sich mir die Frage: Braucht man sowas überhaupt in der Physik und, wenn nein, wo könnte man es sonst brauchen?
Vielen Dank im Vorraus.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Gegenfrage: Wo wird nicht integriert? :-)

Ansonsten fällt mir spontan ein:
http://www.physikerboard.de/htopic,13551,absturz+erde.html
http://www.physikerboard.de/htopic,13438,absturz+erde.html

F.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Naja, aber er sucht ja explizit Rotationskörper und Bogenlänge.

Mir fiele da das Problem eines kürzesten Weges ein (oder das Problem der schweren Kette, wenn man es als Variationsprinzip mit Nebenbedingung rechnet).

Gruß
MI

Mistmatz · Gast

Ok, danke für die Antworten. Die Aufgaben hinter den Links (bes. hinter dem ersten) hab ich nich so recht verstanden. Is ja auch egal.
Hab als Thema "Bogenlängen und Oberflächen" und wollte nun wissen, ob's da spannendere Anwendungen gibt, als irgendwelche Tori, wie z.B. Reifen, zu berechnen.

StudentT · Anmeldungsdatum: 02.03.2009 Beiträge: 148

Hallo!

Die Frage nach der Form einer Seifenhaut über zwei Kreisringen ist auch eine Variationsaufgabe, bei der man für die Mantelfläche der zu bestimmenden Funktion genau den angegebenen Ausdruck braucht. Die Energie ist nämlich proportional zur Oberfläche und diese soll minimiert werden. Effektiv ist die Lösung dann die Gleiche wie bei der Kurve des zwischen zwei Punkten aufgehängten Seils im Schwerefeld: Die Kettenlinie bzw. cosinus hyperbolicus.

Gruß,
Markus

Mistmatz · Gast

Hört sich gut an. Thumbs up!

Bräuchte dazu bloß 'ne Aufgabe, bzw. Links, wo ich solche finden kann. Solang sie nicht zu kompliziert sind Augenzwinkern

(bin erst 12. Klasse)

StudentT · Anmeldungsdatum: 02.03.2009 Beiträge: 148

Hallo!

Die Herleitung der Kettenlinie findet sich hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Katenoide

Allerdings braucht man dazu nicht nur das Integral, sondern auch die sog. Euler-Lagrange-Gleichungen. Wie man auf diese kommt ist in Anhang A.3 dieser Facharbeit beschrieben:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq-pdf/lagrange.pdf

Und dann musst du natürlich auch noch wissen, was prinzipiell eine Differentialgleichung ist und wie man testen kann, ob eine Funktion eine Lösung derselben ist... Prinzipiell muss man aber für all das nur ableiten und integrieren können.

Gruß,
Markus

Mistmatz · Gast

Danke. Find's nich schlecht und kann's auch nachvollziehen nur mein Lehrer ist da anderer Meinung. Ihm geht das Ganze zu sehr in Richtung Physik und Hyperbelfunktionen.
Die ganze Arbeit soll einen Umfang von etwa 18-20 Seiten haben und mathematische Zusammenhänge, die in der Schule (noch) nicht besprochen wurden, sollen hergeleitet und bewiesen werden. Die einzelnen Unterpunkte sind bisher:
-Integrationstechniken (partiell und Substitution, da wir sie in der Schule noch nicht hatten)
-Bogenlängen
-Mantelflächen von Rotationskörpern
Die drei Punkte sollen in etwa den gleichen Umfang haben und so, würde, meiner Meinung nach, der zweite zu sehr ins Gewicht fallen bzw. hätte ich bei den anderen beiden nicht genug (und hätte ich genug, wäre es wohl schwer, das auf 20 Seiten zu quetschen).
Werd mich also nun einfach auf Autoreifen und geschwungene Gläser konzentrieren. Das dürfte auch einiges, spannendes hergeben.

Trotzdem: Dankeschön und Gruß, Mistmatz

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Wenn du sowieso Mantelfläche und Volumen von Rotationskörpern zum Thema hast, ist Gabriels Horn vielleicht auch ein interessanter Einschub (allerdings mit uneigentlichen Integralen, und eben als Paradoxon).

Mistmatz · Gast

Die Aufgabe gefällt mir gut. Bloß:
Diesen Schritt hier find ich etwas schwer:

Kann ich das einfach so sagen, weil

(das sind die Zähler der Integranden) und

?

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Ja, wenn du einen Namen dafür brauchst, schau mal unter Minorantenkriterium für uneigentliche Integrale.

Ich denke das ist auch relativ anschaulich. Wenn hier f(x)>g(x)>0 für alle x, und das Integral über g(x) divergiert (gegen Unendlich, da g(x)>0), dann erst recht f(x). (Bildlich: die Fläche unter g(x) ist schon unendlich groß, und f(x) liegt überall oberhalb g(x), also ist die Fläche sicher nicht kleiner.)

Mistmatz · Gast

Oh ja, das gibt Sinn.
Hättest du vielleicht auch noch was zur Mantelfläche?