Drehmoment auf nicht-starren Körper

MonsGrat · Gast

Hallo habe vollgendes Problem.
Ich habe einen Massenfreien Stab, 2m Länge und am jedem Ende eine Massepunkt mit 1kg. Dieses Konstrukt ist nicht am Schwerpunkt fest sondern kann sich frei bewegen.
Meine Frage ist jetzt, wie verhält sich das ganze Objekt (Bewegunsgleichung, Impulserhaltun) wenn einer der beiden äußeren Massenpunkte einen Impuls erhält, z.B. durch einen vollkommen elastischen Stoß. Meine Idee war, dass es so ausschaut wie wenn man einen Bleistift an einem Ende mit dem Finger anstößt, er dreht sich um seinen Schwerpunkt aber bewegt sich insgesamt auch in die Richtung des Stoßes...

TheBartman · Anmeldungsdatum: 09.07.2009 Beiträge: 482

Übertragen stelle ich mir jetzt vor, du hast einen Metallstab, fast ihn an einem Ende an und schleuderst ihn weg. (ähnlich wie einen Bumerang)

Wenn das hinkommt, sagt mir meine Erfahrung, du hast recht. Aber eine Gleichung kann ich dir dazu leider nicht geben. Schläfer

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Mit Impuls- und Drehimpulserhaltung ist das eindeutig lösbar.

1) Gesamtimpuls vorher = Gesamtimpuls nachher.

2) Drehimpuls vorher = Drehimpuls nachher.

MonsGrat · Gast

Ja nur genau da liegt mein Problem. Denn nehmen wir mal an, dass das Drehmoment durch einen elastischen Stoß mit einer 2kg Kugel bewirkt wird die mit 10m/s, senkrecht zur Achse des Objekts, auf die linke Kugel auftrifft. Dann ist der Drehimpuls am Anfang null, der Impuls am Anfang 20Ns, woraus folgen würde, dass sich das Objekt, nicht dreht sondern geradlining senkrecht zur Achse mit 10m/s bewegt, und das ist genau gegen meine Intuitive einschätzung wie es ablaufen würde, nämlich, dass sich das Objekt auch dreht, z.B. der Bleistift.

berthold · Anmeldungsdatum: 30.03.2009 Beiträge: 11

Beim Drehimpuls braucht man immer einen Bezugspunkt. Dein Massendrehmoment muss sich auf den gleichen Punkt beziehen. Dann passt des auch zu deiner Vorstellung, dass sich der Stab nach dem Stoß dreht.
Des Problem is aber nicht ganz einfach, da braucht man schon ein paar Kenntnisse die über die Schulphysik hinausgehen. Ich stell dir mal die beiden Sätze für ein ähnliches Problem auf.

Ich nehme einnen Stab, der Laenge 2 r an der nur an einem Ende eine Punktmasse m hat. Auf das andre Ende wird eine Punktmasse m (senkrecht zur Stabachse) mit der Geschwindigkeit v geschossen. Dann lautet der Impulssatz:

wobei v_s die Schwerpunktsgeschwindigkeit nach dem Stoß ist. ( Der Impuls bezieht sich nämlich immer auf den Schwerpunkt)

und der Drallsatz mit dem Schwerpunkt S als bezugspunkt:

mit dem Massenträgheitsmoment

Daraus folgt:

<-- Des 0,5 hat vorher gefehlt

Die Winkelgeschwindigkeit und die Schwerpunktsgeschwindigkeit bleiben nach dem Stoß konstant. Der Schwerpunkt bewegt sich also mit der Geschwindigkeit v_s während sich der Stab mit

um ihn dreht.

Die ganze Sache wird wesentlich schwerer, wenn man das Problem so wie du an nimmt.

PS: Der Körper ist starr. Er ist nur nirgends befestigt. Nicht Starr würde bedeuten man kann ihn verformen.

MonsGrat · Gast

Hallo berthold,
vielen Dank schon mal für deine Antwort, dass geht auf jeden Fall genau in die Richtung die ich meine.
Hab allerdings noch 2 Fragen:
1. die Punktmasse die auf den Stab geschoßen wird bleibt daran "kleben" wie ein vollkommen unelastischer Stoß? Hab ich das richtig verstanden?
2.Wenn ja dann hier die 2. Frage. Weiß leider net wie man hier Vektoren etc einfügt, d'rum wechsel ich mal das Bezugssystem, hoffe das macht es nicht unnötig komplizert.
Und zwar mein Bezugssystem soll sich mit v_s = 1/2v bewegen und zwar in der gleichen Richtung wie der Massepunkt der auf den Stab geschoßen wird. Dann schaut es am Anfang so aus, dass sich der Massepunkt mit 1/2v von mir weg bewegt und dass der stab mit dem Massepunkt sich mit 1/2v auf mich zubewegt. D.h. zu Beginn ist der Betrag des Drehimpulses L=J*w = 0 da w=0. Der Impuls ist m*v + m*(-v) = 0.
Nach dem Stoß, da wir in Bezugssystem mit der Geschwindigkeit 1/2v sind, sehen wir den Stab sich nur drehen. D.h wir haben einen Drehimpuls > 0, da w>0 und Impuls = 0. Damit wäre doch der Erhaltungssatz für den Drehimpuls verletzt, oder habe ich einen Denkfehler.
Vielen Dank schon mal für die Mühe.
MonsGrat

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

eine kleine Zeichnung wäre vielleicht angebracht. Quasi für die Lesefaulen Big Laugh

berthold · Anmeldungsdatum: 30.03.2009 Beiträge: 11

1. Ja des ist ein vollkommen inelastischer Stoß. Dadurch wird das Massenträgheitsmoment und die Stoßbedingung besonders einfach.

2. Du musst den Impuls immer mit der absoluten Geschwindigkeit bestimmen, also relativ zu einem ruhenden Punkt.

Ne zeichnung is mir grad zu aufwendig, aber hier is des Probelm um des es geht:

MonsGrat · Anmeldungsdatum: 11.07.2009 Beiträge: 1

So hab mal ein Bild gemalt, nicht toll, aber man kann's glaub ich erkennen:

http://www.bilder-hochladen.net/files/bpfi-1.jpg

1. Ja das macht die Sache einfacher!

2. (Dreh-)Impulserhaltung muss in allen unbeschleunigten Bezugssystemen gelten, da es ja keine "absolute" Geschwindigkeit in der Physik gibt (außer c) und auch kein festes Bezugssystem.
Hab reausgefunden wie das hier im Forum mit den Vektoren geht. Hier das ganze vom "ruhenden Punkt aus gesehen".

Vektoren sind

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berthold · Anmeldungsdatum: 30.03.2009 Beiträge: 11

Beim Impulssatz hast du ja eigentlich nur bestätigt, dass sich der Impuls immer auf den Schwerpunkt bezieht. Die vektorielle Betrachtung macht das ganze find ich nur unübersichtlich. Die hilft vieleicht für die beschreibung nach dem Stoß.

Der Drehimpuls am Anfang is nocht Null, sondern Impuls * Abstand zum Bezugspunkt. Du kannst Bezugspunkt so wählen dass der Drehimpuls Null wird, dann bewirkt der Impuls des Stabes nach dem Stoß einen Drehimpuls. Das schaut dann so aus.

Das minus resultiert daraus, dass Omega und v_s in unterscheidliche Richtungen bezogen auf den neuen Bezugspuntk drehen.

Den Impuls im bewegten System aufzustellen bring ich grad nich hin. Das Problem ist ja dass du die Geschwindigkeiten Zwischen System und Punktmasse bzw. System und Stab noch nicht kennst. Der Impuls bezieht sich immer auf die absolute Schwerpunktsgeschwindigkeit. Allerdings kann man sich aussuchen auf welchen Punkt man seine absolut Geschwindigkeit bezieht. Hier bietet sich halt der ruhende Stab an, aber man muss es mit einer Koordinatentransformation auch auf einen anderen Punkt beziehen können.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Ich glaube nicht das Bertholds Berechnung stimmt, dass heißt ich bin mir sogar ziemlich sicher.
Er gibt an das sich die Punktmasse nach dem Stoss mit der selben Schwerpunktsgeschwindigkeit des Stabes bewegt, der Stab aber zusätzlich noch ein

besitzt.
Da aber der Stoss im Abstand r zum Drehpunkt (Schwerpunkt) des Stabes passiert, bedeutet das für den Stab in diesem Punkt eine Radialgeschwindigkeit von

plus eine Schwerpunktsgeschwindigkeit des Stabes von

. die Gesamtgeschwindigkeit in diesem Punkt wäre dann beide addiert. da aber die Punktmasse nur vs besitzt, eilt der Stab um

voraus. Das kann bei einem komplett unelastischen stoss nicht sein.

Es muss gültig sein nach stossende..unelastisch für den Stosspunkt:

vs1.. Schwerpunktsgeschwindigkeit der Punktmasse die auf den Stab stösst nach dem Stoss
vs2... Schwerpunktsgeschwindigkeit des Stabes nach dem Stoss
Omega..... Drehgeschwindigkeit des Stabes nach dem Stoss
r...Radius des Stosspunktes

Der Impulserhaltungssatz für den Schwerpunkt gilt aber auch hier.
Impulsverlust von vs1 bedeutet impulserhöhung auf vs2
und omega ergibt sich aus den drehmomentenstoss

Nur ist hier zu erwarten das vs1 größer sein muß als vs2

Ich werde das heute am Abend mit Skizzen näher erläutern
MFG

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

was mich genauso interessieren würde wie schon MonsGrat
gefragt hat. Der Impulserhaltungssatz für den Schwerpunkt gilt was die Masse 1 an impuls verliert gewinnt die masse 2 an Impuls das folgt direkt aus actio = reactio betragsgleich. jedoch haben beide vorher keinen drehimpuls und danach die masse 2 schon...woher taucht der plötzliche drehimpuls auf.

Wir wissen ja einzelne Kraft die ausserhalb des Schwerpunkts angreift erzeugt ein Drehmoment und gleichzeitig eine translatorische Beschleunigung. Dabei bilden die Trägheitskraft im SChwerpunkt und die angreifende Kraft ein Drehmoment.
Greif ich aber mit der selben Kraft im Schwerpunkt an so ensteht nur eine Translatorische Beschleunigung.
Das bedeutet alleine nur der Abstand erzeugt einen aus dem nichts entstehenden Impulsgewinn. das kann ich mir nicht erklären beide kräfte wirken im Zeitintervall dt... wobei mir der Abstand zum Schwerpunkt diesen Impulsgewinn erzeugt.
Ich komme nur zu der Schlussfolgerung das Drehimpuls und Schwerpunktsimpuls voneinander getrennt betrachtet werden müssen und anscheinend die Impulserhaltung nur für den Schwerpunkt gültig ist.
Wer kann mich da berichtigen

berthold · Anmeldungsdatum: 30.03.2009 Beiträge: 11

Ich hab die Gleichungen oben fürs Omega falsch aufgelöst. Beim Omega hat ein

gefehlt.

Dann bewegt sich die stoßende Punktmasse mit der absolut Geschwindigkeit v nach dem Stoß und die andere Punktmasse bleibt direkt nach dem Stoß in ruhe.

Ich kann deinen ausführungen zu den Erhaltungssätzen nicht ganz folgen. In jedem Fall muss sowohl Drehimpuls als auch Impulserhaltung gelten. Beide liefern unabhängige Gleichungen.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Also nochmal ich blick da jetzt nicht durch berthold, für mich ist deine Berechnung falsch, was rechnest du komplett unelastischer Stoss oder.

Egal ich erklär nochmals meine Ausführungen
Bevor wir über Impuls und Drehimpuls reden klären wir mal die Basis
aus der dies abgeleitet wird.

Was bewirkt eine einzelne Kraft auf einen Körper`?

Folgendes Bild:

http://members.chello.at/thorsten.artner/Einzelne_Kraft.jpg

Zur Kraft F können wir uns gedanklich in Schwerpunkt zwei Betragsgleiche entgegengesetze Kräfte vorstellen. Die beiden heben sich auf es bleibt die Kraft F über. Dieses Bild ist also äquivalent zu einer einzelnen Kraft.
Genauso können wir aber sagen die Kraft F und die Kraft Fgedacht1 bilden ein Drehmomentpaar und es bleibt die Kraft Fgedacht 2 über die uns den Körper im Schwerpunkt beschleunigt. Da dieses Bild äquivalent zu einer einzelnen Kraft ist. ist auch das daraus resultierende äquivalent.

somit kommt es also bei einer einzelnen kraft zu einer Schwerpunktsbeschleunigung und einer winkelbeschleunigung.

Dieses gedankliche Bild können wir auf jeden x beliebigen punkt im Körper anwenden und das ist auch der grund warum man im Lagerpunkt immer genau eine gleichgroße entgegengesetzte Kraft benötigt um nur eine Drehung zu erhalten. Eine Kraft die also Fgedacht 2 eliminiert.

So nun zum Stoss Impuls Drehimpuls.
Ich betrachte den unelastischen Stoss.

Was wissen wir darüber.
Die körper die aneinander stossen werden solange gebremst bzw beschleunigt bis sie auf gleiche Geschwindigkeit gebracht werden. Die dadurch entstandene Verformung bleibt, im Gegensatz zum elastischen Stoss wo die Verformung reversibel ist und uns die Geschwindigkeiten wieder auseinander bringt.

betrachten wir nun einen schwerpunktsstoss:

http://members.chello.at/thorsten.artner/Stoss_Schwerpunkt.jpg

Eine Kugel mit der Masse m1 und der Geschwindigkeit v1 wird auf den stillstehenden Stab mit der Masse m2 genau auf den Schwerpunkt geschossen.
Was passiert? Die Kugel wird verzögert und der Stab beschleunigt solange bis die Geschwindigkeiten gleich sind, dadurch ensteht Verformung und währenddessen treten Trägheitskräfte der beiden auf.
Aus Gründen der Gleichheit dieser (actio=reactio) und dem gleichen Stosszeitintevall dt gilt der impulserhaltungsatz. der eine wird mit F*dt gebremst der andere wird mit genau denselben F*dt beschleunigt. der Gesamtimpuls muß also nach Stossende konstant sein.
Die Geschwindigkeiten der beiden müssen nach Stossende gleich sein.

Gesamtimpuls vor Stoss:

Gesamtimpuls nach Stoss:

Aus der Konstanz des Gesamtimpulses folgt:

wenn die 2 Körper die gleiche Masse besitzen wie bei Berthold gilt m1=m2=m

Das war leicht nun wirds aber komplizierter

unelastischer stoss im Abstand zum Schwerpunkt:

http://members.chello.at/thorsten.artner/Stoss_nichtzentral.jpg

Was passiert nun hier . Es treten wiederum beim Aufprall Trägheitskräfte auf, die die Kugel im Schwerpunkt bremsen und den Stab im Schwerpunkt beschleunigen, zusätzlich kommt es hier aber da die Trägheitskräft um x versetzt wirkt ,zu einem Drehmoment und einer winkelbeschleunigung.

Was wissen wir nun:
aufgrund von actio=reactio und der selben Stosszeit dt wissen wir das die Trägheitskräfte gleich groß sind und somit über der selben Zeit der Kugel ein Schwerpunktsimpuls von F*dt entzogen wird und dem Stab in gleichergrößer von F*dt hinzugefügt wird. Es gilt also der Impulserhaltungssatz im Schwerpunkt.

Gesamtimpuls vor Stoss:

Gesamtimpuls nach Stoss:

Nun zur Frage ob hier auch die Schwerpunktgeschwindigkeiten der beiden Körper nach dem Stoss gleich groß sind.
Mit Sicherheit nicht!.

Wir haben vorher formuliert. Der eine wird solange verzögert bzw der andere solange beschleunigt bis die Geschwindigkeiten gleich groß sind.
Danach bleibt die Verformung.
Nun die Frage wo spürt die Kugel die Geschwindigkeit des Stabes?
Natürlich im Stosspunkt. Dort wo die Kugel ansetzt , der um x versetzte Punkt in der Zeichnung

Und im Stosspunkt wirkt nicht nur die Schwerpunktsgeschwindigkeit des Stabes sonder es muß noch die Winkelgeschwindigkeit mal den Radius zum Stosspunkt hinzuaddiert werden, also die Radialgeschwindigkeit auf grund der Drehung. Die Addition der beiden Schwerpunktsgeschwindigkeit plus Radialgeschwindigkeit ergibt die Gesamtgeschwindigkeit im Stosspunkt und nur solange die kleiner ist also die Geschwindigkeit der Kugel ereignet sich der Stoss. Wenn sie gleich groß ist, ist der Stoss vorbei.

Es gilt also anstatt:

genau dies:

Wenn der Winkel

sehr klein ist also bei sehr dünnen Stab.
Dann können wir statt r den Abstand x einsetzen und auf cos beta verzichten. Und während des gesamten Stossvorganges setzen wir x als Abstand für den Drehmomentstoss.

Weiters können wir schreiben:

Drehmomentenstoss:

Wir haben nun 3 Gleichungen....

Die Schwerpunkts Impulserhaltung:

Das Wissen über den Zusammenhang der Endgeschwindigkeiten

Und die Ermittlung der Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoss:

Die drei Formeln nutzen und vs1 ermitteln. Wer sich das antun will.

Ich kann mir nicht vorstellen das es so einfach ist wie bei Berthold ... vielleicht kennt sich da wer aus

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Momentmal jetzt check ich das erst du berechnest , wenn die Kugel draufknallt, draufpicken bleibt und sich mitdreht?

Ich dachte die Kugel prallt drauf der Stab dreht sich und die Kugel fliegt ganz normal weiter.

zwei verschieden paar schuhe. sorry. dann stimmt deine Berechnung

hab ich das jetzt richtig verstanden?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Frage am Rande: Inwiefern handelt es sich um einen nicht-starren Körper?

F.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Das nicht starr bezieht sich hier auf die Lagerung. Das heißt der Körper soll frei beweglich sein ohne Lager. Vielleicht unpassend gewählter Thread titel

berthold · Anmeldungsdatum: 30.03.2009 Beiträge: 11

Ja genau die Kugel soll drauf geleben bleibe.