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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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 bottom Verfasst am: 27. Apr 2009 17:25 Titel: DGL des freien, gedämpften harmonischen oszillators |
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moin, ich guck mir gerade die dgl der schwingung + lösungen im kypers klassische mechanik (s.140) an. dass kann ich soweit eigendlich auch weitestgehend alles nachvollziehen, nur beim letzten schritt zur lösung für gedämpfte schwingungen harkt es iwi. ich hab es jetzt bestimmt schon 4 mal gerechnet und komme immer auf andere lösungen - nur nicht die richtige^^
also, wir haben die gleichung
 = e^{- \gamma t} \cdot \left( c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t} \right))
über das festlegen der anfangsbedingungen als
=x_0) , = \dot x_0)
werden nun die konstanten c1 und c2 bestimmt
bis dahin hab ich alles verstanden und bin beim nachrechnen auf die selben ergebnisse gekommen.
dem kuypers nach, soll man durch einsetzen nun auf folgendes kommen:
 \,=\, e^{-\gamma t} \left( x_0 \cos{(\omega t)} + \frac{\gamma x_0 + \dot x_0}{\omega} \sin{(\omega t)} \right) \,=\, a e^{-\gamma t} \sin{(\omega t + \alpha)})
mit
 ^2})
so, da komme ich so garnicht drauf. 
mir ist klar, dass man e^(iwt) mit euler anders darstellen kann, allerdings canceln sich die i's bei mir nicht weg und auch der rest ist seltsam.
ich erwarte nicht dass hier jemand die ganzen schönen umformungen hinschreibt, aber über nen hinweis o.ä. wäre ich dankbar. ich würde sonst nacherher (falls ich die zeit finde^^) auch nochamal meine umformungen abtippen, dann dürft ihr auf fehlersuche gehen 
gruß und danke, bottom
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Zuletzt bearbeitet von bottom am 27. Apr 2009 18:55, insgesamt einmal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 27. Apr 2009 18:51 Titel: |
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Da nicht jeder Dein Buch hat: Wie lautet bitte die DGL?
Gruß F. |
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 27. Apr 2009 19:14 Titel: |
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stimmt, wäre sinnvoll die zu nennen^^ 
es geht um die dgl des freien, gedämpften harmonischen oszillators:
mit
ergibt das
die allgemeine lösung erfolgt dann über den ansatz
=c e^{\lambda t})
und sieht dann so aus:
=c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t})
Für den fall geringer Dämpfung gilt 
mit
ergibt sich daraus für diesen fall die in ersten beitrag genannte gleichung
so, hoffe jetzt ist alles soweit klar
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d;-)
Anmeldungsdatum: 01.04.2009
Beiträge: 66
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| d;-) Verfasst am: 27. Apr 2009 22:02 Titel: |
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hab nur kurz drübergeschaut .. hilft dir folgendes weiter:
die i's sind vermutlich weg, weil hier nur der realteil steht .. muss wieder los .. bis morgen |
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 27. Apr 2009 22:09 Titel: |
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| d;-) hat Folgendes geschrieben: | hab nur kurz drübergeschaut .. hilft dir folgendes weiter:
die i's sind vermutlich weg, weil hier nur der realteil steht .. muss wieder los .. bis morgen |
das hab ich - ist eine der beiden gleichungen die man bekommt wenn man die startbedingungen einsetzt um die konstanten zu bestimmen.
trotzdem schonmal danke
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 27. Apr 2009 23:44 Titel: |
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Hallo!
ich verstehe irgendwie nicht genau, was Dir Schwierigkeiten macht. Wenn Du c1 und c2 in x(t) einsetzt, dann hast Du vier Summanden. Zwei davon haben x0/2 und zwei den Bruch mit Gamma und so. Klammer mal bei den beiden mit x0/2 einfach das x0 aus und bei den beiden anderen alles bis auf die 2i im Nenner. Dann hast Du doch direkt die Formeln für Kosinus und Sinus da stehen:
 = \frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2})
 = \frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i})
Oder meinst Du etwas anderes?
Gruß
Marco |
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 28. Apr 2009 14:56 Titel: |
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erstmal danke an alle die schonmal rüber geguckt haben.
ich glaube ich hab meinen fehler gefunden, hatte aufgrund eines denkfehlers nen minus verloren. ich rechne gleich nochmal nach, denke aber, dass das jetzt aufgehen müsste.
gruß bottom
edit: so, das verschwundene minus war tatsächlich schuld 
@ as_string: diese darstellungen für den sinus und cosinus hatte ich so noch nie gesehen... wenn man die anwendet wird das ganze tatsächlich zu nem 3 zeiler. man, was hab ich da gestern unnötig seitenweise umformungen gemacht...
nochmals danke
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 29. Apr 2009 17:40 Titel: |
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so, nochmal eine frage. dieser lösungsansatz mit einer exponentialfunktion wird ja recht häufig benutzt. kennt ihr irgendeinen überbegriff für die gruppe der dgl's die sich so lösen lassen? irgend ein schlagwort unter dem ich dazu recherchieren kann? das wäre echt super.
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 29. Apr 2009 19:29 Titel: |
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In dem Fall des gedämpften Federschwingers ist es eine lineare homogene Differentialgleichung (zweiter Ordnung) mit konstanten Koeffizienten. Ich denke es ist auch recht anschaulich, warum das gerade bei Differentialgleichungen dieser Form (natürlich beliebiger Ordnung) so schön funktioniert.
Mit einigen weiteren Überlegungen lässt sich dieser Exponentialansatz dann auch auf inhomogene Gleichungen anwenden.
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Formeln mit LaTeX |
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 29. Apr 2009 19:40 Titel: |
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exponentialansatz...
super, damit sollte ich in der lage sein mehr darüber zu finden.
danke 
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