Gewehrkugel in bewegtem Bezugssystem SRT

Mr_Phileas_Fogg · Anmeldungsdatum: 04.11.2008 Beiträge: 8

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen und komme nach viel (ausprobierter) Transformiererei nicht weiter:

ein Bezugssystem S' bewege sich mit Geschwindigkeit

relativ zu Bezugssystem S.
In S' wird jetzt eine Gewehrkugel mit Geschwindigkeit v' unter einem Winkel

zur Bewegungsrichtung (vorwärts) abgeschossen.

Wie lautet der Winkel gemessen in S?

Ich weiß, dass Zeitdilatation und Längenkontraktion einfließen und in S ist

Jetzt muss ich

und

transformieren, aber wie?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Deine Vorüberlegungen sind bereits prima smile

Wie du siehst, kürzt sich das

aus deiner Formel für den Winkel (denn ich denke mal, du meintest da nicht "v=...", sondern eher so etwas wie "

") heraus, also brauchst du die Zeitdilatation hier gar nicht zu berücksichtigen.

Die Fragen, die bleiben, sind also:

Wie groß ist die Längenkontraktion in Bewegungsrichtung?

Und wie groß ist sie in der Richtung senkrecht dazu?

Mr_Phileas_Fogg · Anmeldungsdatum: 04.11.2008 Beiträge: 8

Sorry, ich habe oben etwas falsch eingegeben und das zu spät bemerkt.

ist der Geschwindigkeitsvektor der Gewehrkugel in S und da die Geschwindigkeit mit reinspielt, müssen ja Länge und Zeit transformiert werden.

aber wie komme ich auf

und

inklusive Zeitdilatation?

In x-Richtung müsste ich ja Längenkontraktion berücksichtigen. Was ist denn mit der y-Richtung?

Danke für die Hilfe.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Magst du mal sagen, was aus dem

bei einer Transformation wird? Und was aus dem

? und was aus dem

?

Mr_Phileas_Fogg · Anmeldungsdatum: 04.11.2008 Beiträge: 8

Wenn man c = 1 setzt:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

Die Antwort befinden sich in

und man muss eine Matrix benutzen (2x2) . smile

Mr_Phileas_Fogg · Anmeldungsdatum: 04.11.2008 Beiträge: 8

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Weil c hier immer einfach gleich den ca. 3*10^8 m/s ist smile

Vielleicht meinst du ja, dass das beta so eine Art "Geschwindigkeitsangabe in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit" und damit ein Maß für die Geschwindigkeit ist, das für v=c gleich 1 würde. Das c selbst wird hier aber nirgendwo gleich 1.

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Zu deiner Aufgabe:

Deine Gleichungen und dein Wissen über die Längenkontraktion und die Zeitdilatation sagen dir, dass sich Längen in x-Richtung um den Faktor gamma ändern, Längen in y- Richtung aber nicht.

Und dass sich Zeiten um den Faktor gamma ändern.

Magst du dir damit mal direkt schon eine Skizze für den gesuchten Winkel machen, und diese Skizze hier zeigen? Kommst du dann damit schon direkt zum Ergebnis dieser Aufgabe?

Mr_Phileas_Fogg · Anmeldungsdatum: 04.11.2008 Beiträge: 8

Also in S' ist der Winkel:

und für den Winkel in S berechne ich

richtig?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Bisher hast du nur Formeln hingeschrieben, die auf den ersten Blick allgemein zuzutreffen scheinen.

Ich finde, du solltest noch genauer in die Aufgabenstellung schauen und damit überlegen, an welcher Stelle deine Formeln noch deutlich vereinfacht werden können, und an welcher Stelle du mehr ins Detail gehen musst, um die Aussagen der Aufgabenstellung richtig umzusetzen.

Zum einen kannst du sicher in deinen Formeln speziell den Zeitpunkt t=t'=0 betrachten, denn der Körper soll sich ja mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, das ist dann in beiden Inertialsystemen so. Das wird deine Formeln einfacher machen.

Zum anderen spricht die Aufgabenstellung meiner Lesartt nach nicht davon, dass die Geschwindigkeit v' des Körpers in K' und die Geschwindigkeit der Koordinatensysteme zueinander (durch beta angegeben) dasselbe v enthalten müssten. Das wird deine Formeln komplizierter machen, denn dadurch sollst du hier also wohl noch die Formeln für die relativistische Geschwindigkeitsaddition berücksichtigen. Hast du die schon einmal kennengelernt? Auf welche Geschwindigkeitskomponente musst du sie hier in dieser Aufgabe anwenden?

Mr_Phileas_Fogg · Anmeldungsdatum: 04.11.2008 Beiträge: 8

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mr_Phileas_Fogg · Anmeldungsdatum: 04.11.2008 Beiträge: 8

Ich bin Student und beschäftige mich gerade mit der Allgemeinen Relativitätstheorie. In den ersten Kapiteln der meisten Bücher zur ART wird ja zunächst mal die SRT wiederholt und da bin ich auf diese Aufgabe gestoßen.

Man kann sich diese Formel doch bestimmt irgendwie herleiten, oder?
Oder lernt man die einfach so "vom Himmel fallend" ?

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

sagt eu

etwas ? so

ist eine Vektor - Umkehrung . so um ein S-S`Zweig zu shaffen , sollen sie

multipliezieren

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

@aVague: Vorsicht, ich glaube, in deiner Transformationsmatrix meinst du nicht cos und sin, sondern vielmehr eine Formulierung mit cosh und sinh.

Ich stimme dir zu, dass man das auch mit Transformationsmatrizen rechnen kann, und dass das als Vorbereitung auf die allgemeine Relativitätstheorie sogar empfehlenswert ist. Allerdings habe ich anhand des bisherigen Threads den Eindruck, dass Mr_Phileas_Fogg das lieber erstmal mit den einzelnen Transformationsgleichungen rechnen möchte und sollte.

@Mr_Phileas_Fogg:

Stimmt, da hast du recht, die Formel für die relativistische Geschwindigkeitaddition braucht man in der Tat nicht von vorneherein zu kennen, um diese Aufgabe mit Hilfe der Lorentztrafo lösen zu können. Damit schlage ich dir vor, das oben bisher gesagte vorläufig mal zu vergessen und statt dessen folgenden Ansatz zu wählen:

Zuallererst empfehle ich, die Geschwindigkeit der Kugel nicht mehr mit dem Buchstaben v zu bezeichnen, sondern mit dem Buchstaben u. Denn den Buchstaben v wollen wir für das v in beta=v/c reservieren, damit wir das nicht durcheinanderbringen können.

Koordinatensystem K' bewege sich also mit der Geschwindigkeit v= beta*c relativ zu Koordinatensystem K.

Im Koordinatensystem K' bewegt sich die Kugel mit der Geschwindigkeit u'. Zum Zeitpunkt t_1' ist sie am Punkt mit den Koordinaten x_1', y_1' und z_1', zum Zeitpunkt t_2' ist sie am Punkt mit den Koordinaten x_2', y_2' und z_2'
.
Im Koordinatensystem K bewegt sich dieselbe Kugel mit der Geschwindigkeit u. Zum Zeitpunkt t_1 ist sie am Punkt mit den Koordinaten x_1, y_1 und z_1, zum Zeitpunkt t_2 ist sie am Punkt mit den Koordinaten x_2, y_2 und z_2.

Lass uns die beiden Koordinatensysteme so wählen, dass t_1=t_1'=0 und x_1=x_1'=0 sowie z_1=z_2=z_1'=z_2'=0 ist.

Dann kannst du dir leicht mit Skizzen klarmachen, dass zum Beispiel

und

ist.

Damit kennst du x_2' und t_2' und kannst sie in deine Transformationsformeln einsetzen, um x_2 und t_2 auszurechnen.

Schaffst du es, nachzuvollziehen, wie ich diesen Ansatz meine (mach dir gerne Skizzen dazu, das habe ich auch gemacht)? Und schaffst du es damit schon, die Aufgabe zu lösen?