Winkelbeziehungen bei der Schiefen Ebene

kontoo · Anmeldungsdatum: 27.03.2008 Beiträge: 5

Hallo liebe Boardies!

Ich hoffe Ihr könnt mir bei einer Frage weiterhelfen "that drive me nuts!". Undzwar geht es um die Schiefe Ebene bzw. den Neigunswinkel; am besten ich erkläre es an einem Bild:

[img]http://img265.imageshack.us/my.php?image=ebeneti4.jpg[/img]

Die beiden Winkel im "Vektorenrechteck" sind ja gleich groß, da sie Wechselwinkel sind. Die Frage ist nun: Warum sind die beiden Winkel identisch mit dem Neigungswinkel der Ebene?
Wirklich, überall und in jedem Buch sehe ich Formeln wie

die sich ja auf die sich zu einem Rechteck ergänzenden zwei Dreiecke beziehen. Aber nirgendwo macht sich ein Autor die Mühe und beweist seine "Behauptung". Ich kann mir zwar vorstellen, dass wenn man Vektor

und

um jeweils 90° im Uhrzeigerrichtung dreht man ein der Schiefen Ebene identisches Dreieck bekommt; doch ist dieses "geometrische Daumenpeilen" wirklich unbefriedigend.

Kann mir jemand das mathematische Prinzip welches dahinter steckt nennen damit ich gezielt nach einem Beweis suchen kann?

Vielen, vielen Dank smile

Edit: Hm, warum möchte sich das Bild nicht per [img] Tag einbinden lassen? Naja, dann halt als Anhang...

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Das ist ein ähnlicher Winkelsatz wie der mit dem Wechselwinkel. Du hast es ja schon gesagt, dass es leicht einsichtig ist.

Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß oder ergänzen sich zu 180°

Das ist einfach eine Tatsache.

kontoo · Anmeldungsdatum: 27.03.2008 Beiträge: 5

Tatsache! Ein bisschen schwer von Begriff, aber letztlich doch noch verstanden smile

Danke Dir! Wink

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Du hast doch schon den Beweis in deiner Skizze mitgeliefert.

Ein Rechteck mit Länge a und b hat 4 *90 grad.. zeichnest du eine Diagonale durch, erhälts du zwei rechtwinklige Dreiecke, die gleich groß sind da die beiden Katheten jeweils aus den selben Längen bestehen a und b. Da es dieselben Dreiecke sind müssen auch dieselben Winkeln herrschen.

Weiters kannsd du erkennen das alpha und der gegenwinkel beta immer 90 Grad ergeben somit ergibt die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180 Grad (alpha+beta +90).

kontoo · Anmeldungsdatum: 27.03.2008 Beiträge: 5

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Joop hehe nur ned so hastig alte Leute sind nicht so schnell. Es war nur mal wichtig das du verstehst warum die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180 Grad ist. Das erkennst du eben bei einer Diagonale durch das Rechteck wie du das so schön gezeichnet hast.

Und jetzt betrachte folgende erweiterte Skizze

!!!!Dreieckbeziehung: alpha + beta + 90 =180 grad
-> alpha + beta =90 Grad!!!!

Wie du aus Dreieck 2 erkennen kannsd errechnet sich beta2 = 90 - alpha2
Der selbe beta winkel aufgrund von Parallelität befindet sich im blauen Dreieck 1 links. !!! beta1=beta2!!!

im blauen Dreieck 1 gilt ebenfalls alpha1+beta1=90
somit ist der alpha Winkel im blauen Dreieck alpha1=90 - beta1= 90 -beta2 und zur erinnerung ebenfalls alpha2=90 -beta2 und somit ist das der mathematische Beweis warum alpha1=alpha2

einleuchtend??

kontoo · Anmeldungsdatum: 27.03.2008 Beiträge: 5

Hm, der Beweis gefällt mir smile

Dass die Beta-Winkel "aufgrund von Parallelität" gleich groß sind ist einleuchtend und deine Schlussfolgerung daraus auch. Finde ich sogar einleuchtender als die Tatsache, dass Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, gleich groß sind.

Danke Thorsten Big Laugh

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Viel einfacher ohne Parallelität gehts mit der Skizze

rechtwinkeliges Dreieck -> alpha + beta +90 =180

!!alpha +beta=90!!

beta1= 90- alpha 1

alpha2= 180 - 90 -beta1 = 90 -beta1= 90 - (90-alpha1) =alpha 1

beta2 = 90 -alpha2 = 90 -alpha 1 =beta 1

!!alpha1=alpha2!!
!!beta1=beta2!!

kontoo · Anmeldungsdatum: 27.03.2008 Beiträge: 5

In der vorhergehenden Skizze hast du doch den Weg über eine sinngerechte Verschiebung gewählt, oder? Also die (notwendige) Parallelität ignoriert und beta 2 = beta 1 durch das Stufenwinkel-Gesetz gesetzt?

Auch eine nette Herangehensweise, wobei ich sagen muss, deine erste die nur der Einsicht "Vektor G parallel zu Gegenkathete, Vektor FH parallel zur Ankathete" bedurfte finde ich irgendwie am besten (sie ist so schlicht, vor allem wenn man beim nochmaligen Angucken deine Hilfsmarkierungen sieht Hammer

)

Nochmals Danke für deine Erklärungen! smile