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Nantaya
Anmeldungsdatum: 24.11.2007
Beiträge: 3
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 Nantaya Verfasst am: 24. Nov 2007 12:12 Titel: Abschiessen einer Rakete |
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Ich hab eine Fächerübergreifende (Physik, Informatik, Mathe) Aufgabe, die mir ziemliche Schwierigkeiten bereitet. Eine Teil konnte ich bereits lösen, deshalb beschreibe ich einfach mal was gegeben (oder bereits berechnet) ist und was noch fehlt.
gegeben
Grundsätzlich geht es darum, eine Rakete mit ballistischer Flugbahn "abzuschiessen" , bevor diese auf der Erde einschlägt. Der Punkt  im xyz-Koordinatensystem (Raum) auf der Flugbahn der Rakte ist bekannt, an welchem diese abgeschossen werden sollte. Von der Kanone, die die Rakte abschiesst, weiss ich folgendes: Die Position  im Koordinatensystem, die Abschussgeschwindigkeit einer Abfang-Kugel  und die ballistischen Koeffizienten sowie die Luftdichte der Flugbahn. Ich fasse diese Koeffizienten einfach mit  zusammen. Die Beschleunigung der Kugel ist also gegeben durch:
gesucht
Unter welchem Winkel (horizontale <> vertikale Achse, horizontale <> räumliche Achse) muss die Kanonenkugel abgeschossen werden, damit die Flugbahn der Kugel durch den Punkt geht. Den Zeitpunkt des Abschusses lasse ich mal noch aussen vor.
lösung?
Der Lösungsweg ist mir völlig unklar, weil ich mit der angegebenen Formel für die Beschleunigung nicht viel anfangen kann um den(die) Abschusswinkel zu bestimmen. Auch das Rechnen im Raum bereitet mir irgendiwe Schwierigkeiten. Im Physik-Unterricht haben wir für den schrägen Würf etliche Formeln hergeleitet (aber ohne "ballistische Koeffizienten/Luftwiderstand). Diese kann ich aber irgendiwe nicht so recht auf die Aufgabe anwenden.
Das Ganze muss dann am Ende in Software programmiert werden...
Für Hinweise wäre ich sehr dankbar! |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 24. Nov 2007 21:16 Titel: |
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Hallo Nantaya.
Ich habe mir einige Gedanken zu Deinem Problem gemacht, die ich mit Dir teilen möchte. Zuerst zur Definition des Abschußwinkels. Dieser ist der Azimutwinkel und wird folgendermaßen berechnet:
Die Differentialgleichungen, die Du angegeben hast, haben eine ziemlich häßliche Note, weil sie nicht unabhängig voneinander sind. Das liegt daran, daß
Man kann nun versuchen die gekoppelten Differentialgleichungen analytisch zu lösen. Ob dies möglich ist, entzieht sich meiner Kenntnis. Soweit ich die Aufgabenstellung verstanden habe, soll es auf diese Weise auch nicht versucht werden. Damit bleibt ein numerischer Ansatz zu Lösung der Dgl.
Ich möchte die drei Gleichungen zuerst zu einer einzelnen zusammenfassen, d.h. ich möchte den Vektorcharakter wiederherstellen:
Wobei  ist.
Über die Definition der Differentiation bekommt man für die Beschleunigung/Geschwindigkeit:
 = \dot{\vec{v}}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)}{\Delta t})
Wenn man den Grenzübergang nicht vollzieht, erhält man näherungsweise
 \approx \vec{v}(t) + \Delta t \cdot \dot{\vec{v}}(t))
Dies ist genau, was man braucht um die Lösung der Differentialgleichung iterativ zu bestimmen. Unter Kenntnis des Anfangswertes von  = \left( v_{x0}, v_{y0},v_{z0} \right)) kann man die Geschwindigkeit nach einem kleinen Zeitabschnitt  annähern:
Das führt zur allgemeinen Definition
Für den Ort kann man analog verfahren. Die Ableitung des Ortes ist ja die Geschwindigkeit:
Also
 \approx \vec{r}(t) + \Delta t \cdot \dot{\vec{r}}(t))
Wenn man die Anfangsposition  = \left( x_0, y_0,z_0 \right)) kennt, erhält man die Position nach einem kleinen Zeitabschnitt :
Und für die allgemeine Definition
Damit das Geschoß die Rakete trifft, muß man geeignete Anfangsbedingungen finden. Man muß also Richtung und Betrag der Geschwindigkeit geschickt variieren, sodaß zu einem bestimmten Zeitpunkt die Position des Geschosses mit der der Rakete übereinstimmt. Das wird dann Deine Aufgabe sein, dies zu programmieren.
Waren meine Gedanken soweit nachvollziehbar? |
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Nantaya
Anmeldungsdatum: 24.11.2007
Beiträge: 3
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| Nantaya Verfasst am: 25. Nov 2007 16:15 Titel: |
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Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort 
Ich kann deinen Ausführungen soweit folgen. Hab mal ein Theoriebeispiel aus der Schule zum schrägen Wurf genommen (XY-Koordinatensystem) und mit deinem numerischen Ansatz Näherungswerte iterativ berechnet und verglichen. Hat soweit prima geklappt!
Zur Definition des Abschusswinkels:
Ist der Azimut nicht der Winkel für die horizontale Ausrichtung und Elevation der Erhebungswinkel? Durch die Vorgabe des Punktes müsste ich doch nur noch den Erhebungswinkel bestimmen. Der Winkel für die horizontale Ausrichtung hat doch auf die "Eigenschaften" der Flugbahn selbst keinen Einfluss. Diesen Winkel müsste ich doch anhand der Position direkt bestimmten können und damit die entsprechende Komponente des Vektors  !?
(Also ich hab da grundsätzlich noch etwas Schwierigkeiten mit den Berechnungen im Raum. Die bisherigen Berechnungen/Aufgaben (schräger Wurf etc.) waren immer in eimen XY-Koordinatensystem.)
Die von mir angegebenen Differentialgelichungen konnte ich symbolisch auch nicht lösen. Deshalb scheint mir der numerische Ansatz "the way to go" zu sein. Das Problem könnte dann am Ende aber die benötigte Rechenzeit zur Ermittlung der Anfangsbedingungen sein. Entscheidend wird wohl die Effizienz des zu implementierenden Algorithmus sein... |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 25. Nov 2007 16:57 Titel: |
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Das mit der DGL hatte ich auch durchdacht:
| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | Die Differentialgleichungen, die Du angegeben hast, haben eine ziemlich häßliche Note, weil sie nicht unabhängig voneinander sind. Das liegt daran, daß
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Man kann die drei gekoppelten DGL auf zwei reduzieren, indem man das Koordinatensystem entsprechend dreht bzw. die Geschwindigkeiten anders betrachtet (horizontal und vertikal):Damit erhält man das System:Das sieht zwar schonmal etwas besser aus, lässt sich soweit ich weiß aber auch nicht analytisch lösen (vgl. diesen Beitrag einer Näherung und die darauffolgende Diskussion).
Ich wollte das nur noch mal bestätigen. Schließe mich also der numerischen Lösung an. :-)
_________________
Formeln mit LaTeX |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 25. Nov 2007 18:22 Titel: |
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Hallo Nantaya.
Schön, daß Du den Ansatz an einem praktischen Beispiel verifizieren konntest.
| Nantaya hat Folgendes geschrieben: | | Ist der Azimut nicht der Winkel für die horizontale Ausrichtung und Elevation der Erhebungswinkel? |
Richtig, ich habe die Begriffe von Azimutwinkel und Polarwinkel verwechselt,  ist der Polarwinkel; die Formel ist aber korrekt. Der Azimutwinkel ist dann  und kann z.B. über die Beziehung
bestimmt werden.
para hat einen schönen Ansatz gezeigt, die Problemstellung zu reduzieren. Damit läßt sich bequemer weiterrechnen. Ansonsten muß Du Dir aus eine Drehmatrix konstruieren.
Es könnte für die Findung der Lösung auch von Nutzen sein, wenn man das Treffergebiet "endlich" wählt, also eine Abbruchbedingung einführt. Mit dem bisherigen Ansatz erhält man zu einem gegebenen  die Bahnkurve. Durch Variation von Betrag und Winkel dieser Größe kann man die Bahnkurve des Geschosses durch das Zielgebiet führen. Es sei hier darauf hingewiesen, daß bei zu klein gewählter Geschwindigkeit das Ziel niemals getroffen wird. Dieser Fall ist bei der Programmierung zu beachten und abzufangen. Das Ergebnis der Variation wird die Zeit sein, die das Geschoß bis ins Treffergebiet unterwegs ist. Die Variation ist also Programmtechnisch soweit zu optimieren, daß die Abfangkugel zu einem Bestimmten Zeitpunkt das Zielgebiet erreicht.
Ich hoffe Du hast schon eine Idee, wie man den Algorithmus angeht und Programmatisch umsetzt. |
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Nantaya
Anmeldungsdatum: 24.11.2007
Beiträge: 3
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| Nantaya Verfasst am: 26. Nov 2007 17:20 Titel: |
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Vielen Dank für eure Inputs! Damit kann ich prima weiter arbeiten...
Hmmm, eine kleine Frage hätte ich aber doch noch. Bin grad etwas verunsichert bezüglich der Beschleunigung:
Für die Berechnung der einzelnen Geschwindigkeitsvektoren  muss ich jeweils die Beschleunigung  neu berechnen, oder? (Wie in der "Formel" angegeben...) |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 26. Nov 2007 17:59 Titel: |
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Da
müßte es so aussehen:
)
PS:
Mir fällt gerade auf, daß  und eine Verwechslungsgefahr in sich bergen; also aufpassen  . |
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