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Massepunkt an Feder schwingt
 
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Gargy



Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 03. Nov 2007 12:18    Titel: Massepunkt an Feder schwingt Antworten mit Zitat

Hallo, ich habe eine Aufgabe, an der ich zur Zeit ein wenig rumknobel...

Die Bewegung eines Massenpunktes m sei auf die x-Achse beschränkt. Er ist über eine Feder mit dem Punkt , a>0 verbunden.

Stelle die Lagrange-Funktion auf.

Ich tue mich etwas schwer und weiß nicht recht, wie ich anfangen soll. Kann mir jemand einen Schubser in die richtige Richtung geben?
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
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Beitrag magneto42 Verfasst am: 03. Nov 2007 15:44    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Gargy.

Es wird wohl zweckmäßg sein die Koordinate zu nennen und die dazugehörige Geschwindigkeit . Für die Lagrange-Funktion werden die kinetische Energie T und die potentielle Energie V benötigt.

Des Ausdruck für die kinetische Energie ist trivial. Für die potentielle Energie schau Dir die Zeichnung an. Welche Federenergie liegt vor, wenn die Masse um die Strecke x ausgelenkt worden ist?



Federpendel1.PNG
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Federpendel1.PNG


Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 03. Nov 2007 15:52    Titel: Antworten mit Zitat



So vielleicht?
magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 03. Nov 2007 16:31    Titel: Antworten mit Zitat

Igitt, es ist wohl eher

Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 03. Nov 2007 17:06    Titel: Antworten mit Zitat

Hupsalla hehe, das ist echt igitt. Ich meinte auch was ganz anderes und zwar



oder nicht? Weil, wenn die Feder nicht auslenkt ist, liegt die Masse im Koordinatenursprung, oder?
magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 03. Nov 2007 17:12    Titel: Antworten mit Zitat

Auch nicht besser. Kennst Du einen alten Griechen namens Pythagoras?
Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 03. Nov 2007 18:04    Titel: Antworten mit Zitat

Hm? Wieso? Total falsch?

Aber ich dachte, wenn ich keine Auslenkung habe, hängt die Feder im Ursprung. Wird sie ausgelentk liegt sie bei x und ist jetzt "s" lang. Die Differenz beider Länge (also Ruhelage und bei x) ist die Auslenkung.

Wo ist da der Pythagoras?[/latex]
Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 03. Nov 2007 18:22    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich habe jetzt mal die Bewegungsgleichung aufgestellt:







Aber warum ist die Auslenkung jetzt s?
magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 03. Nov 2007 18:42    Titel: Antworten mit Zitat

Die potentielle Energie der Feder hängt allein von ihrer Auslenkung ab! Diese Auslenkung ist s. Bei x = 0 ist die potentielle Energie minimal. Es gilt einfach (hier ist der Pythagoras)

magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 03. Nov 2007 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Gargy.

Ich denke, ich weiß jetzt, was Du meinst. Ich habe die Aufgabenstellung etwas anders aufgefaßt. Meine Vorstellung war, daß die Feder in Ruhe schon eine Auslenkung um a innehat. Aber wenn für x = 0 die Feder entspannt ist, dann muß die Auslenkung der Feder tatsächlich s - a sein und damit die potentielle Energie



Verzeihung für das vorschnelle Urteil. Dennoch gilt der Pythagoras . Die potentielle Energie sieht nun aber nicht mehr ganz so schön aus und die Bewegungsgleichung beschreibt keinen harmonischen Oszillator mehr.
Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 04. Nov 2007 11:54    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, ja, ich weiß nicht. Habe ich es jetzt nur anders verstanden? Uah, welcher Ansatz ist denn richtig? grübelnd
magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 04. Nov 2007 12:13    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe immer so meine Probleme, wenn Aufgaben unpräzise sind. Es gibt dann viele Gelegenheiten den Gedankengang des Aufgabenstellers mißzuverstehen Augenzwinkern. Hier ist wohl Deine Interpretation richtig. Es mach sinn der (mechanischen) Feder eine eigene Länge zuzuordnen. Dies soll dann a sein. Damit ist die Feder entspannt, wenn die Masse sich in der Ruhelage x = 0 befindet Thumbs up!.

Sollst Du auch noch die Bewegungsgleichung lösen oder reicht es einfach die Langrange-Funktion aufzustellen?
Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 04. Nov 2007 17:41    Titel: Antworten mit Zitat

Lösen muss ich die Gleichung erstmal nicht... ähm - wie lautet sie, ist die Frage. Allerdings kommt dann noch etwas:

Finde alle möglichen Ruhelagen und untersuche deren Stabilität in Abhängigkeit vom Parameter a. Berechne außerdem die Kreisfrequenz für kleine Schwingungen um die stabile Ruhelage.

Kreisfrequenz klingt ganz einfach... Irgendwie zeigen, dass man annehmen kann s sei a und dann los, oder? Der erste Teil ist aber doch etwas rätselhaft.
magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 04. Nov 2007 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

Hast Du die Langrange-Funktion denn jetzt heraus? Magst Du sie einmal angeben, damit klar ist vovon wir jetzt reden?

Stabile Ruhelagen sind immer dort zu finden, wo die potentielle Energie ein lokales Minimum aufweist. Es ist ein grundlegendes physikalisches Prinzip, daß ein System versucht die potentielle Energie zu minimieren.

Für die Bestimmeung der Kreisfrequenz für kleine Auslenkungen mußt Du versuchen eine geeignete Näherung einzuführen. Es wird wohl darauf hinauslaufen, daß man annimmt x << a. Da hier mit dem Pythagoras ein Wurzelausdruck eingeführt wird, kann man sich daran einmal probieren.
Gargy



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Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 04. Nov 2007 18:57    Titel: Antworten mit Zitat

hm, ich hab das mal probiert, aber so richtig grübelnd





Diese Näherung x<<a - geht das über eine Taylorentwicklung? Ich meine, wenn ich dann zB zeige, dass ich nach dem ersten Glied abreche, weil es dann immer winziger wird?
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
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Beitrag magneto42 Verfasst am: 04. Nov 2007 19:37    Titel: Antworten mit Zitat

Hm grübelnd, ich habe verschiedene Ansätze für eine Näherung ausprobiert, bin mir aber nicht sicher, welcher genau hier gefragt ist. Ein sehr simpler Weg ist in dem Ausdruck für das Potential folgendes zu setzten:



Denn damit ergibt sich dann die Form:



Das führt dann zu einem harmonischen Oszillator. Andere Ansätze führen zu weniger schönen Differentialgleichungen, die ich jetzt nicht selber lösen möchte. Du kannst ja mal probieren, ob Du mit der allgemeinen Relation etwas anfangen kannst.


Deine Lagrange-Funktion ist soweit richtig Thumbs up!. Jedoch ist die Ableitung davon nicht korrekt. Es muß lauten:

magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 05. Nov 2007 01:35    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Gargy.

Ich habe spaßeshalber noch ein wenig an einer Näherung herumprobiert. Das Schönste, was ich finden konnte, war im Ausgangspotential den Wurzelterm aufzulösen. Mit



folgt aus dem Potential



Ich habe mich graphisch davon überzeugt, daß dies eine recht gute Näherung für das Potential ist. Um an die Kreisfrequenz zu kommen, gehe ich über die Energieerhaltung . Diese führt auf die Formel



Dies beschreibt die Dauer eine vollen Schwingung zwischen den Umkehrpunkten (bitte entschuldige die doppelte Größenbenennung von T). ist dabei die maximale Auslenkung. Die Gesamtenergie läßt sich dann über eben diese maximale Auslenkung angeben als



Eingesetzt in die obige Formel erhält man dann



Soweit konnte ich das noch zu Fuß zu Papier bringen. Zur Lösung des Integrals habe ich dann Mathematica bemüht. Als Lösung erhält man dann



Für die Kreisfrequenz muß der Ausdruck dann noch umgestellt werden. Es ergibt sich dann





Das läßt sich dann noch etwas vereinfachen, indem man die Konstanten ausrechnet:



Vielleicht kannst Du ja etwas davon nachvollziehen. Viel Spaß damit.

PS:
Rechenfehler unterliegen meinem Patent und werden nicht lizensiert.
Gargy



Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 05. Nov 2007 12:09    Titel: Antworten mit Zitat

Boah, vielen Dank für die Mühe!

Aber ich komme bei der Näherung nicht ganz mit unglücklich . Ich habe mal eine Taylor-entwicklung für die Wurzel probiert. Weil ich da nix richtiges hingekriegt habe, habe ich einfach mal Maple bemüht und es kam das bei heraus:



Hm, also hast du das wohl irgendwie anders gemacht... grübelnd (Scheint auch falsch zu sein, denn wenn man weiter umstellt, kommt was negatives raus, müssen wohl mehr Glieder sein, für eine solche Näherung)

Und eine Frage noch: Um auf die Schwingungsdauer zu kommen... reicht es da, wenn ich die Bewegungsgleichung aufstelle und T einfach ablese?

Ach richtig, die Ableitung der Lagrange-Gleichung - Fehler schon gefunden!
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 05. Nov 2007 14:25    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast offensichtlich Maple die Taylorreihe um x = a herum entwickeln lassen. Es ist aufgrund der Symmetrie aber besser um x = 0 herum (die Ruhelage) zu entwickeln. Für die Reihe sind zuerst die Ableitungen des Wurzelterms auszurechnen:







Damit ergibt sich die Reihenentwicklung:




Die Schwingungsdauer folgt natürlich auch aus der Bewegungsgleichung. Jedoch hat sie auf meinem Zettel keine analytische Lösung. Die exakte Bewegungsgleichung hast Du mit der Ableitung der Lagrange-Funktion selber ausgerechnet. Mit der Näherung erhält man



Die Lösung ist keine elementare Funktion sondern führt laut Mathematica auf einen Ausdruck mit elliptischer Funktion. Ich kann da nicht sehen, wie man T einfach "ablesen" kann.

Wie gesagt, ich weiß nicht was für eine Näherung genau gefordert ist und wie tief man graben muß um die Lösung zu bestimmen. Die Näherung des harmonischen Oszillators ist simpel aber ziemlich ungenau. Das liegt daran, daß sich das Potential nicht wirklich harmonisch um die Gleichgewichtslage entwickeln läßt. Für die andere Näherung muß man halt etwas tiefer in die Trickkiste greifen, aber man erhält eine gutartige Lösung. Etwas gutes und einfaches sehe ich im Moment leider nicht.
Gargy



Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 05. Nov 2007 17:18    Titel: Antworten mit Zitat

Uff, ich bin aber auch ein Trottel Haue / Kloppe / Schläge

Vielen Dank! Natürlich muss ich Taylor um x=0 enwickeln, uiuiui, keine Ahnung warum ich a genommen habe. Gut, dann komme ich soweit auch mit.

DAAAANKE für den RIESEN-Schubs.

Und nochmal ganz kurz zu den Ruhelagen. Extremale potentielle Energie gibt mir die Ruhelagen und stabil sind sie bei einem Minimum. Denke, das kriege ich hin. Ich stell die Lösung dann mal noch hier rein - scheinbar brauche ich ja ne Kontrolle Hammer
Gargy



Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 05. Nov 2007 18:55    Titel: Antworten mit Zitat

Eben wollte ich die stabile Ruhelage ausrechnen, da fällt mir auf, dass die nur bei x=0 sein kann - zumindest so, wie ich das bisher betrachte.

Hm, irgendwie fiel mir dann auf, dass in der Aufgabe nicht steht, dass die Feder tatsächlich a lang ist, sondern, sie sei dort aufgehängt. Ich habe das jetzt nochmal durchgerechnet und wollt fragen, ob du da mitgehst (l ist die Länge der Feder, l ist gleich oder kleiner a):







Für kleine Schwingungen gemäß der Näherung mittels Taylor komm ich auf:



Da könnte ich jetzt die Schwingungsdauer ablesen, denn ist ja eindeutig.

Nur mit der potentiellen Energie und den Ruhelagen komme ich noch nicht klar... Da kommt bis jetzt nur Quatsch raus.

Was hälst du von meinen Rechnungen soweit? Geht das auch?
magneto42



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Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 05. Nov 2007 19:47    Titel: Antworten mit Zitat

Ist ja meine Rede, unpräzise Aufgabenstellungen führen zu Kopfschmerzen. Deine Rechnung sieht sehr gut aus Thumbs up!. Für die Näherung des Potentials erhalte ich nun



Der erste Teil ist konstant und entspricht der Federenergie in der Ruhelage; der zweite Term hat die Form des harmonischen Potentials; der letzte Term wird gegegüber dem quadratischen Audruck schnell abfallen. Daher kann man jetzt geruhsam das Potential aufschreiben:



Das führt auf dieselbe Bewegungsgleichung, die Du schon aufgestellt hast smile.


Deine Ableitung des Potentials enthält einen kleinen Fehler: und . Die korrekte Ableitung ist wichtig für die Bestimmung der Ruhelage(n) (und denke daran daß ).

PS:
gibt es einen Grund warum du mittendrin von D nach k gewechselt hast?
Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 06. Nov 2007 10:15    Titel: Antworten mit Zitat

Huch, nein. k=D Weiß auch nicht, dass ist da so reingerutscht.

Hm, wo habe ich einen Fehler? Ich habe doch nur 2x ausgeklammert grübelnd
magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 06. Nov 2007 11:02    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist



Hilft Dir das? Oder liegt das Problem an anderer Stelle?
Gargy



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Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 06. Nov 2007 20:54    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, also irgendwie funktioniert das mit der potentiellen Energie nicht!









Hilfe

Das geht ja nicht.
Gargy



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Beitrag Gargy Verfasst am: 06. Nov 2007 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ach doch, das müssen ja komplexe Nullstellen sein, wenn l<a ist. für l=a ist die Ruhelage bei x = 0. Hui, was ist, wenn l>a? Ach Gott, das müsste man ja auch noch einfließen lassen. Buschmann
magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 06. Nov 2007 21:02    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn l > a , dann hängt die Feder durch. Für die "Durchhängephase" des Massepunktes hätte man dann eine unbeschleunigte Bewegung. Nee, das wird ganz häßlich.

Es reicht zu sagen daß V' = 0 nur erfüllt sein kann wenn x = 0 (Du hast das einsame x vor der Klammer doch gesehen, oder Augenzwinkern?).
Gargy



Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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Beitrag Gargy Verfasst am: 07. Nov 2007 17:34    Titel: Antworten mit Zitat

Die Feder hängt durch? Würde sie nicht eher zusammengedrückt und nur bei x entspannt sein?

Das x habe ich gesehen, jaha Prost
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 07. Nov 2007 18:53    Titel: Antworten mit Zitat

Hängt mal wieder von davon ab, wie man sich die Feder und die Aufhängung vorstellt Big Laugh. Aber Hauptsache die Aufgabe ist jetzt gelöst Prost .
Gargy



Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 08. Nov 2007 19:19    Titel: Antworten mit Zitat

Prost

Jup, soweit ganz gut, wobei die Lösung für die Ruhelagen tatsächlich diese Wurzel sein sollte. x = 0 ist immer Lösung. Stabil wenn l=a und instabil wenn l größer oder kleiner a.

Aaaaber, vielen Dank, Magneto, hat insgesamt viel gebracht (Lagrange kapiert!).

Tanzen
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