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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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 shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 13:52 Titel: Aufgabe zum Inertialsystem |
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Hallo,
eine Aufgabe zu einem Thema, welches kaum bis selten in Physikbüchern zu finden ist. Bei uns verwendet man auch gerne den Begriff "Metrische Gleichungen". Unter diesem Stichwort habe ich in keinem der bekannten Physikbücher je was gefunden. Heißt das noch irgendwie anders oder ist es einfach nur ein Randgebiet der Physik?
Nun zur Aufgabe:
a) Im Intertialsystem S werden 2 Ereignisse gemessen, die  zeitlich von einander entfernt sind und  räumliche Distanz aufweisen. Im Intertialsystem S' findet man zwischen den Eriegnissen eine zeitliche Entfernung von  . Bestimmen Sie die räumliche Distanz  der Ereignisse im System S'.
b) Von zwei synchronisierten Uhren wird eine in einer Hochgeschwindigkeitsbahn deponiert, die nun 50 Runden auf einer kreisförmigen Bahn (Radius r = 10km) mit konstanter Geschwindigkeit v = 300m/s zurücklegt. Anschließend werden beide Uhren verglichen. Berechnen Sie die Zeitdifferenz zwischen beiden Uhren und zeichnen Sie die Weltlinien beider Uhren (1 Runde) im Raumzeitdiagramm. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 14:11 Titel: |
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Hallo!
Das, was Du da beschreibst, ist ein Teil (der wichtigste?) der speziellen Relativitätstheorie. Ich glaube nicht, dass man das ein Randgebiet der Physik nennen kann.
Bei der a) musst Du wissen, dass die Minkowski-Metrik in der SRT eine invariante ist. Das ist so ähnlich, wie normale Längen konstanten sind (zumindest in der Euklidischen Geometrie), egal wie ich ein Koordinatensystem definiere, also auch, wenn ich z. B. ein gedrehtes Koordinatensystem habe und so.
Es muss also:
immer der gleiche Wert ergeben, egal in welchem Inertialsystem man die beiden Ereignisse und die Differenzen in den vier Dimensionen der beiden Ereignisse betrachtet.
Du kannst diesen Wert im einen Inertialsystem ja schon ausrechnen (y und z kannst Du einfach als 0 annehemn, weil Du das Koordinatensystem immer so drehen kannst, dass beide Ereignisse bei y=z=0 statt finden und sich nur in der x-Koordinate unterscheiden. x ist also das d aus der Aufgabe). Danach kannst Du es in die Gleichung für das andere Inertialsystem einsetzen und  ausrechnen.
Gruß
Marco |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 14:50 Titel: |
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Hallo Marco! 
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Das, was Du da beschreibst, ist ein Teil (der wichtigste?) der speziellen Relativitätstheorie. Ich glaube nicht, dass man das ein Randgebiet der Physik nennen kann. |
Stimmt, ich hoffe ich habe niemanden beleidigt mit meiner Aussage 
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
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Das gilt ausnahmslos immer?
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Du kannst diesen Wert im einen Inertialsystem ja schon ausrechnen (y und z kannst Du einfach als 0 annehemn, weil Du das Koordinatensystem immer so drehen kannst, dass beide Ereignisse bei y=z=0 statt finden und sich nur in der x-Koordinate unterscheiden. |
Woran siehst du, dass es nur in zwei Dimensionen stattfindet? Bzw. in einer Dimension, wenn man die Zeit nicht mitrechnet.
Für das Inertialsystem S bekomme ich  raus.
Für das Inertialsystem S' gilt: 
Muss ich jetzt für  einsetzen? Dann käme für 0 raus, weil  auch 400ns beträgt |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 15:25 Titel: |
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Hallo!
Bei nur zwei Ereignissen kannst Du das Koordinatensystem immer so hin drehen, dass sie auf einer räumlichen Achse sind.
Dabei fällt mir gerade auf: Eigentlich gehört in die Gleichung noch ein c² vor das delta-t². Aber dann müsste man die Längen auch in einer Längeneinheit, also z. B. Metern angeben.
Du kannst Übrigens die Metrik (also das Delta s²) nachher gerne als Quadrat stehen lassen. Erstens ist das kein so ganz richtiges Quadrat, weil es auch mal negativ werden kann (da ein Quadrat zu schreiben, ist eher Konvention) und zweitens brauchst Du ja im zweiten Schritt so wie so gleich wieder das Quadrat.
Du musst auch nicht unbedingt ds² ausrechnen, sondern kannst auch einfach die beiden Metriken direkt gleich setzen, also z. B. :
Aber sonst ist das ok. Was hast Du dann raus für delta-d' (nicht wundern, wenn das Ergebnis, naja, ich sag mal: ziemlich klein wird)? Was bedeutet dieses Ergebnis?
Gruß
Marco
PS: Mit dem Diagramm weiß ich nicht so genau, wie das gemeint ist. Immerhin bewegt der Zug sich ja in zwei räumlichen Dimensionen. Wenn jetzt noch eine Zeitdimension dazu gezeichnet werden soll, dann müsste man das schon in 3D zeichnen. Ich vermute allerdings nicht, dass das wirklich verlangt ist bei der Aufgabe...
//Edit: Ich sehe gerade, dass Du das richtige Ergebnis für  raus hast. Hatte ich übersehen.
Was bedeutet das? Wie kann das sein? |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 15:40 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Ich sehe gerade, dass Du das richtige Ergebnis für raus hast. Hatte ich übersehen.
Was bedeutet das? Wie kann das sein? |
Weil beide Ereignisse dieselbe x-Koordinate haben (verschiedene y-Koordinate für die Zeit), d.h. sie liegen auf der gleichen Höhe. So würde ich mir das jetzt vorstellen.
zu b) Was taugen hier die Formeln  und 
PS: Mein LaTeX wird besser  |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 15:51 Titel: |
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Hallo!
Beide Ereignisse finden am selben Ort statt, genau.
Mit der ersten Formel kannst Du die Zeit ausrechnen. Du hast den Umfang des Kreises und weißt deshalb, wie lange der Zug unterwegs war, wenn er diese Strecke 50-mal gefahren ist. Das ist aber jetzt nicht die Eigenzeit t0 des Zuges, sondern die im äußeren Inertialsystem (Das Zug-System ist auch kein Inertialsystem, sonst könnte er sich nicht auf einer Kreisbahn bewegen...). Du hast also v gegeben und  kannst Du Dir ausrechnen.  muss einen kleineren Wert haben, weil bewegte Uhren langsamer gehen (Zeitdilatation).
Ja, Dein  ist wirklich schon sehr gut! 
Gruß
Marco |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 16:07 Titel: |
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Hallo!
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Beide Ereignisse finden am selben Ort statt, genau.
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Genau.
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Mit der ersten Formel kannst Du die Zeit ausrechnen. Du hast den Umfang des Kreises und weißt deshalb, wie lange der Zug unterwegs war, wenn er diese Strecke 50-mal gefahren ist. Das ist aber jetzt nicht die Eigenzeit t0 des Zuges, sondern die im äußeren Inertialsystem (Das Zug-System ist auch kein Inertialsystem, sonst könnte er sich nicht auf einer Kreisbahn bewegen...). Du hast also v gegeben und kannst Du Dir ausrechnen. muss einen kleineren Wert haben, weil bewegte Uhren langsamer gehen (Zeitdilatation).
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Kreisumfang: 
=> 
Das Ganze nun für 50 Runden: 
 kennen wir. Bekomme ich  einfach über  raus? Dann alles einsetzen und fertig?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 16:11 Titel: |
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Hallo!
| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | kennen wir. Bekomme ich einfach über raus? Dann alles einsetzen und fertig? |
Nein, nicht , sondern
Gruß
Marco
//Edit: Vielleicht nochmal etwas anders erklärt: Der ganze Vorgang (also die Zeitdifferenz zwischen dem Ereignis des Losfahrens und dem Ereignis des Ankommens) dort im Inertialsystem . Du willst wissen, was eine mit dem Zug mitgenommene Uhr anzeigen würde, also die Eigenzeit des Zugs. Das ist .
Das ist eigentlich gar nicht so einfach von der Logik hier. Du hast hier nämlich nicht mehr den Fall, dass Du zwei Inertialsysteme betrachtest, sondern ein Inertialsystem und ein beschleunigtes Bezugssystem des Zugs. Das ist übrigens dann so was wie das Zwillings-Paradoxon, über das Du sicher im Internet viel finden kannst (z. B. auf Wikipedia steht da recht ausführlich was geschrieben, soweit ich weiß).
Zuletzt bearbeitet von as_string am 11. Apr 2007 16:15, insgesamt einmal bearbeitet |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
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| shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 16:13 Titel: |
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Also 
Dann einsetzen und nach auflösen. ist dann die gesuchte Zeitdifferenz beider Uhren?
//EDIT: Ne, stimmt nicht, ist die Zeit der ruhenden Uhr. Dann muss ich noch die Differenz aus und bilden? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 16:18 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | //EDIT: Ne, stimmt nicht, ist die Zeit der ruhenden Uhr. Dann muss ich noch die Differenz aus und bilden? |
Ja, die Rechnung ist richtig, aber was meinst Du mit "ruhender Uhr"? Das kommt immer auf den Betrachter an. Die Uhr wäre in einem mit dem Zug mitgeführten Bezugssystem ruhend und zeigt damit die Eigenzeit diese beschleunigten Bezugssystem an.
Gruß
Marco |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 16:19 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Ja, die Rechnung ist richtig, aber was meinst Du mit "ruhender Uhr"? Das kommt immer auf den Betrachter an. Die Uhr wäre in einem mit dem Zug mitgeführten Bezugssystem ruhend und zeigt damit die Eigenzeit diese beschleunigten Bezugssystem an. |
Das stimmt. Ich meinte natürlich die Uhr außerhalb des Zuges. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 16:21 Titel: |
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Hallo!
Jetzt bin ich etwas durcheinander... 
ist die Zeit der Uhr im Zug und  die der (im Inertialsystem) fest stehenden Uhr, wenn Du die Formel so anwenden willst.
Gruß
Marco |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 16:27 Titel: |
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Hallo!
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
ist die Zeit der Uhr im Zug und die der (im Inertialsystem) fest stehenden Uhr, wenn Du die Formel so anwenden willst. |
Ok, d.h. ist für die Uhr außerhalb des Zuges?
Ich bekomme ein lustiges Ergebnis raus, denn sowohl als auch haben dasselbe Ergebnis. Demnach ist die Zeitdifferenz  . Kann das sein?
//EDIT: Im Grunde hängt es von der Lichtgeschwindigkeit c ab, denn der Nenner in der Wurzel wird davon beeinflußt, wie genau man den Wert für c wählt. Für die Wurzel erhält man 1, was mehr oder weniger eine Näherung des Taschenrechners zu sein scheint.
Was sagt uns dieses Ergebnis? Da beide Uhren, aus der Sicht des Beobachters, in Ruhe sind und der Zug jeweils dieselbe Strecke zurücklegt, zeigen beide Uhren dieselbe Fahrtzeit an. Dabei ist vorauszusetzen, dass die Uhren genau gleich funktionieren und zur selben Zeit ausgelöst wurden. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 17:20 Titel: |
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Hallo!
Dass da das selbe Ergebnis raus kommt, ist eher ein Problem der Genauigkeit des Taschenrechners. Bei 300m/s ist der  -Faktor (das ist der Bruch mit der Wurzel und so) fast genau =1. Deshalb sind die Zeiten auch so gut wie gleich. Immerhin ist die Lichtgeschwindigkeit noch um den Faktor 1Million größer, als die Geschwindigkeit des Zuges, obwohl der für unsere Verhältnisse auch schon irrsinnig schnell ist (300m/s entspricht ja 1080km/h!).
Ich denke, die Aufgabe zeigt da schon mal etwas die Größenordnungen und auch, warum man unter eher normalen Bedingungen kaum einen Unterschied bemerken kann, ob man relativistisch rechnet oder nicht-relativistisch.
Ich werde mal später, wenn ich etwas mehr Zeit habe, versuchen, ob ich nicht doch noch ein Ergebnis hinbekommen kann, so dass man sieht, wie klein diese Abweichung tatsächlich ist.
Gruß
Marco |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 11. Apr 2007 17:22 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Ich werde mal später, wenn ich etwas mehr Zeit habe, versuchen, ob ich nicht doch noch ein Ergebnis hinbekommen kann, so dass man sieht, wie klein diese Abweichung tatsächlich ist.
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Danke |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 11. Apr 2007 21:09 Titel: |
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Hallo!
Ich habe mal die Wurzel in den Google-Taschenrechner eingetippt und davon gleich eine 1 abgezogen. Raus kommt, dass es erst ab der 13. Nachkommastelle eine Abweichung zwischen diesen beiden Zahlen gibt. Das mit der Gesamtzeit multipliziert ergäbe dann den Unterschied, der also schon sehr gering ist. Aber: Das könnten heutige Atomuhren gerade noch unterscheiden, so weit ich weiß (müsste man mal nachschauen, wie genau heutige Atomuhren sind )
Gruß
Marco |
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