Frage zur spez. Relativitätstheorie & Lorentztransformat

Sly · Anmeldungsdatum: 17.08.2005 Beiträge: 3 Wohnort: MS

Hallo an Alle!
Wohlgemerkt, meine Frage, die ich gleich stelle, mag in Augen der meisten vielleicht hier komisch vorkommen.
Vor einigen Monaten haben wir in Linearer Algebra ganz am Ende des zweiten Semesters, nachdem wir alle unsere wichtigsten Sätze beisammen hatten, einige Anwendungen betrachtet, darunter als wichtigste den mathematischen Zugang zur speziellen Relativitätstheorie.

Der Zugang läuft hauptsächlich über der Betrachtung des Minkowskiraums im vereinfachten Fall (also eine Raumdimension) zusammen mit dem Minkowskiprodukt, das wir uns definiert haben als

, wobei die Argumente zwei Punkte im Minkowskiraum sind und die x-Vektoren natürlich die Ortskomponente darstellt. (Dieser wird im Vereinfachten Fall dann zum Skalar).

Nun kommt man letztendlich durch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit dazu, dass durch eine Transformation, die zwei Bezugssysteme wechselt, der Lichtkegel invariant bleiben muss unter der Transformation.
Das komplette Beispiel sieht dann so aus, dass sich zwei Beobachter P und Q mit einer Geschwindigkeit

relativ zueinander bewegen. Bei der Betrachtung dieses Beispiels ist man natürlich darauf aus, die darstellende Matrix der Lorentztransformation (die aus Perspektive von P auf Perspektive Q abbildet) im 2-dimensionalen Fall zu finden.
Insgesamt haben wir folgende Kriterien aufgestellt, um sie herzuleiten:
- Die Vektoren

, die den Lichtkegel aufspannen, sind Eigenvektoren. (wegen der Invarianz)
- Die Matrix transformiert

auf ein Vielfaches von

- Das Minkowskiprodukt ist unter der Transformation invariant.

Nun, lange Rede kurzer Sinn, mein Problem ist Folgendes:
Ich verstehe das dritte Kriterium nicht. Ich hab lange darüber nachgedacht, bin aber nicht drauf gekommen. Auch steht in meinen Unterlagen nichts weiter dazu (und ich schreibe alles mit). Ich habe auch eine Menge gegoogelt und habe gerausgefunden, dass das äquivalent dazu ist, dass die relativistische Länge eine Invariante unter der Lorentztransformation ist. Schlau daraus geworden bin ich aber auch nicht.

Da ich demnächst über genau dieses Thema eine Facharbeit schreiben möchte und ich nur DIESES eine nicht verstehe, würde ich euch bitten, mir das zu erklären. Es ist ein wirklich wichtiger Aspekt. Wenn ich es nicht begründen kann, wäre so eine Herleitung der Lorentztransformation ja lückenhaft.

Ich bedanke mich vielmals im Voraus an die, die allein schon Geduld dafür hatten, diesen ellenlangen Text durchzulesen!
Schöne Grüße
Sly

Naemi · Moderator Anmeldungsdatum: 01.06.2004 Beiträge: 497 Wohnort: Bonn

Erstmal: schön gefragt!

Der letzte Punkt ist eine Konsequenz aus dem Postulat (!), dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem (IS) gleich ist. Wenn man jetzt zum Zeitpunkt t=0 die Ursprünge aufeinander fallen lässt und von dort aus einen Lichtstrahl losschickt, muss in beiden Systemen dieselbe Lichtgeschwindigkeit gemessen werden.

Im ersten System gilt

oder halt

edit: Danke Marco, da muss natürlich ein Minus hin!

wobei das Minkowski-Skalarprodukt von lichtartigen Vektoren (also Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen) stets null ist. Dies muss in beiden Systemen der Fall sein.

So, und jetzt brauche ich eine Denkpause, um mich wieder zu erinnern, warum dies denn auch für zeit- und raumartige Vektoren gilt...

edit: Oha! Bin noch über dies gestoßen:
http://www.physikerboard.de/lhtopic,6066,0,0,asc,.html

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo Naemi!

Kann es sein, dass da ein Minus stehen muss?

Ich weiß nicht, ob das vollständig ist, aber ich lese hier gerade (im Fließbach, ART, Seite 25f) in etwa:
4-Vektoren sind ja so definiert, dass sich sich unter Lorentz-Transformation wieder zu einem 4-Vektor transformieren, also bei kontravarianten Vektoren:

und für die kovarianten eben:

Wobei das Lambda ohne Strich die Lorentztrafo sein soll und die mit Strich die Inverse dazu (also gerade mit negativer Relativgeschwindigkeit)
Wenn ich jetzt zwei solcher 4-Vektoren multipliziere, einmal einen kovarianten und einmal einen kontravarianten, dann habe ich das hier:

Und das ist es schon: das Minkowskiprodukt der transformierten Vektoren hat den selben skalaren Wert, wie das aus den untransformierten. Aber so ein richtiges "Aha"-Erlebnis ist es irgendwie nicht, finde ich. Ich weiß nicht, ob Du schon davon ausgehen kannst, dass sich die Vektoren so unter LT transformieren, aber normalerweise sind sie sogar so definiert. Das gilt dann übrigens auch für Tensoren und so...

Vielleicht hilft's ja trotzdem weiter! smile

Gruß
Marco

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Die Invarianz des Skalarproduktes kann für zwei beliebige Vierevektoren
u und v auch so begründet werden:

Hier steht auf der linken Seite die Differenz der Betragsquadrate
zweier Viervektoren. Da die Betragsquadrate unter Lorentztrans-
formation invariant sind, folgt das gleiche für das Skalarprodukt.

Gruß von Bruce

Sly · Anmeldungsdatum: 17.08.2005 Beiträge: 3 Wohnort: MS