Zeitdilatation und Zwillingsparadoxon / Arbeit am Detail - Seite 2

ML · Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3559

Hallo,

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Wenn beide beliebig beschleunigt wären, dann müsste der eine Zwilling nicht nur seine eigene Eigenzeit und -beschleunigung messen, sondern auch die Relativgeschwindigkeit des anderen; dies erfordert jedoch den Austausch von Lichtsignalen und die Betrachtung der Dopplerverschiebung. Über die o.g. Problematik des Rindler-Horizontes hinaus stellt sich die Frage der praktischen Durchführung.

Betrachten wir zunächst den einfacheren Fall, dass Zwilling 1 unbeschleunigt ist, und dass beide zu Beginn ein gemeinsames Ruhesystem haben. Dann gilt mit

offenbar

Zu berechnen wäre dann die Umkehrfunktion.

Wie man sich leicht graphisch veranschaulicht, liegt aufgrund des Kippens der Gleichzeitigkeitsflächen des beschleunigten Zwillings i.A. keine streng monotone Funktion vor, d.h. keine Bijektion; die Umkehrfunktion ist nur abschnittsweise definierbar. Außerdem denke ich, dass ohne Kenntnis der Weltlinie des jeweils anderen Zwillings nicht mal die Grenzen dieser Abschnitte bestimmbar sind. Daher kann die Berechnung m.E. ohne Nutzung eines Inertialsystems nicht durchgeführt werden. Mittels der Zeitkoordinate t des IS ist dies natürlich zumindest prinzipiell lösbar, denn bzgl. t sind beide Eigenzeiten immer eindeutige und streng monotone Funktionen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Mir hat das ganze keiner Ruhe gelassen, deswegen möchte ich wenigsten für eine 2-dim. Raumzeit skizzieren, wie die Idee, alles auf messbare Größen zurückzuführen, funktionieren kann.

Vorab: Ich betrachte im folgenden keine Richtungs- und damit keine Vorzeichenwechsel in diversen Termen. Für die Beschleunigung ist dies zurückzuführen auf die Umkehrung des Schubes des jeweiligen Beobachters, für die Rotverschiebung treten gemischte Terme auf. Das ist ein Grund, warum die Betrachtung bereits in einer 2-dim. Raumzeit kompliziert ist, und warum ich nur von einer Skizze spreche. Die Verallgemeinerung auf eine 4-dim. Raumzeit ist für diverse Terme einfach möglich, jedoch tritt ein weiteres Problem auf: bereits bei aktuell konstanter Geschwindigkeit des Empfängers kann eine gewisse Änderung der Rotverschiebung nicht nur durch eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung sondern auch durch Änderungen der Bewegungsrichtungen des Senders herbeigeführt werden kann; wir haben also mehrere Variablen auf der Senderseite, jedoch nur eine auf der Empfängerseite, d.h. wir können alleine aus der gemessenen Frequenz die Bewegung des Senders nicht rekonstruieren.

Eigenzeit

Die von einer entlang einer beliebigen Weltlinie C mitgeführten Uhr gemessene Eigenzeit tau entspricht geometrisch der "verallgemeinerten Länge" dieser Weltlinie

wobei im Linienelement im zweiten Integral der "verallgemeinerte Pythagoras" im Minkowskiraum verwendet wird.

Mittels der nachfolgenden Definitionen erhält man die bekannte Form

die wir jedoch im folgenden nicht benötigten.

Definitionen

Die Weltlinien von Sender und Empfänger werden beschriebene durch Koordinaten x, die Vierergeschwindigkeiten u, ihre Eigenzeiten tau und ihre Eigenbeschleunigungen a; die letzten beiden Größen sind direkt messbar; die Beschreibung erfolgt in einem beliebigen Inertialsystem. Ich verwende im folgenden die Rapidität theta, da die Formeln damit sehr einfach werden.

Ich betrachte beide Sender und Empfänger in einem Inertialsystem, in dem beide Geschwindigkeiten für die betrachteten Ausschnitte der Weltlinien positiv d.h. nach rechts gerichtet sind. Außerdem befindet sich der Empfänger immer rechts vom Sender.

Lichtsignale und Eigenzeiten

Die zwei Raumzeitereignisse des Sendens (s=send) und des Empfangs (r=receive) eines Lichtsignals besteht ein lichtartiger Zusammenhang, also

Im folgenden betrachte ich derartige Gleichungen als Funktionen der Eigenzeit des Empfängers. Ein Punkt über einer Größe bedeutet dabei immer die Differentation nach der "eigenen Eigenzeit".

Differentation nach der Eigenzeit des Empfängers liefert

wobei ich rechts die Kettenregel anwende.

Einsetzen der Vierergschwindigkeiten liefert

Dopplerverschiebung

Nun definiere ich die Dopplerverschiebung gemäß

Diese gemessenen Frequenzen folgen aus den Vierergeschwindigkeiten der Beobachter sowie dem Viererwellenvektor

des Lichtsignals zu

Für den Sender gilt

Da der Sender in seinem mitbewegten Ruhesystem immer mit konstanter Frequenz sendet, sind k und kappa als Größen im festen Inertialsystem natürlich variable Größen.

Für den Empfänger analog.

In der Dopplerverschiebung fällt kappa heraus und man erhält

Eigenzeiten und Dopplerverschiebung

Damit erhält man die Differentialgleichung

sowie deren Lösung

Aus der gemessenen Rotverschiebung auf der Empfängerseite erhält dieser eine (abschnittsweise) Berechnung der Eigenzeit auf der Senderseite als Funktionen seiner Eigenzeit, wobei die beiden Ereignisse nicht raumartig sondern lichtartig verknüpft sind (für eine vollständige Betrachtung muss man sämtliche Abschnitte zusammensetzen und dabei diverse Fallunterscheidungen und Vorzeichenwechsel berücksichtigen).

Man verwendet kein mitbewegtes Koordinatensystem wie im Falle der Rindler-Koordinaten und vermeidet dadurch Artefakte wie Horizonte. Das künstlich eingeführte Inertialsystem tritt Endergebnis nicht mehr auf; es liegen ausschließlich lokale, invariante und messbare Größen vor. Die Beschleunigung ist dabei offensichtlich völlig irrelevant (außer, dass sie die Form der Weltlinie bestimmt).

5com · Anmeldungsdatum: 27.12.2016 Beiträge: 46

Vielen Dank, TomS!

Das schaue ich mir sorgfältig und in Ruhe an...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Noch etwas: aus der Messung der Eigenbeschleunigung und der o.g. Formel

gewinnt man durch abschnittsweise Integration von

zunächst die Rapidität, sodann durch Integration von

die Weltlinie, ebenfalls alleine aus messbaren Größen.

Abraham Zweistein · Gast

Zeugt es nicht von purem Dilletantismus Einsteins, dass er ein Gedankenexperiment annimmt das seiner eigenen ART widerspricht wo er doch postuliert das es eine unendlich große Energiemenge benötige je größer die Materiemasse ist die man auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen will.

Was für ein Murks. grübelnd

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Was für ein Gedankenexperiment und welcher Widerspruch wäre das?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Verallgemeinerung für n-dim. Minkowski-Raumzeit

Man definiert für die Verbindungslinie zwischen Sender und Empfänger

wobei eta die Minkowski-Metrik bezeichnet, und wobei die letzte Gleichung gilt, da beide lichtartig verbunden sind.

Man betrachtet

wobei die letzte Gleichung sicherstellt, dass die infinitesimale Änderung dN unter infinitesimalen Bewegungen von Sender und Empfänger lichtartig bleibt.

Letztere sind gegeben vermöge der Vierergeschwindigkeit als Tangenteneinheitsvektor an die Verbindungslinie

Für die Ableitungen gilt

also

Damit folgt

Nun ist die Verbindung zwischen Sender und Empfänger lichtartig und damit der Vektor z proportional zum Viererwellenvektor k

d.h.

Man erhält also die oben hergeleitete Differentialgleichung ohne Verwendung der Rapidität sowie für eine beliebige n-dim. Minkowski-Raumzeit, speziell natürlich für d=4.

Die Differentialgleichung ist für beliebige differenzierbare Weltlinien (d.h. keine Knicke) immer eindeutig lösbar.

Lösung des Zwillings-Paradoxons durch Dopplerverschiebung?

Nein!

Die verbreitete Behauptung, die Betrachtung der Dopplerverschiebung löse das Zwillingsparadoxon, ist falsch. Tatsächlich wird das Zwillingsparadoxon rein geometrisch dadurch gelöst, dass für unterschiedliche Weltlinien gegebenenfalls (jedoch nicht notwendigerweise) unterschiedliche verallgemeinerte Längen d.h. Eigenzeiten vorliegen

Das ist die Lösung!

Für gemeinsamen Start- und Endpunkt folgen die gemessenen Eigenzeiten des jeweils anderen Zwillings aus der Dopplerverschiebung, also für zunächst genullte Uhren

wobei nun auch der ursprüngliche Empfänger zu einem Sender wird u.u., und wobei die beiden Funktionen z jedoch zunächst nichts (!) miteinander zu tun haben, da völlig unterschiedliche Punkte der Weltlinien verbunden werden.

Rein messtechnisch und auch rechnerisch geht in das Integral und dessen Obergrenze ja bereits die eigene Eigenzeit ein. Die Messung der Eigenzeit für r ist also eine Voraussetzung für die Berechnung der Eigenzeit von s durch r u.u. Die Dopplerverschiebung liefert lediglich eine weitere Möglichkeit zur Messung, keine fundamentale Begründung.

DerDenkerundLenker · Anmeldungsdatum: 03.10.2025 Beiträge: 56

Von diesen Formeln verstehe ich leider nichts, da ich nur Leihe bin. gerne lasse ich mich auch aufklären und möchte kein Dunning kruger kandidat sein. Rumschwurbeln wäre mir ein Graus, den ich bin kein Esoteriker. Ich will höchstens ein bisschen philosophieren.

Also was bezweckte Einstein mit seinem Zwillingsparadoxon?

Und hat das Irgendwas zu tun mit dem Doppelspaltexperiment?

Das muss doch alles irgendwie zusammenhängen. grübelnd

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

DerDenkerundLenker · Anmeldungsdatum: 03.10.2025 Beiträge: 56

Jetzt wurde ja mein Post schon wieder gelöscht. Also so vergrault ihr Alle Interessenten an einer ehrlichen Diskussion.

Einfach ein lächerliches und dämliches Verhalten. Der Heisenberg soll ja laut Burkhard Heims Ehefrau in einem Nebenraum gesagt haben, "Den dürfen wir net hochkommen lassen!" über Burkhard Heim. Die gleichen Spielchen gehen also wohl auch hier ab und bestätigen alle negativen Vorurteile gegen die Wissenschaftskleriker.(Wissensvernichter!) böse

Heim hat sich später sogar über Heisenbergs Unschärferelation mockiert, dass diese das Problem nur äußerlich betrachten würde und den Kern des Problems völlig ignoriere.

DerDenkerundLenker · Anmeldungsdatum: 03.10.2025 Beiträge: 56

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Man kann die obige Berechnung auch für gekrümmte Raumzeiten d.h. für die ART verallgemeinern.

Dabei betrachtet man

entlang einer Geodäten C für eine spezielle Parametrisierung.

Für die Tangentenvektoren gilt im Falle einer lichtartigen Geodäten und den entstehenden Wellenvektoren

Außerdem gilt für beliebige Geodäten

mit der Länge der Geodäten

epsilon ist ein konstante Vorfaktor, in unserem Fall irrelevant, da für lichtartiges S ohnehin s=0 gilt.

Interessant ist nun die Variation von Omega bei Variation der Endpunkte von C – in unserem Fall Sender und Empfänger. Man erhält

Alles weitere funktioniert analog zu oben.

D.h. auch in der ART funktioniert die Berechnung der Eigenzeit des Senders als Funktion der Eigenzeit des Empfängers und der Rotverschiebung – unter der Voraussetzung glatter Weltlinien von Sender und Empfänger sowie der Existenz eindeutiger lichtartiger Geodäten zwischen beiden für die fraglichen Abschnitte der beiden Weltlinien. Problematisch wäre dies z.B. für Gravitationslinsen oder für pathologische Raumzeiten mit geschlossenen Weltlinien (keine eindeutige lichtartige Geodäte) oder für Schwarze Löcher (aufgrund des Horizontes keine lichtartige Geodäte vom Innen- in den Außenraum).

Einige Details siehe hier: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0403094

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

5com · Anmeldungsdatum: 27.12.2016 Beiträge: 46

Vielen Dank nochmals, TomS, für Deine außergewöhnliche Arbeit und die Einblicke, die Deine mathematischen Herleitungen ermöglichen.

Meinen ursprünglichen Gedanken, die Beschleunigung könne evtl. doch die primäre Ursache für Eigenzeit-Veränderungen sein, habe ich mittlerweile verworfen. Es ist offensichtlich, dass es sich anders verhält.

Was mich derzeit noch umtreibt, ist Folgendes:

Mit den einfachen Formeln zur Berechnung von

im Spezialfall des unbeschleunigten Beobachters 1 ergeben sich ja für

immer nur positive Werte (was ja auch absolut der Realität in diesem Spezialfall entspricht).

Wenn ich nun Formeln habe, die auch von einem beschleunigten Beobachter 1 angewendet werden können, dann müssen diese Formeln zwingend auch negative Ergebnisse für

zulassen, wenn sie die Realität korrekt abbilden.

Ich betrachte zunächst nur die Formeln für eine 2-dim. Raumzeit (aus dem Post von TomS vom 16. Okt 2025). Leider kann ich für mich den Beweis nicht führen, wo und wie hier der (stärker) beschleunigte Beobachter 1 zu seinem negativen Ergebnis für

kommt.

Es kann nicht allzu schwer sein, aber es gelingt mir dennoch nicht. Daher wäre ich für eine kleine Hilfe sehr dankbar.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Vom gemeinsamen Start am Raumzeitpunkt P mit

bis zum gemeinsamen Ziel am Raumzeitpunkt Q vergehen im allgemeinen unterschiedliche Eigenzeiten.

Dabei bezeichne ich o.b.d.A. den Beobachter mit der größeren Eigenzeit mit der Nummer 1, den anderen mit der Nummer 2.

Nun gibt es jedoch keine eindeutige oder physikalisch ausgezeichnete Vorschrift, zu welchen Raumzeitpunkten R_1 und R_2 auf den beiden Weltlinien die jeweiligen Eigenzeiten zu vergleichen sind.
1) Jeder der beiden Beobachter kann seine eigene momentane Gleichzeitigkeitsfläche verwendenden um seinen Raumzeitpunkt R_i einem Raumzeitpunkt R_k des jeweils anderen Beobachters zuzuordnen. (Das funktioniert wegen Rindler-Horizonten nicht immer)
2) Oder jeder der beiden Beobachter kann dies mittels des ihn gerade erreichenden Lichtsignals tun. (Das ist die oben genannte Vorgehensweise)
3) Oder man führt einen von P nach Q bewegten inertialen Beobachter ein und verwendet dessen Gleichzeitigkeitsflächen.
4) Oder …

Im Gegensatz zu (3) ist das Verfahren (1) im Allgemeinen und das Verfahren (2) sicher nicht symmetrisch. Ordnet 1 seinem Punkt R_1 den Punkt R_2 als Schnittpunkt seines Vergangenheitslichtkegels I_1(R_1) mit der Weltlinie C_2 zu, so ordnet 2 natürlich nicht seinem Punkt R_2 wieder den Punkt R_1 zu, sondern einen anderen Punkt R'_1 als Schnittpunkt seines Vergangenheitslichtkegels I_2(R_2) mit der Weltlinie C_1, wobei R'_1 in der Vergangenheit von R_1 liegt.

Für komplizierte Weltlinien können für die dazwischenliegenden Punkte positive oder negative Eigenzeit-Differenzen sowie Vorzeichenwechsel auftreten. Der Grund ist einfach: hat ein Beobachter zu einem Punktepaar R_1, R_2 für ein derartiges Verfahren eine größere Eigenzeit als der andere, so fügt man in seine Weltlinie zwei fast lichtartige Stücke hin und wieder zurück ein, so dass für ihn fast keine Eigenzeit vergeht, und somit überholt die Eigenzeit des anderen die seine; evtl. muss man dabei Q verschieben. Jedenfalls sind mit beliebigen zulässigen Weltlinien beliebig komplizierte Eigenzeitverläufe möglich.

5com · Anmeldungsdatum: 27.12.2016 Beiträge: 46

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Ach so meinst du das.

Betrachte Weltlinien mit stückweise, konstanten Geschwindigkeiten. Wenn sich beide voneinander entfernen (aufeinander zu bewegen), liegt Rotverschiebung (Blauverschiebung) vor.

Wenn sich beide vom Startpunkt aus voneinander entfernen und beim Zielpunkt wieder annähern, dann muss mindestens ein Wechsel stattfinden.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Ich habe das Problem nochmal numerisch betrachtet:

Ich definiere zwei Weltlinien mittels Integration über die Geschwindigkeiten, gegeben in einem Inertialsystem. Dann berechne ich die beiden Eigenzeiten als Funktion der Koordinatenzeit des Inertialsystems.

Daraus folgt die gesuchte Funktion der Eigenzeit des Senders als der des Empfängers auf zwei Weisen:
a) direkt durch Betrachtung der die beiden verbindenden Lichtstrahlen, wobei jeder Lichtstrahl ein eineindeutiges Paar von Eigenzeiten definiert
b) durch die Integration über den Dopplerfaktor

(b) entspräche der Messung der Frequenz beim Empfänger unter Voraussetzung der bekannten Sendefrequenz; (a) wäre z.B. dadurch zu realisieren, dass der Sender in jedem Lichtsignal die Eigenzeit zum Sendezeitpunkt mitschickt.

(a) und (b) liefern natürlich übereinstimmende Ergebnisse.