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Mahark
Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 18
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 Mahark Verfasst am: 22. Nov 2006 22:07 Titel: Zentralpotential einmal anders |
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Gegeben ist ein Zentralpotential der Form  = \frac{c}{r^{\alpha}}) .
Von diesem ist auserdem bekannt daß der Kreis mit dem Radius  um den Punkt ) eine mögliche Bahnkurve darstellt. Es soll  sowie die Energie und der Drehimpuls einer Masse  bestimmt werden.
Die Masse bewegt sich auf dieser speziellen Kreisbahn.
Ich habe das Kraftfeld  = - grad V(\vec{r})) berechnet und kamm auf  = \frac{\alpha c}{ r^{\alpha +1}} (Cos[\phi] \vec{e}_x + Sin[\phi] \vec{e}_y))
Nun habe ich es durch geteilt und 2x nach t integriert
 = \frac{\alpha c t^2}{ 2 m r^{\alpha +1}} (Cos[\phi] \vec{e}_x + Sin[\phi] \vec{e}_y))
Ich weiß nicht was ich mit dem  machen soll wenn es auch von  abhängt dann müsste die Integration ja anders ablaufen.
Vor allem ist meine Frage wie komme ich auf das ich vermute das  da das Gravitations-Potential bzw. das Coulomb-Potential ja auch mit  geht und Massen bzw. Ladungen in eine Kreisbahn zwingt.
Bitte um Hilfe ist sehr dringend |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Nov 2006 01:24 Titel: |
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Soll der Kreismittelpunkt der Koordinatenursprung sein?
Reicht es vielleicht, wenn du den Betrag der Kraft, die du erhältst, mit der Formel für die Zentripetalkraft vergleichst ? Denn du weißt ja (und darfst hier vielleicht als bekannt verwenden ?), dass die Zentripetalkraft diejenige Kraft ist, die für eine Kreisbewegung erforderlich ist. |
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Mahark
Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 18
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| Mahark Verfasst am: 23. Nov 2006 01:41 Titel: |
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Der Kreismittelpunkt kann der Koordinatenursprung sein.
ich bekomme da die Zeit rein, und kann ja nicht davon abhängig sein |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Nov 2006 01:57 Titel: |
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Ich glaube, der Betrag der Kraft, die du da berechnet hast, kann (vielleicht musst du dafür alpha passend wählen) zeitunabhängig sein, nur die Richtung ist immer zeitabhängig. Also so, woe man es von einer Zentripetalkraft erwarten würde.
Was meintest du mit dem Punkt ) ? In welchen Koordinaten soll diese Angabe gemeint sein? Oder war das vielleicht nur ein Tippfehler? |
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Mahark
Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 18
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| Mahark Verfasst am: 23. Nov 2006 02:09 Titel: |
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Diese Eigenschaften der Kraft hatte ich auch erwartet allerdings komme ich auf ^2 \alpha c t^2}{4}) ,
ich vermute da stimmt was nicht ich glaube nicht das ich auf den Logarithmus zur Basis r zurückgreifen muss.
Das mit  war mir auch nicht Eindeutig, aber ich setzte den Koordinatenursprung in den Kreismittelpunkt und rechne mit Polarkoordinaten. Wobei ich den Ansatz mit der Zentripetalkraft habe ich nicht vektoriel berechnet das sich alles auf  abspielt |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Nov 2006 08:22 Titel: Re: Zentralpotential einmal anders |
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Ich kann nicht so recht nachvollziehen, wie du das rechnest.
Kann es sein, dass du beim Integrieren der Beschleunigung nach der Zeit (ich schaue hier erstmal nur auf das, was du mit dem Radialanteil gemacht hast)
| Mahark hat Folgendes geschrieben: |
Nun habe ich es durch geteilt und 2x nach t integriert
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vergessen hast, dass das r im Nenner genauso von der Zeit abhängt? Du kannst hier also gar nicht so einfach, wie du das hier machst, zweimal nach der Zeit integrieren.
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Hast du hier nicht vielmehr eine Differentialgleichung
 = m\cdot \ddot{\vec r}= \frac{\alpha c}{ r^{\alpha +1}} \vec{e}_r=\frac{\alpha c}{ r^{\alpha +2}} \vec r )
die, wenn du sie löst, nur für ein bestimmtes alpha eine Kreisbahn als Lösung haben kann? |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 23. Nov 2006 20:05 Titel: |
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Ich habe mir mal erlaubt das Problem zu lösen, um das
Graue zwischen meinen Ohren ein wenig zu fordern.
Zunächst kann man sich ohne große Rechnerrei überlegen,
dass  gelten muss. Dazu schreibt
man den Energiesatz in Polarkoordinaten
\;-\;\frac{\gamma}{r^{\alpha}})
wobei das Kraftzentrum der Nullpunkt des Koordinatensystems ist.
Die Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeit kann gemäß
durch den konstanten Drehimpuls L und den Abstand r vom Kraftzentrum
ausgedrückt werden. Setzt man
so kann der Energiesatz in der Form
geschrieben werden. Damit das Teilchen bei nicht verschwindendem
Drehimpuls L durch das Kraftzentrum fliegen kann, muß die
Zentrifugalbarrie L^2/(2mr^2) durch das Potential des Kraftfeldes
kompensiert werden und das geht nur wenn .
Um ein passendes alpha zu finden, verschafft man sich die
Polarkoordinatendarstellung der gewünschten Bahn. Diese lautet:
\;=\;2R\cos\phi)
wobei R der Radius des gewünschten exzentrischen Kreises ist. Als
nächstes erinnert man sich an die Details der Berechnung der Kepler-
bahnen für das Gravitationspotential. Man formt den Energiesatz in
Polarkoordinaten um:
^2)
Am bequemsten geht die Rechnung, wenn man hier E=0 und  setzt.
Damit erhält man:
}\;=\;\frac{L}{mr^2}\frac{dr}{d\phi})
und daraus schließlich
})
Nun muß man sich nur noch überlegen, wie der Zusammenhang zwischen R und L ist,
damit die oben angegebene Polarkoordinatendarstellung diese Gleichung erfüllt.
Aber das soll Mahark nun selbst machen.
Gruß von Bruce |
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