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Nachricht |
Horst77
Gast
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 Horst77 Verfasst am: 14. März 2024 18:18 Titel: Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik |
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Meine Frage:
Hallo,
ich hätte hier mal eine Frage zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Und zwar: In der Thermodynamik hat der zweite Hauptsatz ja gewissermaßen einen gesetzescharakter. In der statistischen Mechanik sieht das ja schon etwas anders aus, hier heißt es, dass er im Mittel gilt.
Beispiel: es heißt oft, eine zerbrochene Kaffeetasse könnte sich theoretisch wieder von selbst zusammensetzten, nur sei dieser Zustand viel unwahrscheinlicher als der, indem die Tasse zerbrochen bleibt.
Meine Ideen:
Und genau dies verstehe ich nicht. Wenn die Tasse am Boden zerbricht, werden ja an der Bruchstelle die Molekülbindungen zerstört, die entsprechende Bruchenergie dissipiert in die Umgebung. Die Tasse ist unwiederbringlich zerstört; um sie zu reparieren, müsste ich Energie aufwenden. Wie kann man da behaupten, es gäbe eine Wahrscheinlichkeit, dass sich die Tasse theoretisch wieder zusammensetzt?
Danke für die Mithilfe! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 15. März 2024 01:02 Titel: Re: Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik |
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| Horst77 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die Tasse am Boden zerbricht, werden ja an der Bruchstelle die Molekülbindungen zerstört, die entsprechende Bruchenergie dissipiert in die Umgebung. |
Es spricht theoretisch nichts dagegen, dass die Energie zurück fließt und die Bindungen wieder hergestellt werden. Das ist nur so unwahrscheinlich, dass man es praktisch nie beobachten wird. |
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Horst77
Gast
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| Horst77 Verfasst am: 26. März 2024 15:49 Titel: |
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gutefrage.net/frage/kann-eine-tasse-sich-nach-dem-zerbrechen-selbst-wieder-zusammen-setzten
Hier heißt es, dass dies ein Fehlschluss innerhalb der statistischen Physik sei (muss man etwas runterscrollen, die Antworten von "Hamburger02"). Was stimmt denn nun wirklich? Ich dachte, es gäbe eigentlich Experimente mit sehr kleinen Systemen, bei denen man eine kurzfristige Senkung der Entropie als statistische Schwankung betrachten konnte ( im Mittel blieb sie gleich). Kann jemand Licht ins dunkle bringen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 26. März 2024 16:31 Titel: |
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DrStupid hat recht.
Und prinzipiell sollte eine derartige Wahrscheinlichkeit sogar mittels mikroskopischer Modelle – statistische Mechanik für Quantensysteme – berechenbar sein.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Horst77
Gast
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| Horst77 Verfasst am: 26. März 2024 19:41 Titel: |
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Aber mal doof gefragt: benötigt die statistische Mechanik nicht theoretisch auch ein thermisches Gleichgewicht? Kann sie überhaupt Systeme im Ungleichgewicht beschreiben? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 26. März 2024 20:50 Titel: |
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Bei genügend genauer Kenntnis benötigt man theoretisch nicht mal statistische Mechanik.
Wenn man derartige zeitlich rückwärts laufende Prozesse untersuchen will, darf man nicht von vornherein die Methoden so einschränken, dass sie die zu betrachtenden Effekte eliminieren; man muss m.E. abweichend vom Gleichgewicht arbeitet.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Horst77
Gast
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| Horst77 Verfasst am: 26. März 2024 21:00 Titel: |
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Ok, danke. Aber beschäftigt sich die stat. Mechanik auch mit Systemen außerhalb des thermischen Gleichgewichts?
Eine andere Frage hätte ich auch noch: Wie interpretierst du die Entropie als Größe? Teils wird sie ja als Maß für "Unordnung " erklärt, in anderen Ansätzen als Maß für Unkenntnis über den Mikrozustand (wobei mir dies irgendwie sehr subjektiv vorkommt). Wie siehst du das? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 26. März 2024 22:28 Titel: |
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| Horst77 hat Folgendes geschrieben: | | Aber beschäftigt sich die stat. Mechanik auch mit Systemen außerhalb des thermischen Gleichgewichts? |
Ja, die statistische Mechanik wird auch in der Nicht-Gleichgewichts-Thermodynamik verwendet.
| Horst77 hat Folgendes geschrieben: | | Eine andere Frage hätte ich auch noch: Wie interpretierst du die Entropie als Größe? Teils wird sie ja als Maß für "Unordnung " erklärt, in anderen Ansätzen als Maß für Unkenntnis über den Mikrozustand (wobei mir dies irgendwie sehr subjektiv vorkommt). |
Die Entrope als maß für die Unrdnung ist vor allem in der Populärwissenschaft sehr beliebt, weil sich jeder etwas unter Unordnung vorstellen kann. Das Maß für Unkenntnis über den Mikrozustand passt aber besser. Eigentlich handelt es sich um ein Maß für die Anzahl der Mikrozustände eines Makrozustandes. Wenn man nur den Makrozustand kennt dann ist das aber gleichzeitig auch ein Maß für die Unkenntnis des Mikrozustandes.
Wenn der Makrozustand nur einen Mikrozustand hat (z.B. bei einem idealen Kristall am absoluten Nullpunkt), dann ist mit der Kenntnis des Makrozustandes auch der Mikrozustand bekannt. Es gibt hier keine Unkenntnis und die Entrope ist Null. Schon bei zwei Mikrozuständen hat man nur noch eine 50%ige Chance den Mikrozustand richtig zu erraten. Die Unkenntnis hat also zugenommen und sie steigt mit jedem weiteren Mikrozustand weiter an. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 26. März 2024 23:25 Titel: |
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| Horst77 hat Folgendes geschrieben: | | Wie interpretierst du die Entropie als Größe? |
Betrachten wir die von-Neumann-Entropie in der Quantenmechanik.
Einem einzelnen reinen *) Quantenzustand kommt exakt die Entropie Null zu (s.o. DrStupid).
Liegt dagegen ein statistisches Gemisch **) mehrerer reiner Zustände nummeriert mit n vor, wovon jeder mit einer klassischen Wahrscheinlichkeit p_n beiträgt, so lautet die Entropie
d.h. es handelt sich für die möglichen Zuständen, in denen sich das System befinden kann ***) um ein Maß für das Auftreten dieser Zustände ****) (s.o. DrStupid).
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt natürlich
Der Fall eines reinen Zustandes folgt im Grenzfall, dass nur ein Zustand mit Wahrscheinlichkeit p=1 beiträgt; die Berechnung des Grenzwertes kann etwas komplizierter sein.
Wenn ein Quantensystem schwach an ein Wärmebad gekoppelt ist, kann man diesem System ein kanonisches Ensemble zuordnen; damit entspricht die von-Neumann-Entropie des thermischen Quantenzustandes der klassischen Gibbs-Entropie *****)
Bei der von-Neumann-Entropie handelt es sich also um einen allgemeineren Entropiebegriff, der zunächst keinen Temperaturbegriff und kein thermisches Gleichgewicht voraussetzt, jedoch auf diese Spezialfälle anwendbar ist.
*) "rein" schließt dabei beliebige quantenmechanische Superpositionen
**) repräsentiert als sogenannter Dichteoperator
***) die "möglichen Zustände" sind dabei wegen des Superpositionsprinzips nicht so festgelegt wie man das klassisch erwartet; für eine "Quantenmünze" mit Kopf und Zahl kann für ein und dasselbe System sowohl nach deren Auftreten fragen, als auch nach dem von Superposition
wobei die von-Neumann-Entropie so definiert ist, dass sie unabhängig von dieser Wahl der Zustände ist, bzgl. derer man die Entropie berechnet.
****) betrachtet man die Funktion
 = - p \, \ln p )
für
so erkennt man, dass
 = f(1) = 0)
gilt. f(1) = 0 für p=1 besagt, dass ein Zustand, der sicher vorliegt, nichts zu einer Unsicherheit oder Unkenntnis beiträgt; umgekehrt besagt f(0) = 0 für p=0, dass ein Zustand, der sicher nicht vorliegt, ebenfalls nichts beiträgt.
*****) d.h. man kann zeigen, dass für ein System mit Hamiltonoperator H und dessen Energie-Eigenwerten sowie mittels der Zustandssumme Z in einem thermischen Zustand
 = \text{tr} \, e^{-\beta H} = \sum_n e^{-\beta E_n} )
und Dichteoperator rho
 = Z^{-1} \, e^{-\beta H})
für die Entropie S sowohl die o.g. Form
 = - \text{tr} \, \rho \, \ln\rho = -\sum_n p_n \, \ln p_n )
mit den Wahrscheinlichkeiten
 = Z^{-1} \, e^{-\beta E_n})
als auch der bekannte Zusammengang
 = \beta \frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z - \ln Z) .
für ein Gibbs-Ensemble folgt.
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