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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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 Sirius02 Verfasst am: 26. Okt 2023 21:57 Titel: Raketenstart |
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Meine Frage:
Beim Start einer Rakete wird diese durch den Rückstoß des von ihr ausgestoßenen Materials beschleunigt. Dabei nimmt die Masse m der Rakete kontinuierlich ab. Nehmen Sie im Folgenden an, dass die Rakete im homogenen Gravitationsfeld senkrecht nach oben beschleunigt wird. Im Bezugssystem der Rakete wird der verbrannte Treibstoff mit der konstanten Geschwindigkeit
?v0 ? 0 nach unten ausgestoßen. Vernachlässigen Sie jeglichen Effekt von Reibung in dieser Aufgabe.
e) Wie schnell würde eine Rakete, die ihr gesamtes Gewicht als Treibstoff abstoßen könnte? Ist das Ergebnis physikalisch sinnvoll? Woran liegt das?
f) Ist der Treibstoff aufgebraucht, wird die Rakete nicht weiter nach oben beschleunigt, gehorcht nach wie vor ihrer Trägheit. Wie hoch steigt die Rakete ab dem Zeitpunkt, zu dem ihr Treibstoff aufgebraucht ist?
g) Wieder ohne Reibung: Bei einer Wasserrakete (bestehend aus einer PET-Flasche, die durch
Druckluft und Wasser angetrieben wird) können etwa vier Fünftel des Anfangsgewichts als
Treibstoff verwendet werden, und die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers ist ungefähr 25 m s?1
.
Gehen Sie davon aus, dass die Rakete das Wasser innerhalb einer halben Sekunde nach dem
Start mit einer konstanten Rate ausstößt. Wie hoch und wie schnell ist die Rakete nach der ersten
halben Sekunde? Wie hoch steigt die Rakete insgesamt, bevor sie auf den Boden zurückfällt?
Trauen Sie diesem Ergebnis?
Meine Ideen:
zu e) wenn sich die gesamte Masse in Treibstoff verwandeln würde , würde die rakete keine Masse mehr haben und mit einer unendlichen Geschwindigkeit beschleunigt werden, was physikalisch nicht sinnvoll ist. Das leigt daran, dass die beschleunigung einer Rakete im wesentlciehn durch die Änderung des Impuls aufgrund des Rückstoßes des ausgestoßenen Treibstoffs bestimmt wird (impulserhaltungsgesetz). Reicht diese erklärung?
f)Sobald der Treibstoff aufgebraucht ist, wird die rakete nicht mehr beschleunigt, behält jedoch ihre Bwewegung aufgrund des Impulserhaltungsgesetz bei. Die RAkete wird weiterhin nach oben steigen, solange, bis die Schwerkraft ihre Geschwindigkeit volllständig verlangsamt und sie schließlich stoppt,
Höhe, die die rakete nach dem Verbrauch ihres Treibstoffes erreicht: + v(te)\cdot (t-te)-\frac{1}{2} g\cdot (t-te)^2 )
stimmt das?
zu g fehlt mir noch ein bisschen der ansatz
Iwie bin ich verwirrt bei der g. Brauche ich da auch Differentialgleichungen?
Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Okt 2023 09:51 Titel: |
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zu e) Da die Impulsänderung = Schubkraft F_s eine Masse m = 0 auf v =  beschleunigt.
zu f) Senkrechter Wurf
 + v(te)\cdot t - \frac{1}{2} \cdot g\cdot t^{2} )
Die maximale Höhe ist erreicht, wenn v = 0 ist:
 = v(te) - g\cdot t = 0 )
}{g} )
 + \frac{v^{2}(te) }{2\cdot g} )
zu g) Muss ich noch prüfen, ob die Angaben ausreichen.
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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| Sirius02 Verfasst am: 27. Okt 2023 12:06 Titel: |
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Danke! Warum muss man nicht die Differenz von t und te nehmen?
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Okt 2023 13:06 Titel: |
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| Sirius02 hat Folgendes geschrieben: | | Danke! Warum muss man nicht die Differenz von t und te nehmen? |
Weil die Frage lautet, wie hoch die Rakete nach Brennschluss steigt. Die Zeit te bis Brennschluss ist somit irrelevant.
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Hypertron
Anmeldungsdatum: 16.07.2023
Beiträge: 17
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| Hypertron Verfasst am: 27. Okt 2023 14:40 Titel: |
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@Sirius02:
| Sirius02 hat Folgendes geschrieben: | | ... diese habe einen ganz anderen Ansatz gewählt. Also eigentlich ist der Ansatz ja der selbe ... |
Wie denn nun? 
| Sirius02 hat Folgendes geschrieben: | Aber ab der 3 Zeile kann uch deren Ansath auch nicht mehr nachvollziehen  |
Die 3. Zeile entspricht der Standard-Formel für die Geschwindigkeit beim senkrechten Wurf. Diese wird gleich Null gesetzt, weil die Geschwindigkeit am höchsten Punkt Null ist. Anschliessend wird die Gleichung nach t_x (d.h. der Zeit vom Brennschluss bis zum Erreichen des höchsten Punkts) aufgelöst. Das entspricht den v(t)=- und t=-Zeilen bei Mathefix.
Die 4. Zeile entspricht der Standard-Formel für den Weg beim senkrechten Wurf, wobei für t der in der 3. Zeile ermittelte Ausdruck verwendet wird. Das Resultat entspricht dem zweiten Summanden in der h_max=-Zeile von Mathefix.
Die 5. Zeile ergibt m.E. keinen Sinn. Man hätte an dieser Stelle in das Resultat der 4. Zeile für v_e den entsprechenden Ausdruck einsetzen können, aber das ist nicht das, was da steht.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 28. Okt 2023 14:04 Titel: |
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zu g)
Gegeben
t_1 = 0,5 s Zeit bis Abheben
t_2 = 0,5 s
v_T = Ausstossgeschwindigkeit Treibstoff (Wasser)
m_T = Masse Treibstoff = 4/5 m_0
m_R = 1/5 m_0
Gesucht
v(t2), h(t2), H = gesamte Steighöhe
Geschwindigkeit
 = v_T\cdot \ln \left(\frac{m_o}{ m_0-\dot{m} \cdot t}\right ) - g \cdot t)
Beschleunigung
 = \frac{\dot{m} }{m_0-\dot{m}\cdot t} \cdot v_T - g)
Die Rakete hebt ab, wenn nach t_1= 0,5 s a(t) = 0
Geschwindigkeit nach t_2 = 0,5 s
 = v_T\cdot \ln(\frac{1}{1-\frac{t_2}{t_1+\frac{v_T}{g} } } ) - g\cdot t_2)
Höhe nach t_2
 = \int_0^{t2} \!v(t)\cdot \dd t = \int_0^{t2} ( v_T\cdot \ln(\frac{1}{1-\frac{t}{t_1+\frac{v_T}{g} } } ) - g\cdot t) \cdot \dd t)
Standard Integral kannst Du selber lösen
Gesamte Steighöhe
H = h(t3) + hs
hs = Höhe senkrechter Wurf nach h(t3)
t3 = Zeit bis Brennschluss
Masse Treibstoff zum Zeitpunkt t1
= \frac{4}{5} \cdot m_0 - \dot{m} \cdot t_1)
Masse der Rakete bei Abheben zum Zeitpunkt t1 (ein Teil der Brennstofmasse ist verbraucht)
 = m_0 - \dot{m}\cdot t_1 )
Geschwindigkeit ab t1
 = v_T\cdot \ln \left(\frac{m_o(t1)}{ m_0(t1)-\dot{m} \cdot t}\right ) - g \cdot t)
[latex]]h(t_3) = \int_0^{t23} \!v(t)\cdot \dd t
Standard Integral kannst Du selber lösen
Senkrechter Wurf
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 28. Okt 2023 18:53, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 28. Okt 2023 15:18 Titel: |
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Ich denke, die Rakete sollte bei g) von Beginn weg abheben, denn die Schubkraft ist einiges grösser als die Gewichtskraft:
(mit t1=0.5s). Anzumerken ist, dass bei den bisherigen Rechnungen jeweils von einer konstanten Erdbeschleunigung ausgegangen wurde, was bei grösseren Höhen nicht mehr zutrifft.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 28. Okt 2023 15:25 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Ich denke, die Rakete sollte bei g) von Beginn weg abheben, denn die Schubkraft ist einiges grösser als die Gewichtskraft:
(mit t1=0.5s). Anzumerken ist, dass bei den bisherigen Rechnungen jeweils von einer konstanten Erdbeschleunigung ausgegangen wurde, was bei grösseren Höhen nicht mehr zutrifft. |
Zitat
Gehen Sie davon aus, dass die Rakete das Wasser innerhalb einer halben Sekunde nach dem Start mit einer konstanten Rate ausstößt.
Zitat Ende
Ich habe es so verstanden, dass die Rakete t_1 = 0,5 s bis zum Abheben benötigt, denn sonst ist m.E. dise Angabe unnötig. Im übrigen ist die Masse unbekannt.
Ändert aber am Prinzip der Berechnungen nichts.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 28. Okt 2023 16:00 Titel: |
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Die Geschwindigkeit der Rakete nach 0.5s und die erreichte Höhe sind unabhängig von der Startmasse m0. Die Angabe von 0.5s ist jedoch relevant, denn sie legt den Ausstoss pro Zeit fest.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
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| Mathefix Verfasst am: 29. Okt 2023 18:39 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Ich denke, die Rakete sollte bei g) von Beginn weg abheben, denn die Schubkraft ist einiges grösser als die Gewichtskraft:
(mit t1=0.5s). |
Ich glaube, das trifft nicht ohne Weiteres zu. Es hängt von den angegebenen Parametern ab.
Die Zeit, bis eine vertikal startende Rakete abhebt, beträgt
mit A=Austrittsquerschnitts des Massenstroms.
Bei einem Raketenstart kann man beobachten, dass die Rakete mit Verzögerung nach der Zündung abhebt.
Die Rakete hebt sofort ab bei
v_T entsteht quasi instantan bei Zündung des Treibstoffs.
PS
Streng genommen ist bei der Aufgabe zu beachten, das v_T und damit der Massenstrom nicht konstant ist, da der treibende Luftdruck in der Flasche sinkt.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 29. Okt 2023 21:07 Titel: |
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So wie ich den Aufgabentext verstanden habe, wird der "Treibstoff" (Wasser), 4/5 von m0, mit 25m/s innert 0.5s ausgestossen. Dann beträgt die Schubkraft zu Beginn das Vierfache der Gewichtskraft, unabhängig von der Dichte des Treibstoffs. Das hängt natürlich mit der speziellen Aufgabenstellung zusammen.
Bei einer PET-Flasche würde ich auch keine grosse Verzögerung erwarten, da geht ziemlich die Post ab:
https://www.youtube.com/watch?v=fAPsTpK2T50
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 30. Okt 2023 12:57 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | So wie ich den Aufgabentext verstanden habe, wird der "Treibstoff" (Wasser), 4/5 von m0, mit 25m/s innert 0.5s ausgestossen. Dann beträgt die Schubkraft zu Beginn das Vierfache der Gewichtskraft, unabhängig von der Dichte des Treibstoffs. Das hängt natürlich mit der speziellen Aufgabenstellung zusammen.
Bei einer PET-Flasche würde ich auch keine grosse Verzögerung erwarten, da geht ziemlich die Post ab:
https://www.youtube.com/watch?v=fAPsTpK2T50 |
Mit den Daten aus der Aufgabenstellung hebt die Rakete instantan ab. Die Grenzgeschwindigkei für eine 1,5 l PET Flasche beträgt grob gerechnet ca. 5,6 m/s < 25 m/s.
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