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Ritter-Toby
Anmeldungsdatum: 26.10.2019
Beiträge: 7
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 Ritter-Toby Verfasst am: 26. Okt 2019 15:10 Titel: Raketenstart |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich hab gerade Probleme mit einer Aufgabe auf meinem Übungsblatt und wäre deswegen für Hilfe dankbar. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Eine Rakete mit anfänglicher Masse M0 stößt ihren verbrannten Treibstoff mit einer konstanten Rate  =  und mit einer Geschwindigkeit V0 relativ zu Rakete aus.
(a) Berechnen Sie die anfängliche Beschleunigung a der Rakete unter Vernachlässigung der Gravitation
(b) Wenn V0 = 2 km/s gilt, wie groß  muss dann sein, um einen Schub von 9,81 × 10^5 N zu entwickeln?
(c) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf, welche die Geschwindigkeit der Rakete v mit ihrer noch verbleibenden Masse M verbindet.
Meine Ideen:
Zur a) hab ich mir gedacht ich weiß, dass F= und p= m*v. Wenn ich jetzt das p in die Formel für F einsetze, erhalte ich aufgrund der Kettenregel:
*v0=m*a und umgeformt a=(*v0)/M0
Bei der b) setze ich dann ein und forme um und bekomme =490,5
Und das größte Problem ist c), da wir (bis auf a= = ) noch keine Differentialgleichungen aufgestellt und bestimmt haben. Deswegen sind meine Vermutungen auch begrenzt. Ich glaube, dass ich einen ähnlichen Ansatz wie bei a) verfolgen muss, nur mehr weiß ich leider nicht.
Liebe Grüße Ritter-Toby
Zuletzt bearbeitet von Ritter-Toby am 27. Okt 2019 13:54, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Okt 2019 12:04 Titel: |
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Bilanz Impulsänderung
Impulsänderung der Rakete = Impulsänderung durch Massenverlust + Impulsänderung durch ausgestossenen Treibstoff
 = dm\cdot v+ dm\cdot v_0)
 -dm\cdot (v- v_0) = 0)
 = m_0 - \dot{m} \cdot t )
 = -v_0\cdot \frac{\dot{m} }{m_0} )
zu b) Welche Grösse ist gefragt? Was ist ein Schub von 9,81 x 105 N?
zu c)
 = ?) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 27. Okt 2019 13:35 Titel: |
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Nur ein Hinweis, da es bei der Herleitung der Raketengleichung immer wieder zu Vorzeichenproblemen oder zumindest Inkonsistenzen bei der Notation kommt, die Verwirrung hervorrufen können:
Hier ist z.B. in den ersten 5 Gleichungen  die zeitliche Ableitung von m und damit  . Konsequenterweise gilt dann =m(0)+\dot{m}t) .
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
In dieser Gleichung und den folgenden ist hingegen offensichtlich  und damit mit sozusagen symbolisch die pro Zeit ausgestossene Triebstoffmasse gemeint. Wahrscheinlich wäre es besser, hier dafür eine andere Bezeichnung zu benutzen (wie z.B. im Aufgabentext). |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 27. Okt 2019 13:42 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
Die Geschwindigkeit des Treibstoffs ist die Summe aus v und vo. Damit kommt am Ende auch das richtige Vorzeichen für die Beschleunigung raus.
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | zu b) Welche Grösse ist gefragt? |
Nach dem Kontext zu urteilen kann das nur sein.
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Was ist ein Schub von 9,81 x 105 N? |
Nach meiner Rechnung 1030,05 N. |
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Ritter-Toby
Anmeldungsdatum: 26.10.2019
Beiträge: 7
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| Ritter-Toby Verfasst am: 27. Okt 2019 13:58 Titel: Unklarheiten in der Frage |
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Ja, da ist mir ein Fehler passiert. Ich habe die Frage angepasst. Ich kann aber leider erst richtig auf die Hilfe antworten, wenn ich heute Abend nach Hause komme. Aber schon mal danke bis dahin mach ich mir mal ein paar Gedanken. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Okt 2019 14:13 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
In dieser Gleichung und den folgenden ist hingegen offensichtlich und damit mit sozusagen symbolisch die pro Zeit ausgestossene Triebstoffmasse gemeint. Wahrscheinlich wäre es besser, hier dafür eine andere Bezeichnung zu benutzen (wie z.B. im Aufgabentext). |
Ich habe ganz bewusst nicht gesetzt, da bei der Herleitung der Geschwindigkeit  benötigt wird. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Okt 2019 14:42 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
Die Geschwindigkeit des Treibstoffs ist die Summe aus v und vo. Damit kommt am Ende auch das richtige Vorzeichen für die Beschleunigung raus. |
Das (-) Vorzeichen ist richtig. v wird positiv. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 27. Okt 2019 15:29 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Das (-) Vorzeichen ist richtig. v wird positiv. |
Es spielt keine Rolle, ob v positiv oder negativ ist oder ob es überhaupt ein Vorzeichen besitzt (immerhin ist die Geschwindigkeit ein Vektor). Die Relativgeschwindigkeit vo des Treibstoffs gegenüber der Rakete ist die Differenz aus der Geschwindigkeit des Treibstoffs und der der Rakete. Folglich musst Du die Relativgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit der Rakete addieren um die Geschwindigkeit des Treibstoffs zu erhalten. Wenn Du sie stattdessen subtrahierst, dann kommt für die Rakete am Ende eine Beschleunigung raus, die in Richtung von vo wirkt, was natürlich Unsinn ist. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Okt 2019 17:57 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Das (-) Vorzeichen ist richtig. v wird positiv. |
Es spielt keine Rolle, ob v positiv oder negativ ist oder ob es überhaupt ein Vorzeichen besitzt (immerhin ist die Geschwindigkeit ein Vektor). Die Relativgeschwindigkeit vo des Treibstoffs gegenüber der Rakete ist die Differenz aus der Geschwindigkeit des Treibstoffs und der der Rakete. Folglich musst Du die Relativgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit der Rakete addieren um die Geschwindigkeit des Treibstoffs zu erhalten. Wenn Du sie stattdessen subtrahierst, dann kommt für die Rakete am Ende eine Beschleunigung raus, die in Richtung von vo wirkt, was natürlich Unsinn ist. |
 -\ln(m_0))= +v_0\cdot(\ln(m_0) -\ln(m_t)))
 ) |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 27. Okt 2019 18:07 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
Ja, genau das meine ich. Nach Deiner Rechnung fliegt die Rakete rückwärts. |
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Ritter-Toby
Anmeldungsdatum: 26.10.2019
Beiträge: 7
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| Ritter-Toby Verfasst am: 27. Okt 2019 20:02 Titel: |
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Da die Lösung abgesehen von der b) schon da steht, werde ich die Vorgehensweise zumindest nochmal beschreiben, um zu überprüfen, ob ich es verstanden habe.
Also bei der a) verwende ich, dass die Impulsänderung der Rakete die Summe aus Impulsänderung der Raketenmasse und des ausgestoßenen Treibstoffes ist. Nach Substraktion von ) erhalte ich:
 -dm\cdot (v+v_0) = 0)
Mathefix erhält aber:
 -dm\cdot (v-v_0) = 0)
wobei ich mir nicht sicher bin woher das  kommt.
Wenn ich nun die identischen Umformungen durchführe, komme ich am Ende unter der Prämisse, dass =m_{0}-\dot{m}t ) (Also dass die Masse in Abhängigkeit der Zeit die Anfangsmasse der Raktete minus dem Verlust durch Treibstoffausstoß pro Zeit ist) auf:
Wobei  ist(?)
Wie bei meiner ersten Frage komme ich dann durch Auflösung nach Gamma auf den Wert
Bei der c) muss ich nur, um die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Masse zu erhalten "meine" Formel aus a) nach der Masse integrieren und erhalte aufgrund der Integrationsregeln für den ln:
 )
Bitte um Anregungen falls irgendwo etwas falsch ist.
Liebe Grüße |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 27. Okt 2019 20:12 Titel: |
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Bei
und
sind die Vorzeichen falsch. Sonst sieht alles gut aus. |
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Ritter-Toby
Anmeldungsdatum: 26.10.2019
Beiträge: 7
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| Ritter-Toby Verfasst am: 27. Okt 2019 20:20 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Bei
und
sind die Vorzeichen falsch. Sonst sieht alles gut aus. |
Ach ich hab beim Integral ein Minus vor  zu viel oder? Das hab ich vergessen zu streichen und würde bei der Masseformel
=m_{0}-{\Gamma}t )
stimmen? |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 27. Okt 2019 21:58 Titel: |
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| Ritter-Toby hat Folgendes geschrieben: | erhalte ich:
Mathefix erhält aber:
wobei ich mir nicht sicher bin woher das kommt.
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1) Impulsänderung der Rakete relativ zum Beobachter:
)
2) Impulsänderung der Treibstoffmasse relativ zur Rakete:
)
..relativ zum Beobachter:
)
Impulsänderung im Beobachtersystem:
(im Erdfeld:  )
| Ritter-Toby hat Folgendes geschrieben: | Wenn ich nun die identischen Umformungen durchführe, komme ich am Ende unter der Prämisse, dass (Also dass die Masse in Abhängigkeit der Zeit die Anfangsmasse der Raktete minus dem Verlust durch Treibstoffausstoß pro Zeit ist) auf:
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Das folgt aus:
+m_0) |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 27. Okt 2019 22:41 Titel: |
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| Ritter-Toby hat Folgendes geschrieben: | Ach ich hab beim Integral ein Minus vor zu viel oder? Das hab ich vergessen zu streichen und würde bei der Masseformel
stimmen? |
Ja, dann ist alles richtig. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 27. Okt 2019 23:01 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | 2) Impulsänderung der Treibstoffmasse relativ zur Rakete:
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Das kann ich nachvollziehen (wenn ich davon ausgehe, dass Du mit "relativ zur Rakete" "in einem tangential mit der Rakete bewegten Inertialsystem" meinst), aber nicht das:
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | ..relativ zum Beobachter:
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Die Galilei-Transformation der Geschwindigkeit vo aus dem gegen gegenüber dem Beobachter mit der Geschwindigkeit v bewegten Inertialsystem in ein mit dem Beobachter ruhendes Inertialsystem führt zu
Dementsprechend gilt für die Impulsänderung
Wie wird bei Dir aus -dm·vo plötzlich +dm·vo? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 27. Okt 2019 23:12 Titel: |
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Im System der Rakete hat der ausgestossene Treibstoff die Geschwindigkeit -v0 (die Geschwindigkeiten sind hier keine Vektoren). Für einen aussenstehenden Beobachter hat der Treibstoff die Geschwindigkeit v-v0. Der Impuls des ausgestossenen Treibstoffs ist ) , das Minuszeichen kommt daher, da dm<0. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 28. Okt 2019 18:13 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Im System der Rakete hat der ausgestossene Treibstoff die Geschwindigkeit -v0 |
Das entspricht nicht der Aufgabenstellung die wir hier diskutieren. Dort steht, dass der Treibstoff "mit einer Geschwindigkeit V0 relativ zu Rakete" ausgestoßen wird. |
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Ritter-Toby
Anmeldungsdatum: 26.10.2019
Beiträge: 7
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| Ritter-Toby Verfasst am: 28. Okt 2019 21:40 Titel: |
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Schon mal danke für die Antworten. Jedoch bin ich mir nicht sicher, was nun die richtige Lösung ist un ob  ist. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 28. Okt 2019 21:50 Titel: |
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| Ritter-Toby hat Folgendes geschrieben: | | Schon mal danke für die Antworten. Jedoch bin ich mir nicht sicher, was nun die richtige Lösung ist un ob ist. |
Du hast die Lösungen doch schon hingeschrieben und mit der Korrektur der Vorzeichen sind die auch alle richtig. Dass ist, steht im Übrigen bereits in der Aufgabenstellung. |
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Ritter-Toby
Anmeldungsdatum: 26.10.2019
Beiträge: 7
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| Ritter-Toby Verfasst am: 28. Okt 2019 22:13 Titel: |
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Ja, nur die Diskussion unter meiner Frage hat mich verunsichert. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 28. Okt 2019 22:39 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: | | Im System der Rakete hat der ausgestossene Treibstoff die Geschwindigkeit -v0 |
Das entspricht nicht der Aufgabenstellung die wir hier diskutieren. Dort steht, dass der Treibstoff "mit einer Geschwindigkeit V0 relativ zu Rakete" ausgestoßen wird. |
Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst. Wenn die Richtung, in welche die Rakete beschleunigt wird, als „positiv“ gerechnet wird, dann wird der Treibstoff in „negative“ Richtung ausgestossen. Also hat der Treibstoff im System der Rakete die Geschwindigkeit -v0 (falls v0>0), für einen aussenstehenden Beobachter die Geschwindigkeit v-v0. Man kann natürlich annehmen, dass v0<0 festgelegt ist, dann ist die Geschwindigkeit eben v+v0, aber das ändert grundsätzlich nichts. Siehe auch Demtröder Bd. 1, Tipler oder hier. Gewiss möchte ich aber nicht streiten wegen dieses v0 und seines Vorzeichens! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 29. Okt 2019 18:42 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst. |
"Im System der Rakete" und "relativ zu Rakete" ist dasselbe. Wenn also vorgegeben ist, dass der Treibstoff die Geschwindigkeit V0 relativ zu Rakete hat, dann ist das die Geschwindigkeit des Treibstoffs im System der Rakete. Wenn Du etwas anderes festlegst, dann sprichst Du nicht mehr über die gleiche Aufgabe.
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die Richtung, in welche die Rakete beschleunigt wird, als „positiv“ gerechnet wird, dann wird der Treibstoff in „negative“ Richtung ausgestossen. |
Richtig. In diesem Fall wäre also V0<0.
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Also hat der Treibstoff im System der Rakete die Geschwindigkeit -v0 (falls v0>0) |
Falsch. Der Treibstoff hat im System der Rakete die Geschwindigkeit V0. Das ist in der Aufgabe so festgelegt. Man kann hier nicht einfach mit -V0 anstelle von V0 rechnen.
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Man kann natürlich annehmen, dass v0<0 festgelegt ist, dann ist die Geschwindigkeit eben v+v0, aber das ändert grundsätzlich nichts. |
Richtig. Die Geschwindigkeit des Treibstoffs im System der Rakete bleibt immer V0 und im System des Beobachters wird daraus gemäß Galilei-Transformation immer v + V0.
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Gewiss möchte ich aber nicht streiten wegen dieses v0 und seines Vorzeichens! |
Ich streite auch nicht über das Vorzeichen von V0. Das ist völlig egal solange man richtig damit rechnet und genau da liegt das Problem. |
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