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Naddi
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 Naddi Verfasst am: 02. Jan 2019 10:04 Titel: Raketenstart |
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Meine Frage:
Wir wollen einen Forschungssatelliten der Masse mS mit einer Rakete in den Weltraum befördern.Wir nehmen als Brennstoff Wasserstoff mit einem Energiegehalt von 141,8 MJ/kg an.Weitere Annahmen sollen sein, dass wir Reibung in der Atmosphäre vernachlässigen und
der Treibstoff vollständig und instantan in kinetische Energie verwandelt wird. Außerdem ignorieren wir, dass wir eigentlich noch ein Oxidationsmittel bräuchten.
a) Wieviel Energie braucht man mindestens, damit die Nutzlast dem Gravitationsfeld der Erde entkommen kann? Auf welche Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) muss man die Nutzlast beschleunigen?
(b) Berechnen Sie jetzt unter der Annahme dass die gesamte Masse der Rakete (also inkl. der Brennstoffmenge mB) dem Gravitationsfeld entkommen soll die benötigte Energie.
Berechnen Sie die Brennsto menge bei mS = 100 kg. Könnte sich auch Benzin
(Brennwert 43MJ/kg) als Brennstoff eignen?
(c) Warum be nden sich die meisten Startrampen für Raumraketen in Äquatornähe?
Schätzen Sie die Energieersparnis ab, die ein Raketenstart in Kurou (5°10' N am Äquator) gegenüber einem Raketenstart in Darmstadt (Sitz des ESA Operation Center;
49°52' N) hat. Vernachlässigen Sie dabei die Abplattung der Erde und Variationen in der Erdgravitation. (Verwenden Sie hierfür mS aus Aufgabenteil b).
(d) Vergleichen Sie die potentielle Energie des Satelliten auf der Erdoberfläche mit der potentiellen Energie durch die Schwerkraft der Sonne auf der Erdumlaufbahn. Was bedeutet dies fürr interstellare Raumfahrt?
Weitere Angaben:
Gravitationskonstante: G = 6,673 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2
Erdradius: RE = 6378km
Erdmasse: ME = 5,974 10^24 kg
Sonnenmasse: MS = 1,989 10^30 kg
Mittlerer Abstand Erde-Sonne: RES = 149,6 10^6 km
Meine Ideen:
bei der Aufgabe komme ich über Integration auf
Epot= G*ME*Ms*1/r
und durch Epot=Ekin auf eine Geschwindigkeit von v=wurzel(2*G*ME/RE) = 11,18 km/s
b) dort bin ich mir nicht sicher wie ich denn die Brennstoffmenge mit einbeziehen soll, da ich durch einsetzen in die Formel von Epot mit Ms=100kg nur auf eine Brennstoffmenge von 44,08kg komme und für Benzin auf 145,36kg.
c) dort habe ich mit der Ellipsenförmigkeit der Erde argumentiert und das sich die höhere Geschwindigkeit der Erdrotation zu nutze gemacht wird. Aber wie berechne ich die Energieersparnis? In dem ich Epot vom Äquator mit Epot von dem anderen Standpunkt vergleiche? oder in dem ich die Rotationsenergie berechne?
d) dort habe ich überhaupt keinen Ansatz
Danke schonmal für jegliche Hilfe |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 02. Jan 2019 21:09 Titel: Re: Raketenstart |
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| Naddi hat Folgendes geschrieben: | bei der Aufgabe komme ich über Integration auf
Epot= G*ME*Ms*1/r
und durch Epot=Ekin auf eine Geschwindigkeit von v=wurzel(2*G*ME/RE) = 11,18 km/s |
Das ist richtig. Wobei Epot in diesem Fall nicht die potentielle Energie, sondern die Zunahme der potentiellen Energie bis zum Verlassen des Gravitationsfeldes wäre.
| Zitat: | | b) dort bin ich mir nicht sicher wie ich denn die Brennstoffmenge mit einbeziehen soll, da ich durch einsetzen in die Formel von Epot mit Ms=100kg nur auf eine Brennstoffmenge von 44,08kg komme und für Benzin auf 145,36kg. |
Der Energiegehalt dieser Brennstoffmassen würde reichen, die Masse ms in den Weltraum zu befördern. Im Aufgabentext heisst es jedoch, dass annahmegemäss auch der gesamte Treibstoff das Gravitationsfeld der Erde verlassen soll. Du kannst also eine Gleichung aufstellen:
}{r_\mathrm{E}}=m_\mathrm{B}w_\mathrm{B})
wenn  der Energiegehalt des Treibstoffs ist. Für den Energiegehalt von Benzin ergibt sich keine positive Lösung, da dieser nicht einmal dafür reicht, das Benzin selbst in den Weltraum zu bringen.
| Zitat: | | c) dort habe ich mit der Ellipsenförmigkeit der Erde argumentiert und das sich die höhere Geschwindigkeit der Erdrotation zu nutze gemacht wird. Aber wie berechne ich die Energieersparnis? In dem ich Epot vom Äquator mit Epot von dem anderen Standpunkt vergleiche? oder in dem ich die Rotationsenergie berechne? |
Die Erde soll als kugelförmig angenommen werden, die zu überwindende potentielle Energie ist also an jedem Punkt auf der Erdoberfläche gleich. Relevant ist tatsächlich die grössere kinetische Energie (Rotationsenergie), welche die Rakete in Äquatornähe mitbekommt. Diese zusätzliche Energie muss durch den Antrieb nicht mehr aufgebracht werden - zumindest kann man so die Energieersparnis abschätzen.
Zu d: Völlig analog zum Ausdruck  kannst Du auch die benötigte Energie bis zum Verlassen des Gravitationsfeldes der Sonne berechnen (Sonnen- statt Erdmasse, Abstand Sonne-Erde statt Erdradius verwenden). Es zeigt sich, dass diese Energie mehr als 10 mal so gross ist. |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 03. Jan 2019 10:42 Titel: |
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Vielen lieben Danke schon mal für deine Antwort!
ich wollte bei dem Aufgabenteil b) nun deinen Ansatz verwenden, da ich ein bisschen auf dem Schlauch stehe nach was ich denn auflösen muss MB? Irgendwie kommt nur wirres Zeug dabei raus 
bei Aufgabe c) weiß ich nun nicht wie ich argumentieren soll, dass am Äquator die Geschwindigkeit der Erdrotation am größten ist, ist klar, aber warum? Wenn eben nicht mit dem größeren Radius argumentiert werden soll?
bei Aufgabe d) komme ich jetzt für mein Epot zur Überwindung des Gravitationsfeldes der Erde auf 6.250,31 MJ und für die potentielle Energie durch die Schwerkraft der Sonne auf 88.700MJ. Also mehr als das 14fache, macht das Sinn? |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 03. Jan 2019 10:47 Titel: |
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Ok die Frage bezüglich c) war dämlich, natürlich hat die Erde als eine Kugel angenommen auch am Äquator den größeren Radius der zu den Polen abnimmt 
Aber wie lässt sich das ganze jetzt "abschätzen"? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 03. Jan 2019 23:23 Titel: |
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Sorry für die späte Antwort. Nur kurz:
| naddi hat Folgendes geschrieben: | | ich wollte bei dem Aufgabenteil b) nun deinen Ansatz verwenden, da ich ein bisschen auf dem Schlauch stehe nach was ich denn auflösen muss MB? Irgendwie kommt nur wirres Zeug dabei raus |
Ja natürlich, nach  auflösen. Also auf eine Seite nehmen:
)
und dann die Gleichung noch durch den Faktor in der Klammer rechts dividieren. Für Wasserstoff ergibt sich etwa 79kg, für Benzin ein negativer Wert, da dessen Energiegehalt zu niedrig ist.
| Zitat: | bei Aufgabe c) weiß ich nun nicht wie ich argumentieren soll, dass am Äquator die Geschwindigkeit der Erdrotation am größten ist, ist klar, aber warum? Wenn eben nicht mit dem größeren Radius argumentiert werden soll?
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Die Geschwindigkeit der Rakete aufgrund der Erdrotation ist  , wenn  die Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung und  die geografische Breite ist. Zum Abschätzen der Energieersparnis setzt Du die kinetische Energie der Rakete durch die Erdrotation,
^2)
ins Verhältnis zur benötigten Energie für das Entweichen aus dem Gravitationsfeld.
| Zitat: | | bei Aufgabe d) komme ich jetzt für mein Epot zur Überwindung des Gravitationsfeldes der Erde auf 6.250,31 MJ und für die potentielle Energie durch die Schwerkraft der Sonne auf 88.700MJ. Also mehr als das 14fache, macht das Sinn? |
Ja, das sollte richtig sein. |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 06. Jan 2019 13:42 Titel: |
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Vielen Dank für deine super Antworten!
bei b) komme ich jetzt ebenfalls auf MB von Wasserstoff auf 78,82kg und für MB von Benzin auf einen negativen Wert.
bei c) habe ich jeweils die Erot für den Standpunkt am Äquator und Darmstadt ausgerechnet: Erot Äquator: 10,72MJ und für Erot Darmstadt: 4,56MJ, das heißt ich würde gegenüber einen Start in D. am Äquator 6,16MJ einsparen können.
bei d) bedeutet, dass dann für meine interstellare Raumfahrt, dass je näher ich mich der Sonne nähere (der Erde entferne), desto mehr Treibstoff benötige ich aufgrund der hohen Anziehung der Sonne?
ich denke soweit passt es?
Nun kam jetzt noch über die Ferien drei Zusatzpunkte zu dieser Aufgabe hinzu und da hört es bei mir nun vollkommen auf, da wir uns noch nicht wirklich mit Differentialgleichungen beschäftigt haben, vielleicht hast du da auch noch ein paar Tipps!
In einer weiteren Verfeinerung wollen wir berücksichtigen dass der Brennstoff während der Beschleunigung verschwindet. Eine kleine Menge Brennstoff Δm von der Gesamtbrennstoffmenge mB trägt also beim Verbrennen entsprechend Ihres Brennwertes zur kinetischen Energie der Restrakete bei, während gleichzeitig sich die Gesamtmasse der
Rakete um den entsprechenden Betrag ändert. Da sich die kinetische Energie auf die gesamte Raketenmasse verteilt, geht beim Massenverlust auch kinetische Energie verloren.
Stellen Sie mit diesen Informationen eine Differentialgleichung fürr Ekin in Abhängigkeit
von der sich verändernden Masse mS +mB >= m >= mS auf. Beachten Sie dass Δm negativ ist!
(f) Verwenden Sie für die zuvor erhaltene Differentialgleichung den Lösungsansatz
Ekin(m) = am+bm ln(m) und die Anfangsbedingung Ekin(mS +mB) = 0. Bestimmen
Sie a und b.
(g) Geben Sie den Anteil alpha des anfänglichen Gesamtbrennwertes an, der tatsächlich in die Beschleunigung der Nutzlast geflossen ist.Wie groß ist dieser für das konkrete Beispiel?
Beurteilen Sie anhand der Lösung, ob Sie eine Rakete grundsätzlich für effizient halten.
bei e) müsste ich doch prinzipiell die Masse M und meine Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t darstellen.
für M also M(t)=Mo-M't
für v weiß ich jedoch nicht Recht und dann alles in Ekin=1/2 m*v^2 einsetzen?
und bei f und g steh ich auch auf dem Schlauch
Vielen Dank schon mal für die Mühe, weiß ich sehr zu schätzen |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 06. Jan 2019 21:16 Titel: |
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Zu d): Das bedeutet einfach, dass für die interstellare Raumfahrt pro Masse nochmals eine gute Grössenordnung mehr Energie benötigt wird als für die interplanetare Raumfahrt.
Zu e): Um eine Differentialgleichung für ) aufzustellen überlegt man sich: wie ändert sich die kinetische Energie, wenn die Masse um  ändert, also die Masse  Brennstoff verbrennt? Einerseits nimmt die kin. Energie um den Energiegehalt des Brennstoffs zu, anderseits nimmt sie um den Anteil  ab, da die Masse um diesen Anteil abnimmt. Es gilt also
=(E_\mathrm{kin}(m)-\Delta m w_\mathrm{B})\frac{m+\Delta m}{m}\approx E_\mathrm{kin}(m)+E_\mathrm{kin}\frac{\Delta m}{m}-\Delta mw_\mathrm{B})
Somit
und die Gleichung
Das ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Du kannst den angegebenen Ansatz
=am+bm\log(m))
verwenden und für die Konstanten, dass =0) und
}{\dd m}\bigg\vert_{m=m_\mathrm{S}+m_\mathrm{B}}=-w_\mathrm{B})
Zu g): Gefragt ist das Verhältnis ) zum Energieinhalt des Brennstoffs, also
}{m_\mathrm{B}w_\mathrm{B}})
Es sollte sich mit den Werten des Beispiels etwa alpha=1/136 ergeben. |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 07. Jan 2019 10:05 Titel: |
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Die Herleitung der DGL ist an sich verständlich, aber wie komme ich zum Beispiel dann auf: dEkin/dm=Ekin* dM/M - wB*dM und die nachfolgende Gleichung?
Wie ich auf deinen Ansatz bei e) komme verstehe ich auch nicht ganz und auch nicht wie ich diesen dann mit dem gegebenen Ansatz und der Anfangsbedingung lösen soll... |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 07. Jan 2019 17:20 Titel: |
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Aus der oben angegebenen Gleichung für ) erhält man die Differentialgleichung über
-E_\mathrm{kin}(m)=E_\mathrm{kin}\frac{\Delta m}{m}-w_\mathrm{B}\Delta m)
dann Division durch und Grenzübergang  .
Der Ansatz
=am+bm\log (m))
wird in der Aufgabenstellung bereits angegeben. Man kommt auch ohne die Angabe darauf: =am) ist die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Der zweite Summand ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, die man mit der Methode der Variation der Konstanten erhält (siehe hier; in diesem Fall geht das relativ einfach).
Zur Bestimmung der Konstanten a und b: wie gesagt, einfach den Ansatz in die oben angegebenen Gleichungen einfügen. Aus folgt
+b(m_\mathrm{S}+m_\mathrm{B})\log(m_\mathrm{S}+m_\mathrm{B})=0)
)
und
+m\log m)=b\log(\frac{m}{m_\mathrm{S}+m_\mathrm{B}}))
Dann noch verwenden, dass beim Start gilt
woraus man schliesslich
=-w_\mathrm{B}\log\left(\frac{m}{m_\mathrm{S}+m_\mathrm{B}}\right))
erhält. |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 07. Jan 2019 19:07 Titel: |
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[quote="Myon"]Aus der oben angegebenen Gleichung für erhält man die Differentialgleichung über
dann Division durch und Grenzübergang .
Der Ansatz
wird in der Aufgabenstellung bereits angegeben. Man kommt auch ohne die Angabe darauf: ist die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Der zweite Summand ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, die man mit der Methode der Variation der Konstanten erhält (siehe Diesen Teil finde ich jetzt einigermaßen nachvollziehbar!
Zur Bestimmung der Konstanten a und b: wie gesagt, einfach den Ansatz in die oben angegebenen Gleichungen einfügen.
Hier weiß ich immer noch nicht so Recht was ich tun soll: Ich habe den Ansatz für Ekin(m)=am+bm*log(m) angegeben den ich nun verwende um meine DGL zu lösen indem ich den Ansatz einfach in die DGL für Ekin einsetze? Also in der Gleichung Ekin ΔM/M - ΔM*WB einfach Ekin(m) durch am+bm*log(m) ersetzen? Aber wie rechne ich das dann aus, nach was muss ich auflösen? |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 07. Jan 2019 20:15 Titel: |
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Noch einmal übersichtlicher, wollte wohl nicht so wie ich will!
| Zitat: | Aus der oben angegebenen Gleichung für erhält man die Differentialgleichung über
dann Division durch und Grenzübergang . |
Darüber komme ich jetzt also auf mein dEkin/dM=Ekin/M-wB also die gesuchte Differentialgleichung?
| Zitat: | Der Ansatz
Zur Bestimmung der Konstanten a und b: wie gesagt, einfach den Ansatz in die oben angegebenen Gleichungen einfügen. |
Das heißt ich nehme meine Differentialgleichung und ersetze einfach mein Ekin durch, diesen Ausdruck: . Aber dort bleib ich irgendwie hängen, weil sich bei mir irgendwie alles wegkürzt außer -wB auf der rechten Seite?! Und weiß deshalb auch nicht, wie ich von dort aus auf a und b kommen soll:(
[/quote Aus folgt
und
[/code]
Das macht vollkommen Sinn.
| Zitat: | Dann noch verwenden, dass beim Start gilt
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Wie komme ich genau darauf noch?
| Zitat: |
woraus man schliesslich
erhält. |
Setze ich hier dann einfach -wB anstelle von b?
Entschuldige diese ewigen Fragen |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 07. Jan 2019 21:09 Titel: |
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Der Ehrgeiz bei dieser Aufgabe hat mich jetzt gepackt und jetzt bekomme ich auch Ergebnisse, die auch richtig sein könnten.
hab jetzt für die Werte von a und b: a=-b*log(Ms+Mb) --> a=wb*log(Ms+Mb)
und b=-wb
--> Ekin(M)= b*log(M/Ms+Mb) --> Ekin(M)=-wb*log(M/Ms+Mb) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 07. Jan 2019 23:43 Titel: |
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Ja, das sollte richtig sein, ich erhalte jedenfalls dasselbe. Teil g) sollte nun nicht mehr schwierig sein, ist fast nur noch Einsetzen der gegebenen Werte... |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 08. Jan 2019 09:10 Titel: |
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So nun hoffentlich die letzte Frage!!
Dachte nun ich könnte sagen, dass Ekin(ms) einfach =-wb*log(M/Ms) ist, aber damit ich dann nicht auf ein alpha von 1/136 sondern auf gerundet 0,003, was ja über die Hälfte weniger ist.
mb*wb ist denk ich klar, einfach die 78kg aus Aufgabe b) mal 141,8MJ/kg.
also liegt mein Fehler irgendwo bei Ekin(ms) |
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naddi
Gast
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| naddi Verfasst am: 08. Jan 2019 09:21 Titel: |
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ich habe vermutlich Ms und M im Bruch verdreht oder?
Denn mit Ekin(ms)=-wb*ln(Ms/M) komme ich auf -82415510,97 J
und für alpha mit wb*mb=1,12*10^10 J
auf alpha=(-)0,007, würde auf jeden Fall mit deinem alpha=1/136 übereinstimmen. Macht dieses Minus mir irgendwelche Probleme?
Danke für jede Hilfe von dir in den letzten Tagen und dafür, dass ich jetzt nicht nur die Lösungen habe, sondern auch verstehe wie ich drauf gekommen bin!!! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 08. Jan 2019 11:07 Titel: |
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=-w_\mathrm{B}\ln\left(\frac{m_\mathrm{S}}{m_\mathrm{S}+m_\mathrm{B}}\right))
Ekin(ms) ist positiv, da im Logarithmus ein Argument kleiner als 1 steht, dieser also negativ ist (für ms=100kg, mb=79kg ist Ekin etwa gleich 8.83*10^7J).
Es freut mich, wenn jetzt alles klar ist und ich etwas helfen konnte. |
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