Fluchtgeschwindigkeit Proxima und Alpha Centauri

Lukas1202 · Anmeldungsdatum: 15.07.2023 Beiträge: 6

Meine Frage:
Habe eine Frage zu einer Rechenaufgabe komme dort nicht mehr weiter.
Link zur Aufgabe:https://www.isb.bayern.de/fileadmin/user_upload/Gymnasium/Leistungserhebungen/Abiturpruefung/Physik/ph_2023.pdf
Ph12 Astrophysik 1 Aufgabe 2c
"Proxima Centauri scheint sich um das Doppel-sternsystem Alpha Centauri zu bewegen, welches näherungsweise als ein Zentralgestirn mit 2,16 Sonnenmassen angenommen werden kann. Die Masse von Proxima Centauri ist gegenüber der Masse von Alpha Centauri vernachlässigbar klein.
Für Proxima Centauri wurden in den letzten Jahren verschiedene Bahnformen diskutiert, von denen zwei in Abb. 1 aus Sicht der Erde mit der momentanen Position von Proxima Centauri dargestellt sind. Die große Halbachse der elliptischen Bahn 1 beträgt 9*10^3 AE. Neueste Beobachtungsdaten von Alpha Centauri und Proxima Centauri ermöglichen sehr präzise Geschwindigkeitsbestimmungen und stützen die Annahme, dass es sich bei Alpha Centauri und Proxima Centauri um ein gravitativ gebundenes System handelt. Proxima Centauri ist heute 13*10^3 AE von Alpha Centauri entfernt. Bestimmen Sie für einen Körper an der heutigen Position von Proxima Centauri die Geschwindigkeit, die er zum Verlassen des gravitativen Einflussbereichs von Alpha Centauri benötigt, also die 2. kosmische Geschwindigkeit. Beschreiben Sie unter Verwendung Ihres Ergebnisses ein Kriterium, das die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler in der Annahme eines gebundenen Systems bestärkt haben könnte.
Meine Frage ist nun wie ich auf die Fluchtgeschwindigkeit komme, da ich ja den Radius von Alpha Centauri nicht kenne.

Meine Ideen:
Formel für die Fluchtgeschwindigkeit ist mir bekannt und da brauch ich ja den Radius des Zentralgestirns. Welchen Radius soll ich verwenden?? Oder ist hier gemeint, dass PC und AC und Mehrfachsternsystem bilden mit dem Radius von 13*10^3AE??

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Es ist hier nicht die Fluchtgeschwindigkeit von der Oberfläche eines Körpers gesucht, sondern die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Gravitationspotential von Alpha Centauri an der Stelle, wo sich heute Proxima Centauri befindet. Die Masse des "Zentralkörpers" Alpha Centauri ist gegeben, ebenso der Abstand von Proxima Centauri. Also setzen

Dabei ist M die Masse von Alpha Centauri und r der Abstand von Proxima Centauri

Lukas1202 · Anmeldungsdatum: 15.07.2023 Beiträge: 6

Vielen Dank
Kann ich dann als Argument folgendes Schreiben:
Durch die Bahn von PC um AC sammelt PC eine gewisse kinetische Energie an. wären beide Systeme nicht gravitativ verbunden würde die ansteigende Bahngeschwindigkeit wegen der zunehmenden kinetischen Energie irgendwann die Fluchtgeschwindigkeit übersteigen und sich von AC lösen. Da sich aber PC heute in der nähe von AC befindet kann davon ausgegangen werden, dass AC und PC ein gravitatives System bildet, dass seine Bahngeschwindigkeit nicht übermäßig ansteigt bzw. etwa als Konstant angenommen werden kann.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Naja, gemäss Aufgabentext kann die Geschwindigkeit von PC präzise bestimmt werden. Und wenn diese (Umlauf-)Geschwindigkeit geringer ist als die berechnete Fluchtgeschwindigkeit, bedeutet das, dass PC und AC gravitativ gebunden sind.

Lukas1202 · Anmeldungsdatum: 15.07.2023 Beiträge: 6

Ok dann mithilfe der großen Halbachse von Bahn 1 oder, und dem jetzigen Abstand von PC?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Das wäre die Geschwindigkeit von PC am jetzigen Ort. Aber es wird nicht nötig sein, diese zu berechnen - sie ist ja auf jeden Fall geringer als die berechnete Fluchtgeschwindigkeit, denn die Gleichung setzt eine elliptische Bahn von PC mit grosser Halbachse a voraus. Es genügt wahrscheinlich anzugeben, dass die mittels Beobachtung bestimmte Umlaufgeschwindigkeit mit der berechneten Fluchtgeschwindigkeit verglichen wird. (Über die obige Gleichung könnte umgekehrt aus beobachteten Werten von r und v die Halbachse a berechnet werden).

Lukas1202 · Anmeldungsdatum: 15.07.2023 Beiträge: 6

aber wie kann ich die beobachtet Umlaufgeschwindigkeit genau bestimmen, oder muss ich die überhaupt bestimmen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Du musst sie nicht bestimmen. Verlangt wird nur ein Kriterium für eine gravitative Bindung von AC und PC. Und ein solches ist, dass die beobachtete Geschwindigkeit von PC unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit liegt.

Lukas1202 · Anmeldungsdatum: 15.07.2023 Beiträge: 6

Ok vielen Dank!