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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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 giulinho Verfasst am: 15. Dez 2012 23:44 Titel: erdbeschleunigung |
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Meine Frage:
Hallo Leute, eine Frage:
da die erdbeschleunigung ja ortsabhängig ist (sie nimmt mit zunehmender höhe ab), müsste man doch, wenn man aus sehr hoher höhe fällt, eine exponentiell wachsende beschleunigung erfahren und somit eine noch schneller steigende geschwindigkeit oder? oder hab ich da was falsch verstanden?
Meine Ideen:
nehmen wir an man fällt aus einer höhe von 500.000 km (auch wenns unrealistisch ist), wie viel zeit würde man dann benötigen bis man an der erdoberfläche ankommt? berechnet man sowas mit einem integral?
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Thilo87
Gast
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| Thilo87 Verfasst am: 16. Dez 2012 00:09 Titel: |
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Ja. Zu berechnen ist das nicht allzu leicht. Da muss man Ahnung von Differentialgleichungen haben.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2012 00:54 Titel: |
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Nun, die Erdbeschleunigung errechnet sich ja aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz
mittels
zu
Die Beschleunigung ist gerade die zweite Ableitung des Ortes, d.h. man erhält die Differentialgleichung
-----------------------------------
Allerdings kann man das mittels des Energiesatzes wesentlich einfacher formulieren:
Daraus erhält man die Geschwindigkeit ohne Lösen einer DGL zu
-----------------------------------
Und die Zeit berechnet man daraus recht einfach; gegeben ist die Geschwindigkeit
)
als Funktion des Radius. Die Falldauer zwischen zwei Radien berechnet sich gemäß
} = \int_{r_a}^{r_b} \frac{dr}{\sqrt{\frac{2E}{m} + \frac{2GM}{r}}})
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Dez 2012 01:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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Systemdynamiker
Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 594
Wohnort: Flurlingen
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| Systemdynamiker Verfasst am: 16. Dez 2012 09:08 Titel: Modellbildung |
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Im Vakuum ist die Beschleunigung eines Körpers gleich der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke (auch Fallbeschleunigung genannt). Man kann nun zeigen - wie TomS dies gemacht hat, dass sich die Gleichung mit Hilfe der Energieerhaltung vereinfachen lässt und dass man sogar eine direkte Aussage zur momentanen Geschwindigkeit machen kann.
Im Elementarunterricht beschränkt man sich dann auf Kreisbeweung und Fall mit konstanter Feldstärke. Dabei geht natürlich einiges an Einsicht in die Zusammenhänge verloren. Insbesondere wenn an der Prüfung nur noch ein paar numerische Ergebnisse abgefragt werden.
Als Alternative könnte man den Computer einsetzen und die Gleichungen numerisch integrieren. Will man einen Schritt weiter gehen, modelliert man das Problem, ohne die Gleichungen explizit aufzustellen. Diesen Weg beschreiten wir in der Systemphysik. Wenn ich wir sage, dann meine ich eine wachsende Zahl von Physik-Dozierenden an der School of Engineering in Winterthur. Diese Methode kommt bei den Studierenden in der Regel gut an.
Die Modellierung zeige ich auch auf einigen Youtube-Videos:
Keplersche Gesetze: http://www.youtube.com/watch?v=rhD110v5nyY
Jules Vernes Reise um den Mond: http://www.youtube.com/watch?v=NpZ5qRE-HIg
Satellitenbahn: http://www.youtube.com/watch?v=OKDQZ8GJPwY und http://www.youtube.com/watch?v=jWf7IhtXfOo
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Herzliche Grüsse Werner Maurer |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2012 10:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nun, die Erdbeschleunigung errechnet sich ja aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz
zu
 = -G \frac{M}{r^2}) |
Ich sollte wohl noch dazusagen, wie das mit der konstanten Erdbeschleunigung von 9.81 m/sec² zusammenpasst. Letztere gilt für sehr kleine Höhen h in der Nähe des Erdardius R. D.h. man setzt
 = -G \frac{M}{R_\text{Erde}^2})
und dafür erhält man den bekannten Wert.
Darüberhinaus kann man so umformen, dass aus h/R << 1 nur kleine Korrekturen resultieren:
 = -G \frac{M}{(R_\text{Erde}+h)^2} = -G \frac{M}{R_\text{Erde}^2}\frac{1}{1+(h/R_\text{Erde})^2} = g(R_\text{Erde})\frac{1}{1+(h/R_\text{Erde})^2})
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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| giulinho Verfasst am: 24. Feb 2013 12:00 Titel: |
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ok. danke für die hilfe. aber woher weiß ich wie groß E ist, das unter der Wurzel steht?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 24. Feb 2013 16:47 Titel: |
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| giulinho hat Folgendes geschrieben: | | aber woher weiß ich wie groß E ist, das unter der Wurzel steht? |
Das erhältst du aus den Anfangsbedingungen. Du legst als Anfangsbedingung eine Geschwindigkeit für einen bestimmten Radius fest und berechnest dafür
 = \frac{m}{2}v_0^2 - G \frac{mM}{r_0})
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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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| giulinho Verfasst am: 01. März 2013 18:15 Titel: |
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okay. dann setze ich im punkt, von dem aus ich den körper fallen lasse, die geschwindigkeit gleich 0. also ist die summe aus pot. und kin. energie im höchsten punkt und im punkt wo der körper aufprallt gleich hoch. beim integral jedoch hatte ich erhebliche schwierigkeiten... wahrscheinlich hab ich falsch integriert... jedenfalls nachdem ich die stammfunktion gebildet hatte, kam mir beim einsetzen der radien etwas negatives raus?!
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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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| giulinho Verfasst am: 03. März 2013 22:43 Titel: |
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kann es sein, dass ich bei der integration dieser wurzel den areasinus hyperbolicus benötige?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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| giulinho Verfasst am: 27. Jun 2013 20:26 Titel: Wolfram Alpha |
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Okay... habe nun probiert das Integral mittels wolfram alpha zu lösen... allerdings kommen mir da negative ausdruecke unter den wurzeln heraus, sobald ich zahlen einsetze... könnte mir vielleicht jemand sagen, wie man die Differentialgleichung  löst. Habe leider noch sehr wenig ahnung von differentialgleichungen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2013 21:27 Titel: Re: Wolfram Alpha |
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| giulinho hat Folgendes geschrieben: | | Okay... habe nun probiert das Integral mittels wolfram alpha zu lösen... allerdings kommen mir da negative ausdruecke unter den wurzeln heraus, sobald ich zahlen einsetze... |
Dann stimmt was nicht
| giulinho hat Folgendes geschrieben: | | könnte mir vielleicht jemand sagen, wie man die Differentialgleichung ... |
Da es eine nichtlineare DGL mit einem Polynom in r ist würde ich einen Potenzansatz
 = a\,t^k)
machen und a und k bestimmen. Das ist aber nicht sehr systematisch, es gibt sicher zwei Lösungen
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 28. Jun 2013 18:27 Titel: Re: Wolfram Alpha |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Da es eine nichtlineare DGL mit einem Polynom in r ist würde ich einen Potenzansatz
machen und a und k bestimmen. Das ist aber nicht sehr systematisch, es gibt sicher zwei Lösungen |
Das führt zu einer speziellen Lösung, die ich aus meiner Rechnung zum Newton-Universum kenne: freier Fall mit Fluchtgeschwidigkeit.
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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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| giulinho Verfasst am: 29. Jul 2013 00:49 Titel: |
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danke für die hilfe... ich habe jedoch noch zweifel:
=a*t^k)
kann man  konstant setzen, denn die beschleunigung bleibt ja nicht konstant?!
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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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| giulinho Verfasst am: 29. Jul 2013 00:56 Titel: |
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und brauche ich für diese differentialgleichung ein anfangswertproblem, beispielsweise =20.000 km;a=0,99 m/sek.^2) ?
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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giulinho
Anmeldungsdatum: 15.12.2012
Beiträge: 9
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| giulinho Verfasst am: 09. Aug 2013 21:24 Titel: |
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danke für die ausführliche erklärung 
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