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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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 Myon Verfasst am: 31. Aug 2022 17:45 Titel: Herleitung Doppler-Effekt |
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Liebe Forumsmitglieder
Ich habe nochmals eine Frage zu diesem Skript:
https://www.zarm.uni-bremen.de/fileadmin/user_upload/space_science/gravitational_theory/grlect20.pdf
Die Frage bezieht sich auf Gleichung (48) auf S. 23.
Auf Seite 23f. wird die Formel für den Dopplereffekt hergeleitet. Es wird ein Photon  und ein Beobachter mit konstanter 4er-Geschwindigkeit  betrachtet.
wird in eine Komponente parallel und eine Komponente orthogonal zu aufgeteilt (Gleichung 42 im Skript):
)
Es wird gezeigt, dass beta=alpha*c und schliesslich, dass im Ruhesystem des Beobachters gilt
\quad\quad (48))
mit p0=E/c. Das verstehe ich noch.
Meine Frage aber: diese Beziehung gilt dann doch nur im Ruhesystem des Beobachters ? Oder gilt das in jedem Bezugssystem und ist nur abhängig von und ?
Ist also bei einer Aufteilung
)
der Faktor alpha unabhängig vom Bezugssystem, wobei  , mit E der Energie des Photons im Ruhesystem von ?
Andernfalls verstehe ich den Rest der Herleitung nicht. Aber wenn das so ist, weshalb? Kann man es sich so erklären, dass die Vektoren auf beiden Seiten von Gl. (48) gleich transformieren und beide Seiten deshalb immer im gleichen Verhältnis stehen?
Irgendwie scheint das selbstverständlich zu sein, denn es wird nichts dazu gesagt. Doch ich habe lange darüber nachgedacht und sehe es nicht. Für jede Antwort bedanke ich mich im Voraus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 31. Aug 2022 18:41 Titel: |
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Das ist alles irgendwie unnötig kompliziert aufgeschrieben. Die Idee ist aber einfach, ich zeige dazu mal einen etwas anderen Zugang.
Ich setze c = 1.
Ein Photon habe in einem bestimmten Bezugsystem den lichtartigen Viererimpuls
 = (E, p^i) = E\,(1, n^i))
Dabei bezeichne n einen 3er-Einheitsvektor.
Ein Beobachter mit Vierergeschwindigkeit u misst die Frequenz
 = u_\mu \, p^\mu)
d.h. diese Frequenz ist definiert als Projektion des Viererimpulses auf die Vierergeschwindigkeit.
Im Ruhesystem des Beobachters gilt offensichtlich
)
 = p^0 = E)
1) Die Frequenz ist bei Wechsel des Bezugsystems = des Koordinatensystems ein Lorentz-Skalar (!) da
 = u_\mu \, p^\mu \to \omega_{\bar{u}}(\bar{p}) = \bar{u}_\mu \, \bar{p}^\mu = u_\mu \, p^\mu = \omega_u(p) )
wegen
2) Bei Wechsel des Beobachters ändert sich die Frequenz, d.h. ein anderer Beobachter mit Vierergeschwindigkeit v misst eine andere Frequenz für das selbe Photon.
 = u_\mu \, p^\mu \to \omega_{v}(p) = v_\mu \, p^\mu )
Dies hat nichts (!) mit einem Bezugsystemwechsel zu tun.
Als nächstes kann man sich überlegen, wo welche konkreten Vektoren ins Spiel kommen, aber zunächst mal sollte die Idee klar werden. Wenn man die konkreten Vektoren einsetzt, erhält man jedenfalls automatisch die richtigen gamma-Faktoren, Winkel etc., aber das ist dann nur noch Algebra.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 31. Aug 2022 21:43 Titel: |
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Zuerst einmal vielen Dank. Wow, das ging ja schnell...
Ich glaube, das beantwortet genau meine Frage. Die von Dir definierte Frequenz entspricht ja dem Faktor alpha in der Gleichung (42), wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit u multipliziert.
So wie von Dir gezeigt, ändert damit auch alpha nicht bei einem Wechsel des Bezugssystems. Genau das machte mir Probleme, auch wenn dies dumm erscheint.
Ich glaube, obschon es weniger elegant und mühsamer aufgeschrieben ist, grundsätzlich wird dann auch im Skript vorgegangen wie bei Dir unter 2), denn in Gleichung (49) wird auch ein zweiter Beobachter mit anderer Geschwindigkeit eingeführt. Aber genau diese Gleichung mit den beiden verschiedenen Energien für die beiden Beobachter in einer Gleichung und einem Bezugssystem (das nicht gleichzeitig das Ruhesystem für beide Beobachter ist) ergab für mich nur Sinn, wenn der jeweilige Faktor E/c^2 für einen Beobachter unabhängig ist vom Bezugssystem. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 31. Aug 2022 22:37 Titel: |
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Freut mich, wenn es geholfen hat. Ist noch etwas offen?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 04. Sep 2022 19:12 Titel: |
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Leider war ich die letzten Tage nicht imstande, mich mit dem Thema zu beschäftigen, und bin es auch jetzt nicht richtig. Aber mein ursprüngliches Problem wurde damit vollständig geklärt. Noch einmal besten Dank. Die obige Definition der Photonenfrequenz habe ich mir gemerkt.
Dafür habe ich sonst gerade ein Durcheinander im Kopf und muss mir einiges Grundlegendes nochmals anschauen. |
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