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Schwingung im 1/r² Potential
 
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Physikhobbyist
Gast





Beitrag Physikhobbyist Verfasst am: 24. Jan 2022 16:11    Titel: Schwingung im 1/r² Potential Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Wie sieht die Lösung der DGL für eine Schwingung im 1/r² Potential aus? (also z.B. elektrisch geladenes Teilchen, das rein linear durch einen entgegengesetzt geladenen Ring schwingt)
Bekannt ist die Lösung der DGL für den harmonischen Oszillator (also Kraft ~r) und die Keplerlösungen für umeinander rotierende Systeme im ~1/r² Kraftfeld.

Meine Ideen:
Mein Lösungsversuch der DGL führt über dr/dt² ~ 1/r² auf r~t²/³ (dr/dt²=-2/9*1/(t²/³)² =-2/9*1/r²) Das ist aber keine Schwingungsgleichung. Also was mach ich falsch / übersehe ich?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15150

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jan 2022 16:40    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist nicht klar, welches System du genau beschreiben möchtest.

Die Probleme zum harmonischen Oszillator mit Potential ~ r² und zum Kepler- / Coulomb-Potential ~ 1/r sind analytisch gelöst. Aber das ist es offenbar nicht, was du suchst.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 3963

Beitrag DrStupid Verfasst am: 24. Jan 2022 17:17    Titel: Re: Schwingung im 1/r² Potential Antworten mit Zitat

Physikhobbyist hat Folgendes geschrieben:
Wie sieht die Lösung der DGL für eine Schwingung im 1/r² Potential aus?


Die Lösung der DGL sieht auf jeden Fall hässlich aus. Über die Energieerhaltung kommt man noch relativ einfach zu einer Differentialgleichung erster Ordnung:



Dann wird es kompliziert. Meine Lösung ist auch keine Schwingungsgleichung. Die Frage ist, ob das hier überhaupt zu erwarten ist. In einem 1/r^n-Potential gibt es bei n>=2 zumindest keine stabilen kreisförmigen Orbits und eine lineare Bahn geht bei r=0 durch eine böse Singularität.

Physikhobbyist hat Folgendes geschrieben:
(also z.B. elektrisch geladenes Teilchen, das rein linear durch einen entgegengesetzt geladenen Ring schwingt)


Das ist kein 1/r²-Potential:

Sacha



Anmeldungsdatum: 24.01.2022
Beiträge: 2

Beitrag Sacha Verfasst am: 24. Jan 2022 17:38    Titel: Antworten mit Zitat

Im Prinzip suche ich eine Lösung für die (eigentlich elliptische) Keplerbahn in der Näherung zur unendlich schmalen Ellipse, also Exzentrizität gegen 1; bzw. ohne Drall also L=0. Dann wird das Problem ja eindimensional mit F=m*a~1/r² und es fände theoretisch ein Nulldurchgang statt.
Für dieses "vereinfachte" Problem habe ich versucht die DGL zu lösen; nur erscheint mir die Lösung nicht plausibel!?
(eine "bekannte" Lösung wäre die Vis-Viva-Gleichung, die aber auch anders aussieht)
Also was mache ich falsch?
(sorry, bin leider kein Mathematiker)
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 3963

Beitrag DrStupid Verfasst am: 24. Jan 2022 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

Sacha hat Folgendes geschrieben:
Im Prinzip suche ich eine Lösung für die (eigentlich elliptische) Keplerbahn in der Näherung zur unendlich schmalen Ellipse, also Exzentrizität gegen 1; bzw. ohne Drall also L=0.


Das ist ein radial-elliptischer Orbit: https://en.wikipedia.org/wiki/Radial_trajectory

Sacha hat Folgendes geschrieben:
Dann wird das Problem ja eindimensional mit F=m*a~1/r²


Ja, die Kraft ist proportional zu 1/r², aber es ist ein 1/r-Potential.

Sacha hat Folgendes geschrieben:
und es fände theoretisch ein Nulldurchgang statt.


Streng genommen geht die Trajektorie nur von Singularität zu Singularität. Darüber hinaus wird es schwierig.
Sacha



Anmeldungsdatum: 24.01.2022
Beiträge: 2

Beitrag Sacha Verfasst am: 25. Jan 2022 08:16    Titel: Antworten mit Zitat

Ja es ist ein 1/r Potential
Danke für den Link. Kommt für die parabolische Trajektorie auf die selbe Lösung wie ich; dann stimmt es wohl.
Damit ist meine Frage beantwortet. Vielen Dank an alle Helfer!
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