Aperiodischer Grenzfall (gedämpfter HO)

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Wir behandeln in der Vorlesung momentan den gedämpften harmonischen Oszillator anhand seiner mechanischen Variante. (Masse an Feder mit Reibung ohne externe Kraft)

Es sei

die Reibungskraft und

die rücktreibende Federkraft.

Die Bewegungsgleichung ist somit

mit

und

Über den Exponentialansatz

erhält man über das charakteristische Polynom

und damit die Lösung

Betrachtet man jetzt den aperiodischen Fall

erhält man

also nur eine Lösung:

In meinem Skript wird jetzt angegeben, dass die zweite Lösung einfach den Faktor

davorstehen hat, deren Korrektheit auch leicht zu verifizieren ist. Weiter wurde aber erwähnt, dass man die zweite Lösung auch ohne "Raten" finden kann:

"Erhöhe Dämpfung um

, Reihenentwicklung der beiden Lösungen, Differenz bilden und Grenzwertbildung

"

Mein Ansatz wäre jetzt Folgender: Wenn ich die Dämpfung etwas erhöhe, erhalte ich ja den überdämpften Fall mit zwei reellen Lösungen. Ist jetzt gemeint, dass man die allgemeine Lösung des überdämpften Falls von der Lösung

abzieht, dann die Exponentialfunktionen in Reihendarstellung schreibt und die Dämpfung

dann gegen 0 laufen lässt?

Leider kann ich nicht nachvollziehen, wie das Ganze auszusehen hat. Man kann die zweite Lösung zwar auch über Variation der Konstanten ermitteln, ich finde den zitierten Ansatz aber durchaus interessant und würde gerne den Ablauf verstehen.

Liebe Grüße
Navix.