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Molekülschwingung berechnen
 
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dex94
Gast





Beitrag dex94 Verfasst am: 10. Jan 2022 12:18    Titel: Molekülschwingung berechnen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ich stehe vor einer Aufgabe, für die ich keinen Ansatz finde.

Ein Kohlendioxidmolekül sei in Form von drei Bällen mit zwei identischen Federn mit k = 1.9 * 10^3 N/m. gekoppelt. Die Massen von Kohlenstoffatom und Sauerstoffatom betragen mc = 12u und mo = 16u (u ist die Atommasse).
Berechnet werden soll die Schwingungsfrequenz der symmetrischen und der asymmetrischen Schwingung des Moleküls.



Meine Ideen:
Vlt könnte mir jemand helfen. LG
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4703

Beitrag Myon Verfasst am: 10. Jan 2022 16:16    Titel: Antworten mit Zitat

Der allgemeine Ansatz wäre, die Bewegungsgleichungen für die Auslenkungen der Atome aus ihrer Ruhelage aufzustellen:





Das ergibt ein Gleichungssystem in Matrixform



Die Lösungen haben die Form



wobei komplexe Koffizienten und die Eigenwerte von und die zugehörigen Eigenvektoren sind.

So, wie die Frage gestellt ist, kann man die Aufgabe aber einfacher lösen. Besonders einfach ist der symmetrische Fall. Die mittlere Masse (Kohlenstoffatom) bleibt in Ruhe, während die Sauerstoffatome an einer Feder mit der Federkonstante k schwingen. Daraus folgt direkt die Eigenfrequenz wie bei einem einfachen Federschwinger, denn man kann sich vorstellen, die Sauerstoffatome würden an einer Feder schwingen, welche an einer Wand eingespannt ist.

Für den asymmetrischen Fall kann man ausnutzen, dass der Schwerpunkt in Ruhe bleiben muss. Es gilt also



(es gilt hier und aus Symmetriegründen ). Nun die Bewegungsgleichung für die mittlere Masse aufstellen, wenn die Sauerstoffatome jeweils in entgegengesetzer Richtung ausgelenkt sind. Das führt auf eine Gleichung



mit einer Konstanten , aus der wieder einfach die Frequenz abgelesen kann.
sbru



Anmeldungsdatum: 06.11.2021
Beiträge: 8

Beitrag sbru Verfasst am: 11. Jan 2022 20:26    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Die Eigenfrequenz sollte gegeben sein durch
\sqrt{\frac{k}{m}}

Habe ich damit bereits die symmetrische Schwingungsfrequenz des ges. Moleküls berechnet?

VG
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4703

Beitrag Myon Verfasst am: 11. Jan 2022 21:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, wenn m die Masse des Sauerstoffatoms ist, ist das richtig.
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