Molekülschwingung berechnen

dex94 · Gast

Meine Frage:
Ich stehe vor einer Aufgabe, für die ich keinen Ansatz finde.

Ein Kohlendioxidmolekül sei in Form von drei Bällen mit zwei identischen Federn mit k = 1.9 * 10^3 N/m. gekoppelt. Die Massen von Kohlenstoffatom und Sauerstoffatom betragen mc = 12u und mo = 16u (u ist die Atommasse).
Berechnet werden soll die Schwingungsfrequenz der symmetrischen und der asymmetrischen Schwingung des Moleküls.

Meine Ideen:
Vlt könnte mir jemand helfen. LG

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Der allgemeine Ansatz wäre, die Bewegungsgleichungen für die Auslenkungen der Atome aus ihrer Ruhelage aufzustellen:

Das ergibt ein Gleichungssystem in Matrixform

Die Lösungen haben die Form

wobei

komplexe Koffizienten und

die Eigenwerte von

und

die zugehörigen Eigenvektoren sind.

So, wie die Frage gestellt ist, kann man die Aufgabe aber einfacher lösen. Besonders einfach ist der symmetrische Fall. Die mittlere Masse (Kohlenstoffatom) bleibt in Ruhe, während die Sauerstoffatome an einer Feder mit der Federkonstante k schwingen. Daraus folgt direkt die Eigenfrequenz wie bei einem einfachen Federschwinger, denn man kann sich vorstellen, die Sauerstoffatome würden an einer Feder schwingen, welche an einer Wand eingespannt ist.

Für den asymmetrischen Fall kann man ausnutzen, dass der Schwerpunkt in Ruhe bleiben muss. Es gilt also

(es gilt hier

und aus Symmetriegründen

). Nun die Bewegungsgleichung für die mittlere Masse

aufstellen, wenn die Sauerstoffatome jeweils in entgegengesetzer Richtung ausgelenkt sind. Das führt auf eine Gleichung

mit einer Konstanten

, aus der wieder einfach die Frequenz abgelesen kann.

sbru · Anmeldungsdatum: 06.11.2021 Beiträge: 8

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Die Eigenfrequenz sollte gegeben sein durch
\sqrt{\frac{k}{m}}

Habe ich damit bereits die symmetrische Schwingungsfrequenz des ges. Moleküls berechnet?

VG

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Ja, wenn m die Masse des Sauerstoffatoms ist, ist das richtig.