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PhysikLover069
Gast
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 PhysikLover069 Verfasst am: 15. Dez 2021 23:33 Titel: Stroemung im Schwerefeld |
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Meine Frage:
In einem aufrecht stehenden zylindrischen Gefaeß mit dem Durchmesser D = 0,1 m befindet sich im
Boden ein Ausfluss vom Durchmesser d = 0,01 m. In das Gefaeß wird bei zunaechst geschlossenem
Ausfluss bis zu einer Hoehe H = 0,5 m Wasser eingefuellt und dann der Ausfluss geoeffnet, so dass ein
zylindrischer Strahl das Gefaeß verlaesst. Wir vernachlaessigen, dass sich der Strahl in Wirklichkeit auf
einen kleineren Durchmesser einschnurt und lassen außerdem Reibung unberuecksichtigt ¨
(a) Bestimme unter Verwendung des Energiesatzes die Ausstroemgeschwindigkeit in Abhaengigkeit von
der Wasserhoehe.
(b) Leitet die Funktion her, nach der die Hoehe des Wassers im Gefaeß mit der die Zeit abfaellt. Beruecksichtigt, dass zwischen Sink- und Ausstroemgeschwindigkeit eine Beziehung besteht, da saemtliches
Wasser durch den Ausfluss fließen muss.
Tipp: Bestimmt die Ausflussgeschwindigkeit vA indem ihr kinetische Energie des Wassers am
Ausfluss mit der potentiellen Energie an der Wasseroberflaeche gleichsetzt. Die Hoehenaenderung
im Gefaeß h? erhaelt man durch Gleichsetzten der Volumenstroeme V? = AA * vA = AGh?
, mit AA
Querschnittsflaeche des Ausfluss und AG Querschnittsflaeche des Gef¨aßes.
Meine Ideen:
Also bei a habe ich durch den Energiesatzes v= Wurzel(2gh) ausgerechnet und 3,13 m/s rausbekommen. Bei b kann ich trotz des Tipps nicht wirklich weiter, habe h? = (AA/AG) * v ermittelt, aber das war es leider. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Dez 2021 00:00 Titel: |
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Hi,
hier ist die Differentialgleichung
zu lösen, etwa durch Trennung der Variablen.
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 16. Dez 2021 08:52 Titel: |
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Energieerhaltungsatz
A = Querschnittssfläche Gefäss
a = Querschnittssfläche Ausfluss
H= Füllhöhe Gefäss
Energie im Gefäss = Energieabfluss
E_pot + E_kin = E_ab
Kontinuitätsgleichung
 )
^{2} -1} } \cdot \sqrt{y} )
^{2} -1} }} \cdot \int_0^H \!y^{-\frac{1}{2} } \, \dd y
<br />
)
Randbedingung
t = 0: y = H
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 17. Dez 2021 10:28, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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gast_free
Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 195
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| gast_free Verfasst am: 16. Dez 2021 09:16 Titel: |
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Gespeicherte potentielle Energie bei der Füllhöhe in Bezug auf den Boden.
=\rho\cdot g\cdot A_g\cdot \int_{h=0}^{H} h\cdot d h )
=\rho\cdot g\cdot A_g\cdot \frac{H^2}{2})
bzw. mit Koordinate h mit dem Nullpunkt am Gefäßboden.
=\rho\cdot g\cdot A_g\cdot \frac{h^2}{2})
Kinetische Energie pro Zeit des Wasserstrahls.
=\frac{\dot m}{2}\cdot v(h)^2)
)
=\frac{\rho\cdot A_A\cdot v(h)}{2}\cdot v(h)^2)
=\frac{\rho}{2}\cdot A_A\cdot v(h)^3)
Massenerhaltung.
\cdot dt)
=\frac{dh}{dt}\cdot \frac{A_G}{A_A})
Energieerhaltung.
=dE_k(h))
=\rho\cdot g\cdot A_g\cdot h\cdot dh )
=\frac{\rho}{2}\cdot A_A\cdot v(h)^3\cdot dt)
^3\cdot dt)
^3)
Umstellen.
Minuszeichen da die Höhenänderung h negativ ist.
Lösung vielleicht später. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 16. Dez 2021 10:06 Titel: |
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| gast_free hat Folgendes geschrieben: | | Gespeicherte potentielle Energie bei der Füllhöhe in Bezug auf den Boden. |
Wo ist die kinetische Energie im Gefäss? |
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gast_free
Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 195
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| gast_free Verfasst am: 16. Dez 2021 10:44 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | gast_free hat Folgendes geschrieben: | | Gespeicherte potentielle Energie bei der Füllhöhe in Bezug auf den Boden. |
Wo ist die kinetische Energie im Gefäss? |
Diese habe ich vernachlässigt.
Annahme:
In diesem Fall geht Deine Lösung in die andere Lösung über. Aber Du hast Recht. Hätte man noch mit betrachten müssen. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Dez 2021 15:36 Titel: |
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Zur Kontrolle:
 = \left(\sqrt{h_0}-\frac{A_A}{A_G}\sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t\right)^2)
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 16. Dez 2021 18:38 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Zur Kontrolle:
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Sieht gut aus 
PS
Es gibt eine interessante Publikation von Prof. Malcherek.
M. zeigt mit Impulserhaltung, dass ein Korrekturfaktor wg. der vena contracta nicht notwendig ist.
Gruß Mathefix |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 17. Dez 2021 10:23 Titel: |
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| gast_free hat Folgendes geschrieben: | Gespeicherte potentielle Energie bei der Füllhöhe in Bezug auf den Boden.
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= m\cdot g\cdot \frac{H}{2})
Das m.E. nicht richtig. Der gesamte Inhalt m des Gefässes ist , wenn das Gefäss leergelaufen ist, um die Füllhöhe H abgesunken.
 = m \cdot g \cdot H) |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 17. Dez 2021 11:50 Titel: |
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@Mathefix: der Ausdruck für die gesamte potenzielle Energie ist schon richtig, wird aber hier überhaupt nicht benötigt. Die Ausflussgeschwindigkeit v= Wurzel(2gh) folgt einfach aus Bernoulli.
Viele Grüße,
Nils
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 17. Dez 2021 15:26 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | @Mathefix: der Ausdruck für die gesamte potenzielle Energie ist schon richtig, wird aber hier überhaupt nicht benötigt. Die Ausflussgeschwindigkeit v= Wurzel(2gh) folgt einfach aus Bernoulli. |
In Aufgabe a) heißt es explizit, dass der Energiesatz verwendet werden soll. Man könnte zwar argumentieren, dass Bernoulli aus dem Energiesatz folgt, aber es gibt keine Garantie, dass der Aufgabensteller das akzeptiert. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 17. Dez 2021 17:57 Titel: |
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Ja, das kann (und wird vermutlich auch) so sein. Aber ich denke, dass hier eher eine einfache Energiebetrachtung der folgenden Form gemeint war:
Betrachte ein zylindrisches Flüssigkeitslelement  am Boden des Gefäßes mit Höhe  und Querschnittsfläche  , das durch den Druck der darüber liegenden Wassersäule durch die Öffnung geschoben wird. Dann folgt aus der Energieerhaltung:
und damit:
Oder so ähnlich.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 17. Dez 2021 18:47 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Ja, das kann (und wird vermutlich auch) so sein. Aber ich denke, dass hier eher eine einfache Energiebetrachtung der folgenden Form gemeint war:
Betrachte ein zylindrisches Flüssigkeitslelement am Boden des Gefäßes mit Höhe und Querschnittsfläche , das durch den Druck der darüber liegenden Wassersäule durch die Öffnung geschoben wird. Dann folgt aus der Energieerhaltung:
und damit:
Oder so ähnlich. |
Genau so!
Bei Bernoulli von potentieller Energie zu sprechen ist vllt. irritierend.
Gemeint ist die Verschiebearbeit durch Druck und Gewichtskraft.
Gefäss
Das war meine Einlassung zur Rechnung von gast_free. |
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