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Rhombus_pi
Gast
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 Rhombus_pi Verfasst am: 17. Nov 2021 22:19 Titel: Geodäte - Zwangskräfte |
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Meine Frage:
Hallo,
ich soll zeigen, dass ein Teilchen, welches sich unter einer Zwangskraft auf einer zweidimensionalen Fläche (in der Aufgabe nur durch f(x,y,z)=0 parametrisiert) eine geodätische Bahn beschreibt, dabei wird angenommen, dass keine anderen Kräfte auf das Teilchen wirken.
Meine Ideen:
Intuitiv ist mir klar, dass das Teilchen keine "verrückten" Bahnen nehmen wird, sprich, dass die Bahn auf einer wie auch immer gearteten Oberfläche so sein wird, dass die Wirkung stationär ist, jedoch finde ich die Aufgabe sehr abstrakt gestellt und ich weiß nicht wirklich, wo ich anfangen soll.
Sowohl die Art der Fläche, als auch sämtliche physikalischen Gegebenheiten werden allgemein gehalten (ich schätze, aus der Aufgabenstellung geht zumindest hervor, dass das Potential verschwinden muss), dennoch wird eine mathematisch exakte Herleitung gefordert, eventuell kann mir jemand zumindest den Ansatz erläutern.
Vielen Dank! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 17. Nov 2021 23:20 Titel: |
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Ich erinnere mich nur dunkel, demnach ist das folgende ohne Gewähr.
Du setzt zunächst mit i = 1..3
 )
Anschließend nimmst du an, der Constraint
 = 0)
sei gelöst, d.h. es existiere eine Parametrisierung der Fläche mittels
)
a=1,2 vor.
Daraus folgt dann
wobei auf der rechten Seite Funktionen der neuen Variablen stehen. Damit nimmt der quadratische Term die Form
mit
)
an. Dabei ist g die Metrik der Fläche.
Zu zeigen wäre, dass i) dieses g tatsächlich die Metrik der durch f definierten
Fläche liefert, und dass ii) aus dem letztgenannten L tatsächlich die Geodätengleichung folgt; letzteres darf man wohl als bekannt voraussetzen.
Bevor du den allgemeine Fall löst, kannst du dir das ja mal für das explizite Beispiel einer Kugeloberfläche anschauen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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rhombus
Anmeldungsdatum: 23.09.2021
Beiträge: 10
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| rhombus Verfasst am: 20. Nov 2021 06:44 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich erinnere mich nur dunkel, demnach ist das folgende ohne Gewähr.
Du setzt zunächst mit i = 1..3
Anschließend nimmst du an, der Constraint
sei gelöst, d.h. es existiere eine Parametrisierung der Fläche mittels
a=1,2 vor.
Daraus folgt dann
wobei auf der rechten Seite Funktionen der neuen Variablen stehen. Damit nimmt der quadratische Term die Form
mit
an. Dabei ist g die Metrik der Fläche.
Zu zeigen wäre, dass i) dieses g tatsächlich die Metrik der durch f definierten
Fläche liefert, und dass ii) aus dem letztgenannten L tatsächlich die Geodätengleichung folgt; letzteres darf man wohl als bekannt voraussetzen.
Bevor du den allgemeine Fall löst, kannst du dir das ja mal für das explizite Beispiel einer Kugeloberfläche anschauen. |
Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe die beiden folgenden Probleme:
In der Vorlesung wurden weder die (von dir in der Antwort verwendeten?) Christoffelsymbole eingeführt, noch wurde über Metriken auf Flächen gesprochen, die einzigen Inhalte der Vorlesungen lassen sich meiner Ursprungsfragestellung entnehmen.
Ich bin mir recht sicher, dass erwartet wird, dass ich die Fragestellung mit den mir bekannten Konzepten lösen soll, dementsprechend stehe ich mehr oder weniger vor dem selben Problem wie vorher, vielleicht hast du noch einen alternativen Ansatz?
Vielen Dank! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2021 11:23 Titel: |
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| rhombus hat Folgendes geschrieben: | | In der Vorlesung wurden weder die (von dir in der Antwort verwendeten?) Christoffelsymbole eingeführt, noch wurde über Metriken auf Flächen gesprochen, die einzigen Inhalte der Vorlesungen lassen sich meiner Ursprungsfragestellung entnehmen. |
Christoffelsymbole habe ich nicht verwendet, sie treten erst in der Geodätengleichung auf. Man kann jedoch die Äquivalenz beider Ansätze bereits auf Ebene von L erkennen, ohne die Bewegungsgleichung = Geodätengleichung zu verwenden (dass ein harmonischer Oszillator vorliegt erkennt man ja auch an L).
| rhombus hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin mir recht sicher, dass erwartet wird, dass ich die Fragestellung mit den mir bekannten Konzepten lösen soll, dementsprechend stehe ich mehr oder weniger vor dem selben Problem wie vorher, vielleicht hast du noch einen alternativen Ansatz? |
Wenn gefordert ist, zu zeigen, dass Geodäten vorliegen, dann erfordert dies Konzepte, die zur Definition von Geodäten verwendet werden. Ohne eine Metrik kann man jedoch nicht definieren, was Geodäten sind. Also nein, ich sehe keinen anderen Ansatz.
Nochmal zur Idee: man verwendet die erste Darstellung von L in x inkl. Constraint, löst letzteren allgemein und findet die zweite Darstellung von L in xi und inkl. g. Das wäre minimal das, was zu tun ist, denn dieses L kann man als Definition der Geodäten auffassen.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Nov 2021 12:40 Titel: |
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Das Teilchen bewegt sich auf einer Geodäte innerhalb der Fläche, wenn sein Beschleunigungsvektor senkrecht zur Fläche zeigt. Das ist natürlich bekanntermaßen genau die Richtung, in die die zeitunabhängige Zwangskraft wirkt. Du mußt also nur zeigen, daß  .
Das folgt z.B. sofort (ohne Variablensubstitution) aus der Lagrangefunktion
 = \frac{1}{2}\|\dot{\vec{r}}\|^2 + \lambda f(\vec{r}).)
EDIT: Das stimmt so nicht. Siehe unten.
Wie das Argument im Detail aussieht, hängt wohl von den genauen Voraussetzungen ab, die du benutzen sollst.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 20. Nov 2021 18:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2021 13:07 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Teilchen bewegt sich auf einer Geodäte innerhalb der Fläche, wenn sein Beschleunigungsvektor senkrecht zur Fläche zeigt. |
Gutes Argument.
Aber woher weiß man das, wenn man nicht definieren kann, was eine Geodäte ist?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Nov 2021 13:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Teilchen bewegt sich auf einer Geodäte innerhalb der Fläche, wenn sein Beschleunigungsvektor senkrecht zur Fläche zeigt. |
Gutes Argument.
Aber woher weiß man das, wenn man nicht definieren kann, was eine Geodäte ist? |
Wieso kann man das nicht definieren? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2021 14:03 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das Teilchen bewegt sich auf einer Geodäte innerhalb der Fläche, wenn sein Beschleunigungsvektor senkrecht zur Fläche zeigt. |
Gutes Argument.
Aber woher weiß man das, wenn man nicht definieren kann, was eine Geodäte ist? |
Wieso kann man das nicht definieren? |
Siehe oben: der Aufgabensteller soll zeigen, dass eine Geodäte vorliegt, soll dies jedoch seiner Meinung nach ohne die Verwendung von Metrik und Christoffelsymbolen (also ohne Geodätengleichung) bewerkstelligen.
D.h.
Aufgabe: Gegeben sei ein 3-dim. euklidscher Raum, eine durch eine Bedingung an die Koordinaten f(x) = 0 definierte 2-dim. Fläche sowie die Lagrangefunktion (s.o.). Zu zeigen ist, dass die Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichungen Geodäten auf dieser Fläche entsprechen.
Mein Ansatz: Man zeige, dass sich die o.g. Lagrangefunktion durch Lösung der Bedingung f auf die zweite (o.g.) Lagrangefunktion reduzieren lässt, deren Lösungen die Geodäten als Lösungen hat.
Dein Ansatz: Man zeige, dass der aus der ersten Lagrangefunktion resultierende Beschleunigungsvektor ein Normalenvektor zur mittels der Funktion f definierten Fläche ist.
Ich verwende also, dass die Definition der Geodäten mittels dieser Lagrangefunktion als bekannt vorausgesetzt werden darf.
Du verwendest, dass die Aussage *) „das Teilchen bewegt sich auf einer Geodäte innerhalb einer Fläche, wenn sein Beschleunigungsvektor senkrecht zur Fläche zeigt“ als bekannt vorausgesetzt werden darf.
Damit umgehst du zwar das Problem, in deinem Beweis über Metriken und Geodätengleichungen reden zu müssen, d.h. du kommst ohne diese Begriffe aus, die der Fragesteller nicht verwenden möchte oder darf. Aber du zahlst dafür einen enormen Preis: Erstens ist ohne die Verwendung dieser Begriffe unklar, was eine Geodäte tatsächlich ist, denn dazu benötigt man diese Begriffe. Und zweitens setzt du ohne Beweis die Aussage (*) voraus.
Meiner Meinung nach zeigt man also zu wenig, es sei denn, die von dir vorausgesetzte Aussage *) sei tatsächlich (in der Vorlesung) bereits bewiesen worden; dann wären jedoch auch die o.g. Begriffe bekannt. Ich selbst sehe keineswegs, dass (*) offensichtlich klar wäre und ohne Beweis angenommen werden darf; gibt es dafür eine elementare Begründung?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Nov 2021 16:56 Titel: |
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Eine Geodäte ist per Definition eine Kurve, deren "Beschleunigungsvektor" keine tangentiale Komponente hat. Folglich hat sie nur eine normale.
Aber, was meine ursprüngliche Antwort nicht berücksichtigt, ist, daß dies nur gilt, wenn man nach der Kurvenlänge parametrisiert. (Deswegen habe ich "Beschleunigungsvektor" oben in Anführungsstriche gesetzt.) Ansonsten darf eine tangentiale Komponente in Geschwindigkeitsrichtung vorhanden sein.
Nun gilt aber
\right\})
Berücksichtigt man nun, daß für die Zwangskraft gilt  (hier geht ein, daß die Nebenbedingung zeitunabhängig ist), folgt
und die Kurve ist eine Geodäte. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Nov 2021 07:54 Titel: |
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Um das vielleicht für den Fragesteller nochmal etwas klarer zu formulieren:
Eine Geodäte ist eine Kurve, deren Hauptnormalenvektor mit dem Normalenvektor der Fläche zusammenfällt.
Zeigen mußt du also, daß für eine Kurve ) auf der Fläche  gilt
 .
Dabei ist s die Länge der Kurve, d.h.  . |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2021 07:58 Titel: |
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Ok, danke, jetzt ist alles klar. Diese Eigenschaft der Geodäte hatte ich tatsächlich übersehen.
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