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Warum hat Pi so viele Nachkommazahlen?
 
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Yohenis



Anmeldungsdatum: 06.08.2021
Beiträge: 10

Beitrag Yohenis Verfasst am: 28. Aug 2021 23:40    Titel: Warum hat Pi so viele Nachkommazahlen? Antworten mit Zitat

Die Nachkommazahl von Pi ist doch der Flächeninhalt jedes Quadranten überstehende Fläche, die in der Fläche des Kreises rein Passt.
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7226

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 29. Aug 2021 10:48    Titel: Antworten mit Zitat

Dass dennoch nicht als Bruch darstellbar ist und somit unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen besitzt, ist bewiesen.

Viele Grüße
Steffen
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Aug 2021 13:27    Titel: Re: Warum hat Pi so viele Nachkommazahlen? Antworten mit Zitat

Yohenis hat Folgendes geschrieben:
Die Nachkommazahl von Pi ist doch der Flächeninhalt jedes Quadranten überstehende Fläche, die in der Fläche des Kreises rein Passt.

Und wie magst du damit begründen, dass Pi rational ist?
Die Mühe kannst du dir sparen, denn Pi ist bewiesenermaßen irrational.

_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
yellowfur
Moderator


Anmeldungsdatum: 30.11.2008
Beiträge: 804

Beitrag yellowfur Verfasst am: 30. Aug 2021 12:45    Titel: Antworten mit Zitat

Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben:
Dass dennoch nicht als Bruch darstellbar ist und somit unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen besitzt, ist bewiesen.

Viele Grüße
Steffen


Dazu noch als kleiner Nachtrag:



pi.png
 Beschreibung:
 Dateigröße:  80.81 KB
 Angeschaut:  1441 mal

pi.png



_________________
Wenn du einen Traum hast, dann folge ihm. Wer weiß, wo er dich hinführen könnte.
Yohenis



Anmeldungsdatum: 06.08.2021
Beiträge: 10

Beitrag Yohenis Verfasst am: 02. Sep 2021 16:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ich versuche nur zu verstehen warum das so ist,
aber wie ich sehe, brauche ich da auch etwas mehr Wissen.

Danke für die Denkanstöße und für das Unnötige Kommentar.
roycy



Anmeldungsdatum: 05.05.2021
Beiträge: 961

Beitrag roycy Verfasst am: 02. Sep 2021 18:58    Titel: Re: Warum hat Pi so viele Nachkommazahlen? Antworten mit Zitat

Yohenis hat Folgendes geschrieben:
Die Nachkommazahl von Pi ist doch der Flächeninhalt jedes Quadranten überstehende Fläche, die in der Fläche des Kreises rein Passt.


Wurde jetzt gerade aktuell auf mehrere Billionen Stellen nach d. Komma berechnet.
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3384

Beitrag ML Verfasst am: 02. Sep 2021 22:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

Yohenis hat Folgendes geschrieben:
Ich versuche nur zu verstehen warum das so ist,

Hier sind mehrere Beweise aufgeführt:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Grundsätzlich ist es ja so, dass die Irrationalität einer Zahl gewissermaßen der Normalzustand für eine Zahl ist, während rationale Zahlen vergleichsweise selten existieren.

Das ist vom Bauchgefühl her sehr einleuchtend, wenn Du Dir vorstellst, Du würfeltest die Nachkommastellen zufällig aus.

Wieviel unwahrscheinlicher ist es, dass die Folge an Nachkommastellen periodisch ist gegenüber dem Fall, dass die Folge an irgendeiner Stelle anders weitergeht als es sich vorher angedeutet hat.


Viele Grüße
Michael
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7226

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 03. Sep 2021 09:03    Titel: Antworten mit Zitat

ML hat Folgendes geschrieben:
wenn Du Dir vorstellst, Du würfeltest die Nachkommastellen zufällig aus.

Wobei ja immer noch nicht erwiesen ist, ob die Nachkommastellen wirklich zufällig verteilt sind, wie ich neulich hier lernen durfte...
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3384

Beitrag ML Verfasst am: 03. Sep 2021 09:29    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben:
ML hat Folgendes geschrieben:
wenn Du Dir vorstellst, Du würfeltest die Nachkommastellen zufällig aus.

Wobei ja immer noch nicht erwiesen ist, ob die Nachkommastellen wirklich zufällig verteilt sind, wie ich neulich hier lernen durfte...


ja, in der Diskussion war ich ja dabei.
Im hiesigen Thread dachte ich nicht speziell an Pi. Ich wollte nur der unausgesprochenen Fehlannahme entgegenwirken, derzufolge die Irrationalität einer Zahl etwas ausgesprochen Seltenes und Ungewöhnliches ist. Das Gegenteil ist ja der Fall.


Viele Grüße
Michael
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7226

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 03. Sep 2021 09:47    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, auch ich war in der Schule mal fasziniert vom Ausspruch des Lehrers, dass, wenn man ein Stück Holz absägt, die exakte Länge in Millimetern viel eher irrational als rational ist.
willyengland



Anmeldungsdatum: 01.05.2016
Beiträge: 673

Beitrag willyengland Verfasst am: 03. Sep 2021 12:40    Titel: Antworten mit Zitat

Die irrationalen Zahlen nerven schon ziemlich.

In der Physik braucht man sie eigentlich nicht wirklich, oder doch?
So etwas wie einen perfekten Kreis gibt es ja nicht.
Man hat zwar in einigen Formeln Pi drin, aber mehr aus Perfektionsgründen. Wenn man etwas misst, ist es immer rational.

Sollte wirklich irgendwo eine irrationale Zahl vorkommen, fände ich das philosophisch ziemlich bedenklich.

_________________
Gruß Willy
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 03. Sep 2021 16:49    Titel: Antworten mit Zitat

@willyengland: In der Physik kommen irrationale Zahlen andauernd vor. Wie meinst du Dein Kommentar denn?
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ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3384

Beitrag ML Verfasst am: 03. Sep 2021 17:09    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

willyengland hat Folgendes geschrieben:
Die irrationalen Zahlen nerven schon ziemlich.
In der Physik braucht man sie eigentlich nicht wirklich, oder doch?


ich denke, auch in der Physik braucht man irrationale Zahlen (und sogar komplexe Zahlen). Das wird unter anderem daran sichtbar, dass manche physikalischen Begriffe über über Integrale definiert sind. Wenn wir uns in Integral über die rationalen Zahlen vorstellen, beispielsweise

so kommt mit eine glatte Null heraus.

Zitat:

Wenn man etwas misst, ist es immer rational.

Ja, das stimmt schon. Aber die Frage ist ja, ob das eine Eigenschaft unserer Messgeräte ist oder der Messgröße, und am Ende des Tages tritt die Frage auf, ob es überhaupt entscheidend ist. Messwerte können wir ohnehin nur mit einer gewissen Messunsicherheit > 0 bestimmen.

Zitat:

Sollte wirklich irgendwo eine irrationale Zahl vorkommen, fände ich das philosophisch ziemlich bedenklich.

Was spricht dagegen?


Viele Grüße
Michael
willyengland



Anmeldungsdatum: 01.05.2016
Beiträge: 673

Beitrag willyengland Verfasst am: 03. Sep 2021 18:59    Titel: Antworten mit Zitat

ML hat Folgendes geschrieben:
Zitat:

Sollte wirklich irgendwo eine irrationale Zahl vorkommen, fände ich das philosophisch ziemlich bedenklich.

Was spricht dagegen?

Hmm ... schwer zu beschreiben ...
Wenn es wirklich ein Objekt gäbe, bei dem eine Eigenschaft wirklich real irrational ist, dann müsste diese Information ja irgendwo "gespeichert" sein sozusagen, und diese Information ist unendlich groß.

_________________
Gruß Willy
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 04. Sep 2021 07:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe irrtümlich den gesamten Thread statt nur eines einzelnen abgespaltenen Beitrags in den Spam Ordner verschoben. Das habe ich rückgängig gemacht; dort ist aber noch der Shadow Beitrag, da ich das Häkchen nicht gesetzt habe. Bevor ich den gesamten Beitrag ungewollt lösche, lass ich das mal lieber so. Sorry für die Verwirrung.
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ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3384

Beitrag ML Verfasst am: 04. Sep 2021 07:47    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Willy,

ich weiß nicht, ob ich Dich 100%ig verstehe. Betrachten wir einmal ein physikalisches Signal , das eine Information trägt.

Wenn das Signal "beliebig unstetig"* sein kann und an jedem Zeitpunkt einen komplett anderen Wert annehmen kann, kannst Du in einem Zeitintervall überabzählbar viele, in reellen Zahlen codierte Einzelinformationen abspeichern. Das ist -- glaube ich -- die wahnsinnige Informationsdichte, die Dir etwas unheimlich ist.

Was man in der Realität beobachtet ist aber, dass Analogsignale (zumindest in der klassischen Physik) glatt sind und daher nicht beliebig hin und her springen. Diese Glattheit ist es, die nach meiner Anschauung die Informationsdichte begrenzt.

Wenn wir die Glattheit im Sinne des Abtasttheorems betrachten (der Betrag der Ableitung eines bandbegrenzten Signals ist begrenzt), bewirkt diese Glattheit, dass die überabzählbar vielen Einzelzahlen sich letztlich in abzählbar vielen Abtastwerten zusammenfassen lassen.

Auf einem Datenträger ist die Information in einem Signal codiert. Hier gelten meiner Anschauung nach ganz entsprechende Zusammenhänge.


Viele Grüße
Michael




* fachlicher formuliert: Es ist nicht bandbegrenzt.
willyengland



Anmeldungsdatum: 01.05.2016
Beiträge: 673

Beitrag willyengland Verfasst am: 04. Sep 2021 09:25    Titel: Antworten mit Zitat

Was ich meine ist, diese Eigenschaft, diese Information muss ja "im Universum" gespeichert sein. Unendliche Information! Und das dann wohl nicht nur einmal.
Nur mal angenommen, die Masse des Neutrinos sei irrational.

_________________
Gruß Willy
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3384

Beitrag ML Verfasst am: 04. Sep 2021 09:57    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Willy,

willyengland hat Folgendes geschrieben:
Was ich meine ist, diese Eigenschaft, diese Information muss ja "im Universum" gespeichert sein. Unendliche Information! Und das dann wohl nicht nur einmal.
Nur mal angenommen, die Masse des Neutrinos sei irrational.


Gut, dann hat das Neutrino in der Einheit "Neutrinomasse" die Maßzahl 1, und das Urkilogramm in Paris hat plötzlich eine irrationale Maßzahl. Die Physik hat sich nicht geändert, bloß unsere Beschreibung. Hat nun das Urkilogramm ein Problem und das Neutrino nicht mehr oder doch umgekehrt? smile

Die Informationsmenge hängt ganz wesentlich davon ab, welchen Neuerungswert eine Nachricht für uns hat. Voraussetzung dafür, dass eine Neuerung vorliegt ist, dass wir eine Unterscheidung zwischen zwei physikalischen Werten feststellen können.
Wir können aber aus ganz prinzipiellen Erwägungen physikalische Größen nicht beliebig genau bestimmen. Aus praktischer Sicht besteht das Problem im Rauschen, aus prinzipiellerer Sicht aber vielleicht auch in der Unbestimmtheit.

Wenn Du Zahlen auf irgendeine Weise materiell-energetisch repräsentierst, bekommst Du ja auch schon bei rationalen Zahlen das Problem, dass die (physikalische) Unterscheidung nicht so fein möglich ist, wie Du es gerne hättest. Die Zahlen und unterscheiden sich für großes n beliebig wenig.


Viele Grüße
Michael
willyengland



Anmeldungsdatum: 01.05.2016
Beiträge: 673

Beitrag willyengland Verfasst am: 04. Sep 2021 11:57    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Hat nun das Urkilogramm ein Problem und das Neutrino nicht mehr oder doch umgekehrt?

Ist ja egal, die Irrationalität bleibt.

Vielleicht verhindert die Unschärfe-Relation genau so etwas. Ab einer bestimmten Nachkommastelle verschmiert alles.
Das Problem wäre dann in der Mathematik, dass eine Unschärfe-Relation fehlt.
Verrückte Spinnerei ...

smile

_________________
Gruß Willy
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7226

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 04. Sep 2021 14:40    Titel: Antworten mit Zitat

Dazu mal ein Zitat aus Zahlen, einem lesenswerten Algebra-Buch von Ebbinghaus et. al., 3. Auflage 1992, S. 23 ff.:

Zitat:
Wenn wir heute die reellen Zahlen als Elemente eines vollständig geordneten Körpers definieren, so ist uns nicht mehr gegenwärtig, wie sehr die Entdeckung, daß sich nicht alles durch rationale Zahlen erfassen läßt, einst Bildungs- und Weltanschauungskrisen auslöste - ja, wenn man späteren Legenden trauen darf - ihrem Entdecker die Strafe der Götter einbrachte.
...
Schließlich stellte diese Entdeckung die Annahme in Frage, auf der die Philosophie der Pythagoreer zunächst beruht hatte, nämlich daß alle Dinge in ganzen Zahlen ausgedrückt werden könnten.

Du bist also in bester Gesellschaft. Augenzwinkern
Doch lesen wir weiter:

Zitat:
M. Stifel schreibt noch in seiner "Arithmetica integra" von 1544: "So wie eine unendliche Zahl keine Zahl ist, so ist eine irrationale Zahl keine wahre Zahl, weil sie sozusagen unter einem Nebel der Unendlichkeit verborgen ist."

Klingt vertraut, oder? Und weiter:

Zitat:
Diesen "Nebel der Unendlichkeit" präzisiert S. Stevin (1548-1620) bereits als unendliche Folge von Dezimalbrüchen, die er durch Intervallschachtelung bei der Lösungapproximation von z.B. entwickelt.
...
Zahlendarstellungen durch unendliche Summen bzw. Produkte wurden jedoch nicht - wie seit Cauchy und Weierstrass üblich - als konvergierende Folgen mit dem Grenzwertbegriff definiert.
...
Neben den "endlichen" und "wirklichen" (reellen) Zahlen, die als Meßwerte Anwendung fanden, schien es also noch "infinitesimale" und "ideale" Zahlen zu geben. Im 19. Jahrhundert wurden sie jedoch als ungenaue und psychologisierende Redeweisen aus der Mathematik verbannt und nach Einführung des Grenzwertbegriffs als überflüssig empfunden.

Viele Grüße
Steffen


Zuletzt bearbeitet von Steffen Bühler am 04. Sep 2021 15:48, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Sep 2021 15:48    Titel: Antworten mit Zitat

Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben:
Und weiter:
Zitat:

...
Neben den "endlichen" und "wirklichen" (reellen) Zahlen, die als Meßwerte Anwendung fanden, schien es also noch "infinitesimale" und "ideale" Zahlen zu geben. Im 19. Jahrhundert wurden sie jedoch als ungenaue und psychologisierende Redeweisen aus der Mathematik verbannt und nach Einführung des Grenzwertbegriffs als überflüssig empfunden.


Die infinitesimale Zahlen haben übrigens in der Physik überlebt und Anwendung gefunden, bis sie Mitte des 20. Jahrhunderts (endlich!) auf ein solides mathematisches Fundament gestellt wurden als hyperreale Zahlen.
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7226

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 04. Sep 2021 16:05    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, auch dazu gibt es einen schönen Abschnitt im erwähnten Buch (S. 255):

Zitat:
Will man also mit unendlich kleinen Größen wie etwa rechnen, so muß man diese offenbar aus einem größeren Bereich als nehmen. Mathematiker früherer Jahrhunderte rechneten mit solchen Größen ganz selbstverständlich so wie mit reellen Zahlen, waren sich aber durchaus über den Unterschied im Klaren. Die Tatsache, dass man sich damals nicht um die Konstruktion eines entsprechenden Bereiches bemühte, sollte nicht weiter verwundern; Konsistenzfragen dieser Art waren damals noch nicht üblich. Es genügte den meisten Mathematikern, daß solche Größen in der mathematischen Intuition existierten und ihre Benutzung zu richtigen Ergebnissen führte. Diejenigen unter den Mathematikern und Philosophen, die den Umgang damit ablehnten, taten dies wohl hauptsächlich deshalb, weil sie einen Widerspruch darin erblickten, diese Größen wie reelle Zahlen zu behandeln, ihnen aber keine "Endlichkeit" zuzuerkennen.
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