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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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 DrStupid Verfasst am: 30. Aug 2021 10:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber das Argument brauche ich doch gar nicht. |
Mir ging es um das "dann und nur dann". Außerdem ist es schon interessant, dass die Wahrscheinlichkeit selbst dann Null sein kann, wenn man von unendlich vielen erdähnlichen Planeten ausgeht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 11:16 Titel: |
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Stimmt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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oxi:)
Gast
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| oxi:) Verfasst am: 30. Aug 2021 11:42 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber das Argument brauche ich doch gar nicht. |
Mir ging es um das "dann und nur dann". Außerdem ist es schon interessant, dass die Wahrscheinlichkeit selbst dann Null sein kann, wenn man von unendlich vielen erdähnlichen Planeten ausgeht. |
Wie kann denn die Wahrscheinlichkeit bei unendlich vielen Kopien Null sein?
Das verstehe ich noch nicht ganz. Dürfte bei Wahrscheinlichkeit Null eigentlich gar keine Erde vorkommen? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 30. Aug 2021 13:01 Titel: |
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| oxi:) hat Folgendes geschrieben: | | Wie kann denn die Wahrscheinlichkeit bei unendlich vielen Kopien Null sein? |
Das ist möglich, wenn sich die Gesamtmenge aller Planeten in unendlich viele Teilmengen mit jeweils unendlich vielen Planeten zerlegen lässt. Wenn jede davon nur endlich viele erdähnliche Planeten enthält, dann ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen davon zu finden, gleich Null. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 13:09 Titel: |
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Das Problem ist wie gesagt die Anwendung des Begriffs Wahrscheinlichkeit.
Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E sei p(E). Dann erwarten bei bei insgs. N Ereignissen
 = N \cdot p(E))
mal das Ereignis E. Das ist einfach die Umkehrung der oben verwendeten Formel, um die Wahrscheinlichkeit über eine tatsächliche Häufigkeit zu definieren.
Bsp. Würfel p(6) = 1/6, wir erwarten also statistisch bei jedem sechsten Wurf eine sechs, d.h. bei insgs. N Würfen
 = N \cdot \frac{1}{6})
1) Nehmen wir nun an, die Wahrscheinlichkeit sei größer Null, d.h.
 > 0)
Dann lautet der Erwartungswert im Grenzfall unendlich vieler unabhängiger Ereignisse
 = \lim_{N \to \infty } N \cdot p(E) = \infty)
2) Nehmen wir nun an, die Wahrscheinlichkeit sei gleich Null, d.h.
 = 0)
Dann lautet der Erwartungswert im Grenzfall unendlich vieler unabhängiger Ereignisse
 = \lim_{N \to \infty} \left[ N \cdot p(E) \right] = \lim_{N \to \infty} 0 = 0)
Es kommt sehr genau darauf an, in welcher Reihenfolge man die Grenzübergänge durchführt.
3) Nun gehe wir umgekehrt vor. Anstatt p(E) a priori festzulegen und daraus Z(E) zu berechnen, ermitteln wir in einem realen Experimentes Z(E) und berechnen daraus p(E). D.h. wir schauen die Planeten der Reihe nach durch, zählen N = 1, 2, 3, ... Planeten, und wann immer wir einen erdähnlichen Planeten sehen, zählen wir Z(E) um Eins hoch. Für so ein Experiment erhalten wir je N die relative Häufigkeiten
 = \frac{Z(E)}{N})
Die Wahrscheinlichkeit p(E) folgt mittels des Gesetzes der großen Zahlen im Grenzfall
 = \lim_{N \to \infty} p_N(E) = \lim_{N \to \infty} \frac{Z_N(E)}{N})
(wir müssen sicherstellen, dass wir das Sample der Planeten fair auswählen; bis vor einiger Zeit war z.B. das Aufspüren erdähnlicher Planeten in der habitablen Zone eines Stern der Klasse G nicht möglich; das wäre natürlich unfair)
Nehmen wir an, der erste Planet sei erdähnlich (logisch, das ist die Erde). Dann der zweite, der vierte, der achte und so weiter.
D.h.
D.h. insbs.
} (E) = k+1)
Wenn wir das beliebig fortsetzen, so folgt
 = \infty)
d.h. bei unendlich vielen Planeten finden wir unendlich viele erdähnliche; jedoch
}(E) = \lim_{k \to \infty} \frac{k+1}{2^k} = 0)
Die erdähnlichen Planeten werden bei immer weiterem Durchmustern immer seltener, so dass ihre relative Häufigkeit gegen Null strebt, obwohl es unendlich viele davon gibt.
Der Einwand dagegen wäre natürlich, dass irgendetwas an dem Sampling nicht stimmt. Wenn man immer fair und zufällig schauen würde, dann müsste man unter den ersten zehn durchgemusterten Planeten genauso viele erdähnliche finden wie unter den zweiten zehn usw. D.h. die Anzahl der erdähnlichen Planeten sollte linear mit der Anzahl aller durchgemusterter Planeten wachsen; das ist hier nicht erfüllt.
Wenn die Anzahl der erdähnlichen Planeten tatsächlich linear mit der Anzahl aller durchgemusterter Planeten wächst, dann gilt
 \simeq p \cdot N)
und p entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass bei zufälliger Auswahl eines Planeten dieser erdähnlich ist. Das ist die übliche Argumentation.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 13:24 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das ist möglich, wenn sich die Gesamtmenge aller Planeten in unendlich viele Teilmengen mit jeweils unendlich vielen Planeten zerlegen lässt. Wenn jede davon nur endlich viele erdähnliche Planeten enthält, dann ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen davon zu finden, gleich Null. |
Kannst du ein Beispiel nennen, wie das funktionieren soll?
Nehmen wir an, wir schreiben die positiven rationalen Zahlen als Menge aller Brüche
und ordnen diese Zahlen wie bei Cantors Diagonalargument an; dann erhalten wir eine Matrix mit unendlich vielen Zeilen und Spalten; das entspricht unendlich vielen Mengen mit unendlich vielen Planeten. Nun setzen wir in jede Zeile und jede Spalte genau eine Eins, ansonsten lauter Nullen; eine Eins signalisiert einen erdähnlichen Planeten. Anschließend ordnen wir die Matrix wie üblich den natürlichen Zahlen zu.
Wie genau folgt nun dein Argument, "dann ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen davon zu finden, gleich Null"? Wie definierst du die "Wahrscheinlichkeit"
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oxi:)
Gast
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| oxi:) Verfasst am: 30. Aug 2021 14:23 Titel: |
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@TomS
Deine Ausführungen klingen einleuchtend, sie sind verständlich. Dass Argument setzt doch aber immer noch voraus, dass es per se unendlich viele Erden gibt, oder?
Aber trotzdem kann ich doch auch rein logisch von einer Erde trotz eines unendlichen Universums ausgehen, oder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 14:59 Titel: |
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| oxi:) hat Folgendes geschrieben: | | Deine Ausführungen klingen einleuchtend, sie sind verständlich. Dass Argument setzt doch aber immer noch voraus, dass es per se unendlich viele Erden gibt, oder? |
Welches Argument genau?
| oxi:) hat Folgendes geschrieben: | | Aber trotzdem kann ich doch auch rein logisch von einer Erde trotz eines unendlichen Universums ausgehen, oder? |
Ja. Wie die o.g. Aussagen zeigen, ist das logisch widerspruchsfrei möglich, und physikalisch ohnehin nicht berechenbar.
Trotzdem bleibt das Argument, dass wenn unsere Galaxie "typisch" ist unter unendlich vielen Galaxien, und unsere Sonne "typisch" unter unendlich vielen Sternen, dann sollte auch unsere Erde "typisch" sein unter unendlich vielen Planeten. Und damit sollte es auch unendlich viele erdähnliche Planeten geben, wobei der Bruchteil immer kleiner wird, je enger man "ähnlich" fasst.
Genauso wenig wie die Physik dies präzise herleiten kann, kann sie es präzise ausschließen ;-)
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oxi:)
Gast
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| oxi:) Verfasst am: 30. Aug 2021 15:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | oxi:) hat Folgendes geschrieben: | | Deine Ausführungen klingen einleuchtend, sie sind verständlich. Dass Argument setzt doch aber immer noch voraus, dass es per se unendlich viele Erden gibt, oder? |
Welches Argument genau?
Ich meinte damit die Berechnung der unendlich vielen ähnlichen Planeten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.
| oxi:) hat Folgendes geschrieben: | | Aber trotzdem kann ich doch auch rein logisch von einer Erde trotz eines unendlichen Universums ausgehen, oder? |
Ja. Wie die o.g. Aussagen zeigen, ist das logisch widerspruchsfrei möglich, und physikalisch ohnehin nicht berechenbar.
Trotzdem bleibt das Argument, dass wenn unsere Galaxie "typisch" ist unter unendlich vielen Galaxien, und unsere Sonne "typisch" unter unendlich vielen Sternen, dann sollte auch unsere Erde "typisch" sein unter unendlich vielen Planeten. Und damit sollte es auch unendlich viele erdähnliche Planeten geben, wobei der Bruchteil immer kleiner wird, je enger man "ähnlich" fasst.
Genauso wenig wie die Physik dies präzise herleiten kann, kann sie es präzise ausschließen ;-) |
Alles klar. Geht man denn bei einem unendlich ausgedehnten Universum auch von unendlich vielen Objekten /Materie darin aus? Und was betrachtest du in diesem Fall als ähnlich? In den Artikeln, die ich gelesen habe, wurde es immer so beschrieben, als seien die ähnlichen Planeten exakte Kopien des unseren, wo Kopien von uns gerade dasselbe machen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 15:31 Titel: |
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In einem unendlich großen, näherungsweise homogenen Universum sieht jeder andere (extrem große) Raumbereich wie der unsrige (mit Millionen von Galaxien) ähnlich aus.
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oxi:)
Gast
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| oxi:) Verfasst am: 30. Aug 2021 15:41 Titel: |
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Na gut, aber ähnlich heißt ja wiederum nicht identisch!
Woher wissen wir denn, dass ein unendliches Universum auch unendlich viel Materie/Objekte beinhaltet? Oder ist das erstmal nur eine Annahme? |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 30. Aug 2021 15:52 Titel: |
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| oxi:) hat Folgendes geschrieben: | | Geht man denn bei einem unendlich ausgedehnten Universum auch von unendlich vielen Objekten /Materie darin aus? Und was betrachtest du in diesem Fall als ähnlich? In den Artikeln, die ich gelesen habe, wurde es immer so beschrieben, als seien die ähnlichen Planeten exakte Kopien des unseren, wo Kopien von uns gerade dasselbe machen. |
Nein, unendlich viele Materie macht schon aus anderen Gründen (unendlich) viel Probleme. Siehe dazu nur mal historisch das Olberssche Paradoxon.
https://de.wikipedia.org/wiki/Olberssches_Paradoxon
Stochastische Betrachtungen sind hier mathematisch auch mit Vorsicht zu formulieren, der Konvergenzbegriff der reellen Analysis lässt sich so nicht ohne weiteres anwenden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_(Stochastik)
Hast du ein stochastisches Argument für die Existenz der Erde mit Wahrscheinlichkeit p>0, dann sind bei unendlich vielen Planeten auch unendlich viele Erden existent.
Aber auch wenn es so nicht sein wird, ist auch schon bei endlicher Materie die vermutete Anzahl für die Existenz von erdgleichen Planeten sehr hoch.
Die Geschichte der Naturwissenschaften ist eine "Kränkung" menschlicher Vorstellungen etwas Besonderes zu sein. Die Erde ist da durchaus kein "auserwählter" Planet auf dem besondere "auserwählte" Kreaturen existieren. Aber das Universum ist auch sehr gross, so dass ein Kontakt und Kenntnis voneinander sehr unwahrscheinlich ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 16:01 Titel: |
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Ähnlich heißt aber auch, identisch bis auf einige Unterschiede.
Wir wissen nicht, was sich jenseits des Sichtbarkeitshorizontes abspielt. Und wir sehen, je weiter wir “nach draußen” blicken, desto weiter in die Vergangenheit, können aber nicht wissen, wie sich diese Gebiete mit der Zeit entwickeln werden. D.h. wir wissen nicht, ob sich jetzt - was aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit und der endlichen Entfernung die wir nach draußen schauen für uns nicht sichtbar ist - Muster, Strukturen, Galaxien und Planetensysteme usw. endlos im Universum wiederholen.
Wir nehmen jedoch an, dass es keinen vernünftigen Grund dafür gibt, zu denken, wir würden in einer besonderen Region des Universums leben. Von daher sollte da draußen schon alles mehr oder weniger ähnlich sein.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 16:03 Titel: |
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Das ist im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie absolut kein Problem, das Olberssche Paradoxon daher irrelevant bzw. nicht zutreffend.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 30. Aug 2021 16:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kannst du ein Beispiel nennen, wie das funktionieren soll? |
Angenommen die rationalen Zahlen seien die Gesamtmenge und die Teilmengen sind einseitig offne Intervalle zwischen jeweils zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen:
Dann enthält die Gesamtmenge unendliche viele dieser Teilmengen und jede dieser Teilmengen unendlich viele rationale Zahlen. Aber es gibt in jeder Teilmenge nur ein Element  mit
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie genau folgt nun dein Argument, "dann ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen davon zu finden, gleich Null"? |
Wenn ich aus einer Teilmengen willkürlich ein Element auswähle, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um das jeweilige Element handelt, gleich Null.
Das gilt nicht nur mit einem einzigen Element, das einem bestimmten Kriterium entspricht, sondern auch mit endlich vielen. Solange fast alle Elemente nicht dem Kriterium entsprechen, wird man bei einer endlichen Zahl von Versuchen immer nur Nieten ziehen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie definierst du die "Wahrscheinlichkeit" |
Die Wahrscheinlichkeit entspricht dem Verhältnis zwischen der Anzahl der Elemente mit der gesuchten Eigenschaft und der Gesamtzahl aller Elemente in der jeweilen Menge.
Zuletzt bearbeitet von DrStupid am 30. Aug 2021 16:18, insgesamt einmal bearbeitet |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 30. Aug 2021 16:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das ist im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie absolut kein Problem, das Olberssche Paradoxon daher irrelevant bzw. nicht zutreffend. |
Ja, das stimmt in einem dynamischen Universum. Aber bei unendlichen Massen bekommt man auch in der ART eine Divergenz. |
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oxi:)
Gast
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| oxi:) Verfasst am: 30. Aug 2021 16:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ähnlich heißt aber auch, identisch bis auf einige Unterschiede.
Wir wissen nicht, was sich jenseits des Sichtbarkeitshorizontes abspielt. Und wir sehen, je weiter wir “nach draußen” blicken, desto weiter in die Vergangenheit, können aber nicht wissen, wie sich diese Gebiete mit der Zeit entwickeln werden. D.h. wir wissen nicht, ob sich jetzt - was aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit und der endlichen Entfernung die wir nach draußen schauen für uns nicht sichtbar ist - Muster, Strukturen, Galaxien und Planetensysteme usw. endlos im Universum wiederholen.
Wir nehmen jedoch an, dass es keinen vernünftigen Grund dafür gibt, zu denken, wir würden in einer besonderen Region des Universums leben. Von daher sollte da draußen schon alles mehr oder weniger ähnlich sein. |
Na klar, bei ähnlichen Dingen sind viele Eigenschaften identisch, aber eben nicht alle! Wenn man aber von exakten Kopien spricht, dann können die nicht nur "ähnlich " sein, sondern müssten identisch sein.
Bestände eigentlich auch die Möglichkeit, dass das Universum nicht unendlich ist, aber trotzdem expandiert? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 30. Aug 2021 16:21 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Aber bei unendlichen Massen bekommt man auch in der ART eine Divergenz. |
Nicht, wenn sie sich auf einen unendlichen Raum verteilt. Das Problem beschränkt sich also auf die Urknallsingularität und dass es da noch etwas zu tun gibt, ist bekannt. |
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oxi:)
Gast
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| oxi:) Verfasst am: 30. Aug 2021 16:23 Titel: |
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| Zitat: | Hast du ein stochastisches Argument für die Existenz der Erde mit Wahrscheinlichkeit p>0, dann sind bei unendlich vielen Planeten auch unendlich viele Erden existent.
Aber auch wenn es so nicht sein wird, ist auch schon bei endlicher Materie die vermutete Anzahl für die Existenz von erdgleichen Planeten sehr hoch.
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Auf der Vorseite hat TomS gezeigt, dass bei diesem Argument bereits im Vorhinein die Annahme vorliegt, dass es unendlich erdähnliche Planeten gibt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 16:30 Titel: |
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| oxi:) hat Folgendes geschrieben: | | Bestände eigentlich auch die Möglichkeit, dass das Universum nicht unendlich ist, aber trotzdem expandiert? |
Ja.
Das endliche, flache und in sich geschlossene Universum haben wir zu Beginn des Threads diskutiert.
Und das kann ganz genauso expandieren wie das unendliche.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Aug 2021 16:30, insgesamt einmal bearbeitet |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 30. Aug 2021 16:30 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Aber bei unendlichen Massen bekommt man auch in der ART eine Divergenz. |
Nicht, wenn sie sich auf einen unendlichen Raum verteilt. Das Problem beschränkt sich also auf die Urknallsingularität und dass es da noch etwas zu tun gibt, ist bekannt. |
Das ist schon richtig. Nur muss man nochmals eine Singularität von endlicher Masse von der mit unendlicher Masse unterscheiden. Das sind zwei verschiendene Betrachtungen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 16:33 Titel: |
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Für Zeiten größer Null gibt es bei unendlicher Masse in einem unendlich ausgedehnten Universum keinerlei Probleme, die Modelle sind seit ca. 100 Jahren bekannt.
Dass die ART generell Singularitäten entwickelt, wissen wir seit Penrose und Hawking; aber das spielt hier wohl kaum eine Rolle.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 30. Aug 2021 16:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Dass die ART generell Singularitäten entwickelt, wissen wir seit Penrose und Hawking; aber das spielt hier wohl kaum eine Rolle. |
Das kommt darauf an, ob man ein offenes oder geschlossenes Modell der Entwicklung des Kosmos betrachtet.
Wie so ein "offenes" Modell ausschaut, ist mir aber völlig unklar. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 16:52 Titel: |
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Nee, das gar damit nichts zu tun.
Ein offenes, flaches, euklidisches Universum als Grenzfall k = 0 hat ebenfalls eine Urknallsingularität:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichungen
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 30. Aug 2021 16:56 Titel: |
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Das ist schon richtig, bei unendlicher Energiedichte in der Singularität.
Gilt das auch bei unendlicher Energie in der Singularität? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 16:57 Titel: |
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Letzteres verstehe ich nicht.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 30. Aug 2021 17:05 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Letzteres verstehe ich nicht. |
Der Energie-Impuls-Tensor divergiert in der Urknallsingularität. Er beinhaltet die Energiedichte.
Was ist, wenn die (Ruhe-) Energie selbst divergiert, gelten dann diese Lösungen des "Weltmodells" von Friedmann? Ist die so beschriebene Entwicklung des Kosmos damit verträglich? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2021 18:00 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Der Energie-Impuls-Tensor divergiert in der Urknallsingularität. Er beinhaltet die Energiedichte. |
Ja.
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Was ist, wenn die (Ruhe-) Energie selbst divergiert ... |
Welche Energie? Die Gesamtenergie - insofern man sie vernünftig definieren kann? Von Ruheenergie kann man ja kaum sprechen.
Nehmen wir als einfaches Beispiel das flache Universum: wenn die Gesamtenergiedichte größer Null ist, dann ist die Gesamtenergie eines unendlichen (endlichen, räumlich geschlossenen) Universums unendlich (endlich).
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | ... gelten dann diese Lösungen des "Weltmodells" von Friedmann? Ist die so beschriebene Entwicklung des Kosmos damit verträglich? |
Ja.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 31. Aug 2021 16:40 Titel: |
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Mal eine kurze Skizze wie man das berechnet.
Wir gehen aus von einem Friedmann-Universum mit der Metrik
^{-1}d\zeta^2 + \zeta^2 \, d\Omega^2\right] \; \stackrel{k = 0}{\longrightarrow} \; dt^2 - R^2 \, \left[d\zeta^2 + \zeta^2 \, d\Omega^2\right] )
R(t) bezeichnet den Krümmungsradius, zeta die dimensionslose Radialkoordinate, Omega fasst die Winkelkoordinaten zusammen.
Die rechte Seite gilt, wenn wir uns auf k=0 d.h. auf ein flaches Universum beschränken.
Für die Fälle eines materie-, strahlung- und vakuum-dominierten Universums hängen Energiedichte rho hängt und Krümmungsradius R für k = 0 wie folgt zusammen:
Der Krümmungsradius verhält sich dabei wie
^{2/3} )
^{1/2})
\right] )
Dabei sind die Gleichungen so skaliert, dass sich für eine Zeit t_0 (z.B. heute) der Krümmungsradius R_0 (heute) ergibt.
Für das Volumenelement gilt
Dabei ist xi eine dimensionslose kartesische Koordinate.
Nun kompaktifizieren wir das Universum, indem wir einen Würfel mit fester Kantenlänge  nutzen und gegenüberliegende Flächen verkleben. Für das Volumen V[U] dieses Universums U gilt
Für den Energieinhalt E[U] folgt
Damit folgt für die o.g. Fälle
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TomS1
Gast
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| TomS1 Verfasst am: 01. Sep 2021 17:41 Titel: |
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Ja sehr schön, hast du die Symetrie denn schon gefunden? |
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Sir_Isaac_Newton
Gast
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| Sir_Isaac_Newton Verfasst am: 19. Nov 2021 03:27 Titel: |
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Hats denn mittlerweile Erkenntnise über den "Rand" des Universums sofern es den gibt dürfte der ja eine Krümmung aufweisen das müsste sich doch messen lassen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 19. Nov 2021 06:25 Titel: |
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Ich denke, du hast das Argument der Homogenität nicht verstanden. Es gibt da keinen speziellen Rand, der irgendwo lokalisiert wäre und an dem eine Krümmung vorliegen würde.
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Sir_Isaac_Newton
Gast
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| Sir_Isaac_Newton Verfasst am: 19. Nov 2021 16:20 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke, du hast das Argument der Homogenität nicht verstanden. Es gibt da keinen speziellen Rand, der irgendwo lokalisiert wäre und an dem eine Krümmung vorliegen würde. |
Das denke ich schon, wenn das das Universum nicht unendlich ist muss es ja begrenzt sein und eine Kugelform oder zumindest so eine Art Kartoffel liegt ja nahe bei einer Explosion wie dem Urknall. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 19. Nov 2021 16:52 Titel: |
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| Sir_Isaac_Newton hat Folgendes geschrieben: | | Das denke ich schon, wenn das das Universum nicht unendlich ist muss es ja begrenzt sein |
Ein Kreis ist auch endlich und hat trotzdem keinen Anfang und kein Ende. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 19. Nov 2021 17:33 Titel: |
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| Sir_Isaac_Newton hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke, du hast das Argument der Homogenität nicht verstanden. Es gibt da keinen speziellen Rand, der irgendwo lokalisiert wäre und an dem eine Krümmung vorliegen würde. |
Das denke ich schon, wenn das das Universum nicht unendlich ist muss es ja begrenzt sein und eine Kugelform oder zumindest so eine Art Kartoffel liegt ja nahe bei einer Explosion wie dem Urknall. |
Für die Kugeloberfläche S² oder höherdimensionale Analoga wie die S³ hast du tatsächlich recht, diese sind immer positiv gekrümmt.
Aber das ist auch nicht die Kompaktifizierung, die die Mathematiker betrachten. Du kannst es dir zwar nicht vorstellen, aber man kann rein mathematisch ein Rechteck zur Oberfläche eines 2-Torus T² kompaktifizieren, so dass diese Fläche weiterhin flach ist; dies ist unmöglich, wenn du es dir innerhalb des 3-dim. Raumes vorstellst, aber genau das nutzen die Mathematiker auch nicht.
Die Idee ist simpel: betrachte ein Rechteck mit Seitenlängen a und b; zeichne ein entsprechendes Gitter auf eine Ebene; führe Koordinaten x,y ein und identifiziere beliebige Punkte
 \sim (x + ma, y+nb))
Wenn z.B. a=1 und b=2, dann bezeichnen die Koordinaten
 \sim (1.7 = 0.7+1, 0.3) \sim (0.7, -1.7=0.3-2))
den selben Punkt.
Mehr wird nicht gefordert.
Man kann das auf 3-dim. Räume übertragen, die dann flach, homogen und endlich (kompakt) sind.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sir_Isaac_Newton
Gast
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| Sir_Isaac_Newton Verfasst am: 19. Nov 2021 18:04 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: |
Ein Kreis ist auch endlich und hat trotzdem keinen Anfang und kein Ende. |
Ja und der hat eben eine Krümmung das ist es ja was ich sage
TomS, das ist doch kein mathematisches Problem, die Gleichungen von Einstein beschreiben ja die Reale Welt möglichst genau und es ist nicht andersherum das die Welt nach Mathematik enstanden ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 19. Nov 2021 18:48 Titel: |
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| Sir_Isaac_Newton hat Folgendes geschrieben: | | TomS, das ist doch kein mathematisches Problem, die Gleichungen von Einstein beschreiben ja die Reale Welt möglichst genau und es ist nicht andersherum das die Welt nach Mathematik enstanden ist. |
Der nach dieser Methode konstruierte 3-Torus ist eine zulässige Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für ein flaches Universum; und für genügend großen „Umfang“ ist diese Lösung mit allen Beobachtungsdaten verträglich.
Der 3-Torus ist dabei nicht mehr oder weniger physikalisch als der 3-dim. euklidische Raum.
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Sir_Isaac_Newton
Gast
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| Sir_Isaac_Newton Verfasst am: 19. Nov 2021 20:21 Titel: |
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Wir werdens wohl nie erfahren letzlich ist es doch so das wir einen zu kleinen Teil des Universums beobachten können und das Universum einfach zu groß ist um da eine Krümmung zu sehen aber ich weigere mich in einer komisch verdrehten Hohlwurst zu leben auch wenn das mathematisch möglich ist. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 19. Nov 2021 20:50 Titel: |
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| Sir_Isaac_Newton hat Folgendes geschrieben: | | Ja und der hat eben eine Krümmung das ist es ja was ich sage |
Eigentlich hast Du über einen Rand und eine Form des Universums gesprochen und über den Urknall als Explosion. Aber selbst mit der Krümmung wird es nicht besser. Die ist in der in der eindimensionalen Welt des Kreises nicht messbar. Die Krümmung eines Torus ist für die auf seiner Oberfläche lebenden Flachwesen auch nicht unbedingt erkennbar. Dass das genauso für einen Hypertorus gilt hat TomS Dir ja schon gesagt.
Aus einer Endlichkeit des Universums folgt also keineswegs, dass es einen Rand hat oder gekrümmt ist. Tatsächlich ist aber noch nicht einmal die Endlichkeit gesichert. Die derzeit verfügbaren Messungen lassen sich am einfachsten am einfachsten mit einem unendlichen Universum erklären. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18025
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2021 11:26 Titel: |
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| Sir_Isaac_Newton hat Folgendes geschrieben: | | … ich weigere mich in einer komisch verdrehten Hohlwurst zu leben auch wenn das mathematisch möglich ist. |
Warum gefällt dir E³ oder S³ besser als T³ ?
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