Messungen an einem Spin-1 System

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Angenommen ich habe einen Zustand mit Spin-1. Dann gilt ja für den Operator, wie bei jedem Drehimpuls

Die Komponenten untereinander vertauschen nicht, also

Ich habe den Verdacht, dass aber bei L=1

ist. Jedenfalls ergibt sich das aus den Matrix Repräsentationen (das ist scheinbar eine von vielen)

Nun die Fragen:

1) Ist eher eine Nebenfrage: Wie kommt man eigentlich auf diese Matrixdarstellungen? Was legt die Dimension denn fest? Es ist irgendwie plausibel, denn bei L=1 hat man drei Eigenwerte in einer bestimmten Richtung und daher auch die Dimension 3. Bei L=3/2 sind es vier, usw. Dennoch fällt das alles irgendwie vom Himmel...

2) Wieso vertauschen bei L=1 die Quadrate der Komponenten, während das allgemein nicht der Fall ist? Wie kann man das unabhängig von der Repräsentation durch eine Matrix algebraisch oder gar physikalisch begründen?

3) Was bedeutet das physikalisch? der einzige Eigenwert von L² ist 2 - so muss es ja sein wegen L(L+1). Die Eigenwerte von

sind 0 oder 1. Da

und dieser Operator kompatibel mit den drei anderen ist, müssen von drei Messungen

,

immer genau zwei das Ergebnis 1 und eine dritte das Ergebnis 0 liefern. Habe ich also zwei gemessen, folgt automatisch das Ergebnis der dritten Messung. Irgendwie haut es mir hier die Schädeldecke raus ... grübelnd

Scheinbar kann man ja diese drei Komponentenquadrate unabhängig (z.B. hintereinander) messen, da die drei Operatoren ja kommutieren (sehe ich das richtig?). Was ist aber eine Messung des x,y,z-Quadrats überhaupt? ich könnte ja genausogut

,

messen, dabei -1, 0 oder 1 erhalten, diese Ergebnisse quadrieren und als Ergebnis ausweisen. Diese drei Messungen sind aber nicht kompatibel, da die Komponenten des Drehimpulses ja nicht vertauschen. Und so würde daher je nach Reihenfolge etwas unterschiedliches rauskommen. Wie sonst kann man aber das Quadrat "messen"? Was bedeutet es physikalisch, dass das Ergebnis der dritten Messung feststeht, sobald ich zwei gemessen habe? Ich verstehe zwar die Mathematik, aber diese will mir physikalisch nichts sagen ...

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

war da nicht gerade eine Antwort von TomS?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Ja, die war aber nicht gut - sorry.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich habs im Auto an der Kreuzung kurz überflogen. Jetzt sitz ich im Büro: du schriebst, dass die Komponentenquadrate von L immer vertauschen und zeigtest diese Rechnung für den Kommutator. Meintest du das nur für L=1 oder allgemein? Letzteres kann ich nämlich nicht nachvollziehen. Oder meintest du ohnehin nur für Drehimpuls L=1 ? Wie war das gemeint? Schon alleine das würde mich interessieren...

Ich lese gerade eine Arbeit im Zusammenhang mit dem Kochen-Specker Theorem und versuche die Lektüre zu verstehen - das ist der Hintergrund. Wahrscheinlich bin ich da aber eh zu dumm...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Zunächst gilt wg. (15 ff) aus

http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf

für j = 1/2

OK, vergiss das, es gilt nur für j = 1/2, nicht unbedingt für j > 1/2, und ist damit für deine Frage nutzlos.

Sorry!

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die Matrizen für L=3/2 vertauschen aber nicht:

Wenn ich das ausrechne ist

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Ich befürchte, du hast Recht.

Mein Fehler, die o.g. Aussage gilt nicht für beliebige j sondern immer nur für die Fundamentaldarstellung, d.h. für su(2) natürlich j = 1/2.

Ich korrigiere das.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

So, ich denke, der folgende Ansatz ist allgemein gültig für beliebige Darstellungen beliebiger su(N) mit N = 2,3...:

Für die Generatoren R einer beliebigen Darstellung gilt

Für su(2) entsprechen die Strukturkonstanten f gerade den epsilon-Symbolen.

Mittels der üblichen Regeln für Kommutatoren gilt

Für die rechte Seite folgt

Aufgrund der Antisymmetrie der Strukturkonstanten f in den Indizes a,c sowie der Symmetrie des Klammerausdrucks gilt für jeden einzelnen Summanden

d.h.

für beliebige Darstellungen beliebiger su(N) Algebren, und damit speziell für die Darstellungen j = 1/2, 1, 3/2 ... der su(2).

Zork · Gast

Aber schnudl hatte doch schon ein Gegenbeispiel gegeben. ?(

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Und ich einen Beweis.

Was folgt daraus? Einer von uns beiden hat Unrecht.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Ja, der Beweis ist auch falsch. Für fixes a und b gibt es nur einen Summanden, z.B.

Das ist nicht null.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Stimmt.

Zweiter Bock meinerseits grübelnd