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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
Wohnort: Heilbronn
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 MMchen60 Verfasst am: 19. Apr 2021 11:31 Titel: Optimierung eines schiefen Wurfs |
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Hallo zusammen, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Eine Person steht am Fuß eines Berges, der einen geraden Abhang darstellt und einen Winkel  mit der horizontalen bildet.
In welchem Winkel  zur Horizontalen sollten Körper bei einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit v_0 geworfen werden, so dass die Entfernung d, in der sie weiter oben am Berg landen, möglichst groß ist.
Ich habe mal eine Skizze hierzu gemacht, siehe folgende Abbildung:
Als Ansatz habe ich mal zunächst die Schnittpunktbestimmung zwischen Hanggerade und Wurfparabel genommen, um dann mit dem Satz des Pythagoras die Streckenlänge d auszurechnen, habe dann also  ) . Das könnte man dann ableiten und die Ableitung auf Null setzen.
Das führt jedoch zu einem fast unmöglichen Ausdruck, wie in folgender Berechnung dargestellt, und ich frage mich, ob das nicht viel einfacher geht, komme aber nicht drauf. Vielleicht hilft ja hier jemand weiter ? Danke.
Bilder aus externem Link als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden. Steffen
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Apr 2021 12:44 Titel: |
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 - \frac{g}{2\cdot v_0^{2}\cos^{2}(\alpha ) }\cdot x^{2} )
 )
 =\tan(\alpha ) - \frac{g}{2\cdot v_0^{2}\cos^{2}(\alpha ) }\cdot x )
 )
 =\tan(\alpha ) - \frac{g}{2\cdot v_0^{2}\cos^{2}(\alpha ) }\cdot d \cdot \cos(\varphi ) )
 = \frac{2\cdot v_0^{2} }{g\cdot \cos(\varphi ) }\cdot (\tan(\alpha) - \tan(\varphi ))\cdot \cos^{2}(\alpha ) ) )
=\frac{2\cdot v_0^{2} }{g\cdot \cos(\varphi ) }\cdot ( \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha ) - \tan(\varphi )\cdot \cos^{2} (\alpha )) )
Mach Du den Rest ...
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
Wohnort: Heilbronn
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| MMchen60 Verfasst am: 19. Apr 2021 13:24 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Mach Du den Rest ... |
Das mache ich doch gerne, danke für den Tipp.
Weißt du eventuell wer dieser Steffen ist? Ich hätte da gerne mal gefragt, warum ich keine externen Links von meiner eigenen Seite einbinden darf.
Viele Grüße
M. Müller
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7242
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| Steffen Bühler Verfasst am: 19. Apr 2021 13:26 Titel: |
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| MMchen60 hat Folgendes geschrieben: | | Ich hätte da gerne mal gefragt, warum ich keine externen Links von meiner eigenen Seite einbinden darf. |
Weil Deine Seite in zwanzig Jahren vielleicht nicht mehr existiert. Dann haben spätere Physikerboard-Benutzer ein Problem.
Viele Grüße
Steffen
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Apr 2021 13:52 Titel: |
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[quote="MMchen60"] | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Weißt du eventuell wer dieser Steffen ist? I
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Steffen ist einer der Moderatoren, die das Forum betreuen.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Apr 2021 14:09 Titel: |
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Gestrichen weil Quatsch.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 19. Apr 2021 19:51, insgesamt einmal bearbeitet |
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
Wohnort: Heilbronn
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 19. Apr 2021 17:41 Titel: |
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| MMchen60 hat Folgendes geschrieben: | Allerdings habe ich nach erfolgter Berechnung nach deiner Methode und gebildeter Ableitung Probleme mit der Auflösung der folgenden Gleichung:
+tan(\Phi) \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha) -0,5=0 ) |
Da ist wahrscheinlich beim Ableiten ein Fehler passiert. Es sollte sich die folgende Gleichung ergeben:
Nun können die folgenden Beziehungen verwendet werden:
,\quad 2\cos\alpha\,\sin\alpha=\sin(2\alpha))
Am Schluss kann noch verwendet werden, dass
=\frac{\pi}{2}-x)
Das folgt aus
=\tan(\frac{\pi}{2}-x))
Weiter kann Probleme bereiten, dass falls x eine Lösung der Gleichung tan(x)=y ist, auch x+pi eine Lösung ist. Für den gesuchten Winkel alpha muss gelten
Zuletzt bearbeitet von Myon am 19. Apr 2021 20:35, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Apr 2021 18:19 Titel: |
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@Myon
Du warst schneller.
Ich komme auf
alpha = 1/2* arctan(-1/tan phi)
alpha = - 29.5°
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 19. Apr 2021 18:42, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
Wohnort: Heilbronn
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| MMchen60 Verfasst am: 19. Apr 2021 18:36 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | @Myon
Du warst schneller.
Ich komme auf
alpha = 1/2* arctan(-1/tan phi) |
Mmmh, irgendetwas kann da auch nicht sein. Wenn ich mir meine Grafiken anschaue, dann ist \Phi=31 ° beim Maximum etwa die Hälfte von \alpha= 62°.
Wenn ich jetzt aber rechne }\right )) , kommt -29,5 ° raus. Mache ich aus dem "-" ein "+" sind es +29,5 °. Damit wäre \alpha < \Phi, was nicht sein kann.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 19. Apr 2021 20:48 Titel: |
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Ja, hier macht sich bemerkbar, was ich oben angedeutet habe, nämlich dass der Tangens eine periodische Funktion ist. Also, nach Nullsetzen der Ableitung erhält man die Gleichung
=-\frac{1}{\tan\varphi})
und
=-\frac{1}{2}\arctan(\frac{1}{\tan\varphi}))
Hier wird ein Rechner einen negativen Wert ausgeben für Winkel phi>0. Da aber gilt
=\tan(x+\pi))
ist die Lösung der 1. Gleichung nicht eindeutig, sondern für jedes ganzzahlige n ist
+\frac{n\pi}{2})
eine Lösung. Bezogen auf diese Aufgabe muss n so gewählt werden, dass alpha im Intervall (phi, pi/2) liegt.
Mit dem Hinweis im letzten Beitrag
erhält man die schönere Lösung
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MMchen60
Anmeldungsdatum: 31.01.2021
Beiträge: 207
Wohnort: Heilbronn
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| MMchen60 Verfasst am: 20. Apr 2021 10:34 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
......
Mit dem Hinweis im letzten Beitrag
erhält man die schönere Lösung
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Hallo vielen Dank. Ich habe das jetzt mal nachvollzogen und bin ebenfalls auf die o.a. Lösung gekommen. Die Aufgabe stammt aus dem Physik Lehr- und Übungsbuch von Douglas C. Giancoli aus dem Pearson Verlag. In den Lösungen ist dann auch die obige Formel für \alpha angegeben. Die Weiterführung und "schönere Lösung" wie von dir angeführt, muss ich mir jetzt noch einmal verinnerlichen. Dennoch, vielen Dank.
M. Müller
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 23. Apr 2021 07:28 Titel: |
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| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: |
Weil Deine Seite in zwanzig Jahren vielleicht nicht mehr existiert. Dann haben spätere Physikerboard-Benutzer ein Problem.
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Deshalb dürfen wir uns beim Schreiben auch weiterhin die animierten und blinkenden 90er-Jahre-Emoticons (oder Smilies, wie sie damals hießen) angucken. Wäre ja schlimm, wenn in 20 Jahren einer den mit der Kippe auf dem Klo in einen alten Beitrag sieht, und nicht weiß wie man den macht.
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7242
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| Steffen Bühler Verfasst am: 23. Apr 2021 09:59 Titel: |
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| A.T. hat Folgendes geschrieben: | | die animierten und blinkenden 90er-Jahre-Emoticons |
...sehe ich zum Glück nicht, weil ich Java und Bilder hier abschalte.
Ansonsten arbeiten wir gerade an einem Update des Boards. Nur Geduld.
Viele Grüße
Steffen
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