Kondensator aufladen, Energiesatz, Maschenregel

fragec · Anmeldungsdatum: 15.09.2006 Beiträge: 4

Hallo,

gegeben die einfache Schaltung S aus Spannungsquelle Q mit Spannung U, parallel dazu in Reihe ein Widerstand R und der Kondensator C:
f1 sei das Potenzial am Pluspol von Q, an diesen Knoten K1 ist angeknüpft R, der zum Pot. f2 an K2 führt, daran hängt C der zu K0 mit f0 führt und Minuspol von Q sei mit 0 (V) Volt.

Aufgabe: systematisch die Spannungskurve von C herleiten mittels Kirchoff' sche Sätze.
1.) Zuerst Maschenregel (Uhrzeigersinn): (f1-f0) + (f2-f1) + (f0-f2) = U + UR + UC = 0 (*)
2.) Knotenregel an K1: IR + IC = 0 => IR = -IC ist richtig, denn (per def. fliesse Strom von + nach -)
Strom IR flißt von R in K1 "hinein" und der Strom IC für C aus K1 "heraus". Dies drückt sich im Vorzeichen aus.

Bauteilgesetze: 3.) U/I = R, 4.) Q/U = C , also insg. 4 Gl. für UC,IC,UR und IR.

Frage1.:
Gl. (*) wird überall in der Literatur zu U = UR + UC angegeben ! Dies ist aber eine andere Gleichung mit anderem Vorzeichen und daher anderer Lösung.
Wie kommt das ?

Frage2.:
durch Punkt (2) kann ein Strom durch den anderen ersetzt werden z. Bsp.: UR = R*IR = -R*IC.
Daraus folgt aber für den homogenen Teil der DGL kein abfallendes Exponentialgesetz, da ~exp(const*t =positiv).
Wie wendet man dann die Knotenregel an?

P.S.: U soll zunächst Gleispannung sein und C aufgeladen werden.
Also wie kommt man zur richtigen Ausgangsgleichung, aus der die richtige DGL folgt?
Danke

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die anderen Vorzeichen kommen dadurch zustande, dass man sich heraussuchen kann, welche Spannungsrichtung und welche Stromrichtung man als positiv definieren möchte, wenn man danach entsprechend richtig damit rechnet und die gewählten Definitionen konsequent auf alles anwendet.

Bevor man also die jeweiligen zugehörigen Standardformeln hernimmt, muss man sich jeweils klarmachen, welches Vorzeichen die Größen darin nach der aktuell gewählten Definition dementsprechend haben müssen.

Dann ergeben sich als Ergebnis dieselben Zeitabhängigkeiten für die Spannungen und Ströme.

Zum Beispiel konkreter: Deine Ausgangsgleichung und deine Differentialgleichung mögen in den Vorzeichen unterschiedlich aussehen, sobald du aber weißt, dass zum Beispiel ein Strom, der da drinsteht, laut Definition immer eine negative Größe ist, löst sich das ganze in bekanntes Wohlgefallen auf.

fragec · Anmeldungsdatum: 15.09.2006 Beiträge: 4

hallo markus

"......welche Stromrichtung man als positiv definieren möchte....".

Sowohl nach Punkt1, wie auch nach Punkt2 wird deiner Anmerkung Rechnung getragen. Bsp.: R*IR = -R*IC sagt nur aus, dass IR entgegengesetzt zu IC ist. Unabhängig davon müssen die Strukturen bei Änderung eines Vorzeichens eigenständig weitere "Vorzeichen ändern", sodass die Lösung (DGL) invariant geg. derartige Vorzeichenänd. bleibt.
Das macht die Struktur der Gleichungen und nicht der, der sie aufstellt.
Folglich habe ich anscheinend die Gl. falsch aufgestellt (Wo liegt der Fehler in meiner Aufstellung?).
Die Maschenregel ist mehr als Standard: Energiesatz! Allgemeiner geht es wohl nicht.

"... sobald du aber weißt, dass zum Beispiel ein Strom....". Weiss ich aber nicht, drum stell ich ja die Gl. auf.
Bspw. nehme ein riesengrosses Netzwerk und darin einen Knoten in den drei Widerstände münden. Klar gilt, dass die Summe über die drei Ströme im Knoten Null sein muss. Welcher Strom von den drei reinfließt wirst Du nicht wissen können. Ob der dann rein oder rausgeht ist egal. Es geht nur um den, der entgegengesetzt zu den beiden anderen ist (Symmetrie). Und das liefert die Lös. des Gl.-Systems.

Wo liegt der Fehler in meiner Aufstellung?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ah, okay, wenn ich genau hinsehe, dann hast du wohl die Richtungen der Spannungen und Ströme nicht absichtlich so gewählt, wie sie in den folgenden Gleichungen stehen, sondern dabei wohl einfach nur aus Versehen ein paar Vorzeichenfehler gemacht:

fragec · Anmeldungsdatum: 15.09.2006 Beiträge: 4

Für mein besseres Verständnis ersetzen wir Q durch einen Wiederstand R0 an dem 10V abfallen sollen (K1=10V, K0=0V).
C wird durch einen Widerstand mit R2 ersetzt mit R2=R. An beiden fällt also 5V ab.

Maschenregel besagt: f1-f0 = 10 , f2-f1 = -5 , f0-f2 = -5 u.
Potenziale f1=10 , f2=5 , f0 =0. Folgt (10) + (-5) + (-5) = 0 .
1.) Ist daran etwas falsch? Eine Stromrichtung wurde nicht definiert.

Du sagst, es muss gelten: (+IR) + (- IC) = 0 . Das Minus drückt die Richtung bzgl. dem Knoten aus.
An meinem Bsp. von drei R in einen Knoten: (?I1) + (?I2) + (?I3) = 0 ,
nach welchen Kriterien würdest Du da die Minuszeichen setzen ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

fragec · Anmeldungsdatum: 15.09.2006 Beiträge: 4

Um zum Abschluss zu kommen (vielen Dank für Deine Antworten), kann man also sagen,
dass zum Berechnen der Spannungen/ Ströme in einem Netzwerk benötigt wird die

a) Maschenregel wie in (1) und
b) sozusagen eine verallgemeinerte Knotenregel
(+/-)|I1| + (+/-)|I2| + (+/-)|I3| = 0,
|...| sollen die Beträge sein, und
c) ein Schema über die (teilweise beliebig gewählten) Laufrichtungen, welches die Vorzeichen festlegt.

mit (a) und (b) alleine könnten nicht die Stromrichtungen berechnet werden.
Die Richtungen müssen durch Hinschauen festgelegt werden?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden smile

Meistens ist es natürlich nicht nötig, die Strompfeilrichtung beliebig zu wählen, weil man (evtl. mit ein bisschen Übung) bei einfachen Schaltbildern sehr schnell sieht, in welche Richtung der Strom fließt, wenn er von plus nach minus fließen soll.

Also wird man meist in einfachen Schaltbildern die Strompfeilrichtungen einfach alle so wählen, dass sie von plus nach minus zeigen, und oft dann sogar gar nicht mehr explizit dazusagen, dass man die Stromrichtungen alle "normal" gewählt hat smile