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DGL Strömung in veränderlichem Querschnitt
 
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Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 11. Feb 2021 11:11    Titel: DGL Strömung in veränderlichem Querschnitt Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich versuche, eine eindimensionale DGL für den Fall aufzustellen, dass ein inkompressibles Fluid durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt strömt. Mein Ausgangspunkt ist, dass der Fluss des Geschwindigkeitsfeldes durch einen beliebigen Abschnitt des Rohres 0 sein muss. Hierauf kann ich jedoch nicht direkt den Satz von Gauss-Ostrogradski anwenden, da die Änderung des Geschwindigkeitsfeldes in radialer Richtung aufgrund des veränderlichen Querschnittes nicht zu vernachlässigen ist (dv/dr!=0). Sprich ich erhalte eine 2-dimensionale DGL. Welche Vereinfachung muss ich hier treffen, um eine rein in Achsrichtung auszuwertende DGL zu finden?

Meine Ideen:
Ich weiß bereits aus anderen Aufgaben, dass das Endergebnis so aussehen müsste:
div(v*A)=0 bzw. d(v*A)/dx=0
Nur sehe ich noch nicht, wie man aus der allgemein richtigen Aussage über das Flussintegral dann dahin kommt.
Die Musterlösungen bei uns (blöde Ingenieure) rechnen das mit Infinitesimalzahlen, was ich sehr unzufriedenstellend finde. Also auch wenns kompliziert wird, eine mathematisch korrekte Erklärung wäre mir am liebsten!
Danke schon mal im Voraus!
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 1887

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 11. Feb 2021 13:06    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn das Fluid inkompressibel ist, gilt die Kontinuitätsgleichung:

A*v = const

bzw.

d(A*v)/dx = 0

wobei A die Querschnittsfläche ist und v die mittlere Geschwindigkeit an der betrachteten Stelle.

Viele Grüße,
Nils
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 12. Feb 2021 09:37    Titel: Antworten mit Zitat

Danke schon mal dass du dich mit meiner Frage auseinandergesetzt hast!
Leider kann ich mit deiner Antwort nicht viel anfangen...
Dass ich bei der Lösung einfach die makroskopische Form der Kontinuitätsgleichung (v*A=const) benutzen kann ist mir sogar bewusst, nur ist dieser Ansatz für mich etwas zu wenig analytisch, weil er wenig Raum für Verallgemeinerungen lässt (z.B. wenn ich über die Rohrwände noch diffusiven Stofftransport habe oder Diffusion entlang der Rohrachse). Diese Verallgemeinerung erhoffe ich mir dadurch, die DGL aus einem integralen Ansatz zu erhalten.
Ich habe mal ein Bild angehängt, in dem das Vorgehen beispielhaft aufgeführt ist. Meine Frage ist letztlich, wie man dieses Vorgehen anpassen muss, wenn man am Ende nur eine eindimensionale DGL für die Strömung erhalten möchte.
Dann könnte ich den integralen Ansatz nach belieben für die Situation anpassen (z.B. noch einen Term für Diffusion hinzufügen) und könnte einfach nach Schema F arbeiten und mir die zugehörige DGL herleiten. Hilfe



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Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5547

Beitrag Mathefix Verfasst am: 12. Feb 2021 12:55    Titel: Antworten mit Zitat

Inkompressibles Fluid






Divergenz = 0

Kontinuitätsgleichung. s. Nils Beitrag.
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 12. Feb 2021 13:55    Titel: Antworten mit Zitat

Es tut mir wirklich Leid, vielleicht habe ich meine Frage undeutlich formuliert oder ich verstehs einfach nicht, jedenfalls hilft mir eure Antworten noch nicht wirklich weiter...
Mein Problem ist, dass aus der von dir hergeleiteten Aussage lediglich folgt div(v)=0 und daraus dvx/dx+dvy/dy+dvz/dz=0. An dieser Stelle habe ich eine mehrdimensionale, partielle Differentialgleichung. Ich möchte aber eine solche haben, die eindimensional und gewöhnlich ist.
Wenn ich jetzt einfach hingehe und sage dvy/dy=0 und dvz/dz=0 dann liefert mir das das offensichtlich falsche Ergebnis dvx/dx=0 (Denn bei veränderlichem Querschnitt ändert sich die Geschwindigkeit in Achsrichtung unbedingt!)
Trotzdem ist die Geschwindigkeit in y-Richtung bei einer solchen Strömung vernachlässigbar, nur vermutlich eben ihre Änderung nicht. Ich bin aber der Überzeugung, dass ich durch einen geeigneten mathematischen Umformungsschritt in der Lage sein muss, aus der integralen Massenerhaltung (siehe meinen Anhang von vorher) eine eindimensionale DGL für den Fall der Rohrströmung herzuleiten. Dass das gehen sollte schließe ich daraus, dass es eine solche Differentialgleichung gibt, diese allerdings auf mir unmathematisch erscheinendem Wege erhalten wurde. (Ich spreche hier von der Rechnung mit Infinitesimalzahlen)

Nun kann man hingehen und richtiger Weise die Beziehung v*A=const für die Herleitung einer DGL benutzen, allerdings lässt sich diese Herangehensweise nicht auf allgemeine Probleme anwenden, wie ich oben schon erläutert habe.

Ich hoffe sehr, dass diese Ausführungen mein Problem etwas klarer machen. Danke schon mal an jeden, der sich an der Diskussion beteiligt!
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5547

Beitrag Mathefix Verfasst am: 12. Feb 2021 14:35    Titel: Antworten mit Zitat

div=0 bedeutet, dass das Vektorfeld quellenfrei ist d.h. es fliesst genau soviel raus wie reinfliesst:. Konti-Glchg.

Sieh Dir mal die Herleitung von Navier-Stokes an, vllt. findest Du da was passendes,


Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 12. Feb 2021 16:51, insgesamt einmal bearbeitet
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5305

Beitrag Myon Verfasst am: 12. Feb 2021 16:23    Titel: Re: DGL Strömung in veränderlichem Querschnitt Antworten mit Zitat

Kratos319 hat Folgendes geschrieben:
Ich weiß bereits aus anderen Aufgaben, dass das Endergebnis so aussehen müsste:
div(v*A)=0 bzw. d(v*A)/dx=0
Nur sehe ich noch nicht, wie man aus der allgemein richtigen Aussage über das Flussintegral dann dahin kommt.

Was ist A genau in der ersten Gleichung?

Kratos319 hat Folgendes geschrieben:
(...) Dass das gehen sollte schließe ich daraus, dass es eine solche Differentialgleichung gibt, diese allerdings auf mir unmathematisch erscheinendem Wege erhalten wurde. (Ich spreche hier von der Rechnung mit Infinitesimalzahlen)

Wie sieht denn diese Gleichung aus, die Du meinst?
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 13. Feb 2021 09:39    Titel: Antworten mit Zitat

Mit A meine ich die Rohrquerschnittsfläche die sich entlang der Rohrachse ändert, also eigentlich A(x). d(v*A)/dx=0 wäre dann ausgeschrieben v*dA/dx+A*dv/dx=0.
Das wäre eigentlich auch schon die Formel, die ich oben angesprochen habe. Ich versuche das ganze vll nochmal zu verdeutlichen dadurch, dass ich die oben angesprochene Verallgemeinerung ausführe.(Nur in unbefriedigender Rechnung)
Also wir haben die Ausgangssituation des Rohres mit veränderlichem Querschnitt, jetzt tritt allerdings noch ein konstanter Massenstrom durch die Rohrwand. Ausdrücken möchte ich den durch eine Flächenbezogene Flussdichte .
Dann gilt für die Massenbilanz um einen infinitesimalen Abschnitt des Rohres durch Linearisierung aller veränderlichen Größen:

Dabei meint den Umfang (sicherlich auch von x abhängig) und die Geschwindigkeit, bezeichnet die Rohrquerschnittsfläche. Der Übersichtlichkeit halber habe ich das Argument nicht mitgeführt, alle größen werden an einer beliebigen Stelle ausgewertet.
Beachtet man nun das Terme der Ordnung dx^2 vernachlässigbar sind ergibt sich:

Dieses Vorgehen lässt sich beliebig auf andere Spezialfälle verallgemeinern, bei denen die Kontinuitätsgleichung in der klassischen Form A*v=const nicht gilt (z.B. wenn Kernreaktionen, Diffusion oder Ähnliches im Spiel sind).
Und ich hätte furchtbar gern den mathematisch korrekten Weg für sowas grübelnd
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 13. Feb 2021 09:43    Titel: Antworten mit Zitat

Da hat sich in der ersten Formel ein Fehler eingeschlichen, es müsste

sein
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Feb 2021 09:47    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst mal stimmen die Differentiale nicht.

Nur dass ich es richtig verstehe: Du möchtest bei veränderlichem Rohrquerschnitt sowie Geschwindigkeit und Massenstrom abhängig vom Radius (allgemein vom Punkt auf der Querschnittsfläche) die Kontinuitätsgleichung formulieren und außerdem um einen Diffusionsterm o.ä. (durch die Wandung) ergänzen? Letzteren kann man wohl nicht als konstant annehmen; es ist eine Druckabhängigkeit zu erwarten. Darf das Fluid wenigstens noch inkompressibel sein?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 13. Feb 2021 11:21    Titel: Antworten mit Zitat

Oh, tut mir Leid wenn mir da ein Fehler unterlaufen ist, leider sehe ich ihn noch nicht... was meinst du denn?
Ich muss noch kurz anmerken dass die Interpretation von als Differential, also als 1-Form, nicht die Vorstellung ist, die ich bei diesem Ansatz verfolgt habe. (Und ich finds selber blöd dass das bei uns immer so gerechnet wird).
Man kann sich das in meinen Ausführungen einfach als kleinen Rohrabschnitt vorstellen, bei dem zum Schluss der Limes genommen wird (wobei vorher dadurch geteilt wurde).
Ich kann vollkommen verstehen dass einem dieses Vorgehen mathematische Übelkeit verschafft, mir geht es ja ganz genauso. Nur oftmals liefert dieser Weg am Ende die korrekte Differentialgleichung. Was das richtige Vorgehen wäre, ist ja Gegenstand meiner Frage.
Das Fluid kann sehr gerne inkompressibel sein, es geht mir mehr darum zu verstehen, wie ich trotz veränderlichem Querschnitt eine eindimensionale DGL erhalten kann. Daher hab ich den Massenstrom in meinem Beispiel auch als konstant angesetzt, ohne große Rücksicht auf reale Phänomene zu nehmen. Dass ein Diffusionstrom noch von anderen Faktoren abhängt, hab ich der Einfachheit erstmal außer Acht gelassen. Falls das hilft, die Wärmeleitung durch einen Veränderlichen Querschnitt funktioniert ganz ähnlich. Auf Wikipedia findet man die Herleitung der Rippen-DGL:
https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%BChlrippe#W%C3%A4rmestrom_durch_eine_Rippe

Die vom Prinzip her meiner Ausführung ziemlich ähnlich ist, nur dass hier noch das Fourier'sche Gesetz und eine Konvektionswärmestromdichte, die nicht ortsabhängig, sondern sogar von der örtlichen Feldgröße abhängt, dazukommt.
Bitte versteht mich nicht falsch, ich will überhaupt nicht auf Details herumreiten und versuche wirklich mein Problem so klar wie möglich darzustellen. Also das ist wirklich keine Absicht wenn ich mich hier blöd ausdrücke! Das Problem beschäftigt mich schon eine Weile und ich habe es bisher auf eigene Faust noch nicht geschafft, eine Lösung zu finden. In diesem Sinne nochmal ein großes Dankeschön an alle, die sich die Zeit nehmen und sich damit auseinander setzen! Jeder Gedankenanstoß hilft mir und ich bin einfach froh, wenn ich dieses Problem nicht allein lösen muss!
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 13. Feb 2021 11:26    Titel: Antworten mit Zitat

Wobei ich vergaß zu erwähnen, dass die Herleitung auf der Wikipedia-Seite von einem konstanten Querschnitt ausgeht, aber ich denke dass diese Ergänzung so zu geschehen hat, wie ich es in meiner Rechnung getan habe.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5547

Beitrag Mathefix Verfasst am: 13. Feb 2021 12:05    Titel: Antworten mit Zitat

Auch wenn das Fluid durch die Rohrwand diffundiert, gilt Massenerhalt und damit die Kontinuitätsgleichung.
Welchen Anteil der Diffusionsmassenstrom hat, hängt, wie von TomS bereits erwähnt, von der Druckdifferenz zwischen Rohr und Umgebung ab und ist nicht konstant.

Du kannst Dir ein Rohr mit veränderlichen Querschnitt und Bohrungen in der Rohrwand vorstellen. Fur jede Stelle x, auch an den Bohrungen,kannst Du mit Bernoulli- und Konti-Glchg. Strömungsgeschwindigkeit und Druck bestimmen und damit den Massenstrom, welcher an den Bohrungen ausstritt.
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 13. Feb 2021 14:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, das hab ich zugegebenermaßen blöd formuliert, sorry dafür. Was ich meinte war, dass bei einem zusätzlichen Massenstrom durch die Wände die Kontinuitätsgleichung in der vereinfachten Form:

nicht gilt.
Die differentielle Kontinuitätsgleichung

Gilt natürlich im Rahmen der klassischen Strömungsmechanik immer. Wenn ich jetzt aber diese für zusätzliche Ströme, z.B. durch die Wand, und einen veränderlichen Querschnitt anpassen möchte, trotzdem aber eine eindimensionale DGL erhalten will, bekomme ich Probleme.
Meine Hoffnung war jetzt, dass ich vielleicht die Kontinuitätsgleichung, welche über Integrale ausgedrückt ist (Siehe dazu meinen Anhang von vorher), insofern anpassen kann dass ich die korrekte, eindimensionale DGL erhalte.
Dass die Diffusionsströme noch druckabhängig sind und darüber hinaus noch weitere Effekte eine Rolle spielen (z.B. wenn die Rohrwand semipermeabel ist muss man eine Stefan-Korrektur berücksichtigen) ist denke ich für mein Problem ohne Belang. Wenn wir erstmal von einer konstanten Stromdichte ausgehen kann ich das problemlos auf weitere Abhängigkeiten erweitern, deswegen wollte ich das, damit der Kern des Problems deutlich wird, erstmal ingorieren. Ich will ja auch noch keine Lösung der DGL, sondern nur wissen, wie man sie überhaupt aufstellt.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5547

Beitrag Mathefix Verfasst am: 15. Feb 2021 10:26    Titel: Antworten mit Zitat

Kratos319 hat Folgendes geschrieben:

Ich will ja auch noch keine Lösung der DGL, sondern nur wissen, wie man sie überhaupt aufstellt.


Diskussionsbeitrag

d = Diffusion
r = Rohr
U = Innenumfang Rohr
s = Wandstärke
A = Rohrquerschnitt
rho = const.
Phi = Diffusionskoeffizient
v_0 = Geschwindigkeit bei x=0
p_0 = Druck bei x = 0

1. Änderung Volumenstrom Diffusion



2. Änderung Volumenstrom Rohr



3. Kontinuitätsgleichung





4. Bernoulli



5. DGL





Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 15. Feb 2021 16:10, insgesamt 3-mal bearbeitet
Kratos319



Anmeldungsdatum: 10.03.2020
Beiträge: 18

Beitrag Kratos319 Verfasst am: 15. Feb 2021 15:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ach super danke, ich schätze ich hab mal wieder ein Problem gesehen wo gar keines ist... Hammer Danke an alle für die Hilfe!
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5547

Beitrag Mathefix Verfasst am: 15. Feb 2021 15:55    Titel: Antworten mit Zitat

Kratos319 hat Folgendes geschrieben:
Ach super danke, ich schätze ich hab mal wieder ein Problem gesehen wo gar keines ist... Hammer Danke an alle für die Hilfe!


Keine Ursache. Hilfreich wäre, wenn die Kollegen Myon, Nils und TomS meinen Ansatz kritisch überprüfen würden.
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