Zweikörperprobleme, zwei Oszillatoren?

ricardo.loco · Anmeldungsdatum: 13.01.2021 Beiträge: 8

Meine Frage:
Guten Tag, ich beschäftige mich zurzeit mit der Aufgabe für Zweikörperprobleme:
Es geht um zwei gleichgroße Massen

, die wie in der Abbildung dargestellt werden
durch Federn miteinander verbunden. Die Federkonstante der mittleren Feder sei

, die
der beiden anderen

. Außer den Rückstellkräften der Federn sollen keine Kräfte wirken.
Wir betrachten kleine Auslenkungen aus der Ruhelage, so dass das Hookesche Gesetz gilt.
Die Ortsvektoren der Massen seien

und

wobei

bzw.

jeweils die Position in der Ruhelage bezeichnet.

Hier werden mir zwei Aufgaben genannt, die mir etwas Kopfschmerzen machen. Bei der ersten kann ich einigermaßen erahnen wie man die Bewegungsgleichung aufstellt:
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Massen als Differentialgleichun-
gen für

und

auf.
(b) Integrieren Sie diese Gleichungen mit den Anfangsbedingungen

,

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre, dass man hier die Summe und die Differenz der beiden Bewegungsgleichungen betrachtet. Es handelt sich hierbei ja um gekoppelte Oszillatoren, ich denke man muss hier zu Anfang die spezielle Lösung suchen der Form

, d. h. spezielle Schwingungen, bei denen beide Massenpunkte mit demselben zeitlichen Verhalten schwingen. Könnt ihr mir erklären, wie man ab da die bewegungsgleichung der DGL aufstellt?
Beim Integrieren weiß ich leider nicht, wie man das anhand der oben angeführten Anfangsbedingungen ausführt, hat jemand da eine Idee ???

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Kennst du den Lagrange-Formalismus?

ricardo.loco · Anmeldungsdatum: 13.01.2021 Beiträge: 8

Ja schon, aber wie kann man diesen hier verwenden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Also zunächst mal benötigst du ja deine Bewegungsgleichungen. Dazu definierst du zwei unabhängige Variablen x_1 und x_2 entsprechend der Massen m_1 und m_2.

Die kinetischen Energien sind wie üblich

Die potentiellen Energien lauten

Dabei werden die x_1,2 vom linken Befestigungspunkt gemessen, L bezeichnet den Abstand der beiden Befestigungspunkte (evtl. ist es etwas geschickter, x_2 vom rechten Befestigungspunkt zu messen).

Aus der Lagrangefunktion

folgen die beiden Bewegungsgleichungen auf. Diese sind gekoppelt, d.h. du musst eine Diagonalisierung des DGL-Systems durchführen.

ricardo.loco · Anmeldungsdatum: 13.01.2021 Beiträge: 8

Oh okay, danke für deine Hilfestellung, ich werde es so anwenden!