Heißluftballon max. Steighöhe

lala0000 · Anmeldungsdatum: 29.12.2020 Beiträge: 7

Meine Frage:
Hallo alle miteinander, ich hätte eine Frage zum Punkt c) der Aufgabe:
Ein Heißluftballon habe ein konstantes Volumen von VB = 1,1 m3
. Die Masse der Ballonhülle
ist mH = 0,187 kg. Das Volumen der Ballonhülle kann vernachlässigt werden. Zum Startzeitpunkt
hat die umgebende Luft eine Temperatur von T1 = 20 °C und es herrscht ein Luftdruck von p0 =
1,013·105 Pa. Unter diesen Bedingungen ist die spezifische Dichte der Luft r1 = 1,2 kg/m3
.
a) Auf Temperatur T2 muss der Balloninhalt aufgewärmt werden damit er gerade zum Schweben
anfängt?
b) Der Ballon wird mit einem Seil am Boden festgehalten während der Balloninhalt auf T3 = 110 °C
aufgeheizt wird. Welche Seilkraft ergibt sich bei dieser Endtemperatur?
c) Nun wird der Ballon losgelassen, wobei die Temperatur im Ballon konstant bei T3 = 110 °C
bleiben soll. Bis zu welcher Höhe h steigt der Ballon in einer isothermen Atmosphäre von 20°C
(unter Benutzung der barometrischen Höhenformel), wenn der Luftdruck am Boden p0 = 1,013·105
Pa beträgt?

Meine Ideen:
Zu c): Im Punkt der max. Höhe müsste ja die Auftriebskraft gleich der nach unten wirkenden Gewichtskraft der Ballonhülle und des Innenvolumens des Ballons sein. Also V*g*rohaußen= mh*g+V*rohinnen*g
Da der Druck in höheren Schichten exponentiell abnimmt kann ich die barometrische Höhenformel verwenden, welche an da roh proportional zu p ist auch in eine Formel für die Dichte in abh. von der Höhe umändern kann....
Bis hierhin bin ich gekommen, der Punkt welcher mir jedoch Schwierigkeiten bereitet ist, da ja der Ballon unten offen ist, nimmt auch der druck im Inneren und somit auch roh im Inneren exponentiell ab... Das würde aber bedeuten, dass ich dann in der oberen Formel für die Kräfte eingesetzt 2 exp(...) Ausdrücke in abh. von der Höhe hätte, wie löse ich also hier nach der Höhe auf?
Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

lala0000 · Anmeldungsdatum: 29.12.2020 Beiträge: 7

Hallo an alle!
Danke Myon vielmals für deine schnelle Antwort. Mittlerweile haben wir die Lösung für die Aufgabe bekommen, welche 842m beträgt.... Nun entspricht die Lösung aber leider dem Lösungsansatz, bei welchem man die exponentielle Dichteabnahme mit der Höhe im Inneren vernachlässigt (also die Dichte im Inneren wird konst. gehalten, während die barometrische Höhenformel nur für die äußere Luft verwendet wird).... Hätte jemand eine Idee, wieso die Dichte im Inneren nicht exponentiell abnimmt?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Diese Lösung ist m.E. nicht richtig, entspricht zumindest nicht dem, was man normalerweise unter einem Heissluftballon versteht. Sie würde bedeuten, dass die Luft im Ballon am Boden zunächst (bei offenem Ballon) auf 110°C erhitzt wird. Anschliessend wird der Ballon luftdicht verschlossen und losgelassen. So ergibt sich eine Steighöhe von etwa 840m. Im Ballon entsteht ein Überdruck, d.h. die Ballonhülle müsste sehr stabil sein, das Volumen soll ja konstant bleiben. Mit dieser „Lösung“ werden auch keine grösseren Höhen erreicht.

Ein üblicher Heissluftballon ist unten geöffnet, sodass Innen- und Aussendruck immer gleich sind. Beim Steigen entweicht Luft aus der Ballonhülle.
Rechnet man so wie oben angegeben, dass infolge der Druckgleichheit das Verhältnis der Dichten innen/aussen konstant bei T1/T3 liegt, ergibt sich eine maximale Steighöhe von etwa 4340m.

Ich würde nachfragen, ob bei der Musterlösung nicht ein Irrtum vorliegt.

lala0000 · Anmeldungsdatum: 29.12.2020 Beiträge: 7

Vielen lieben Dank! So hätte ich das eben auch verstanden, werde noch einmal nachfragen und das Ergebnis dann hier im Forum mitteilen! Vielen Dank nochmal!

Henry345 · Anmeldungsdatum: 22.09.2020 Beiträge: 77

Tatsächlich wurden auch schon Höhen von bis zu 10 km mit dem Heißluftballon erreicht.