Unklarheit einer Formel zur partiellen Ableitung

Polle · Anmeldungsdatum: 28.12.2020 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo Leute!
Ich sitze gerade an einer Übung zu den mathematischen Grundlagen der theoretischen Physik und bin etwas ratlos. Und zwar soll man die Gleichung (1) partiell ableiten. Wie die partielle Ableitung funktioniert ist mir klar, allerdings haben wir nur sehr simple Beispiele durchgenommen, die im Vergleich zu diesem Problem sehr einfach waren. Beim zweiten Aufgabenteil habe ich bereits einen Ansatz, ich bin mir dabei allerdings sehr unsicher.
Die genaue Aufgabenstellung lautet:
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Das abgeschirmte elektrische Potential einer Ladung in einem Plasma kann durch das Skalarfeld

beschrieben werden.

1. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen:

2. Wir definieren den Laplace Operator mit:

Berechnen Sie das Skalarfeld:

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Danke schonmal im Voraus! :)

Meine Ideen:

müssen jeweils getrennt abgeleitet werden.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Bei Teilaufgabe 2 bitte beachten, dass das Potential am Ursprung eine 1/r-Singularität aufweist, was bei Anwendung des Laplace-Operators zu einer Delta-Distribution führt. Hier muss also vor Anwendung des Laplace-Operators das Potential um den Ursprung durch eine Taylorreihe entwickelt werden und der 1/r-Term abgespalten werden. Der restliche Ausdruck kann durch gewöhnliche Differentation bestimmt werden, wobei hier zweckmäßigerweise der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten zu verwenden ist.

Viele Grüße,
Nils

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Nachtrag:

Mit dem oben Gesagten kommt man auf:

Viele Grüße,
Nils