Ellipse und Polarkoordinaten zeigen

paul.dering · Anmeldungsdatum: 19.11.2020 Beiträge: 19

Meine Frage:
Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, in Polarkoordinaten

durch die Gleichung

beschrieben wird. Hierbei bezeichnet \( a \) die grobe Halbachse und \( b \) die kleine Halbachse. Die Darstellung in kartesischen Koordinaten,

ist als bekannt vorauszusetzen.

Meine Ideen:
(b) Zeigen Sie, dass die Orbits bei der Bewegung im dreidimensionalen Oszillatorpotential

Ellipsen sind, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Hinweis zu (b): Bei der Integration der Orbitgleichung ist die Substitution

hilfreich.

Kann mir jemand sagen, wie man das löst?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Zu a): Einfach zeigen, dass die beiden Gleichungen gleichbedeutend sind, wenn

(nachrechnen, dass x^2+y^2=rechte Seite der 1. Gleichung). Dazu benützen, dass

.

Du brauchst die Aufgaben nicht immer gleichzeitig in verschiedenen Foren zu posten.

paul.dering · Anmeldungsdatum: 19.11.2020 Beiträge: 19

Ich danke dir!

Weißt du auch, wie man in b) zeigt, dass es sich um eine Ellipsenlaufbahn handelt?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Das Problem für mich bei b) ist der Tipp.
Aus dem gegebenen Potential folgt für eine Masse m die Bewegungsgleichung

Für die drei kartesischen Koordinaten erhält man jeweils harmonische Schwingungen mit derselben Frequenz

.

Der Ansatz

löst die Bewegungsgleichung, und die Bewegung ist eine Ellipse mit den Halbachsen

. Die Halbachsen zeigen in die Richtungen der Anfangsbedingungen

.

Doch hier soll die Aufgabe durch „Integration der Orbitgleichung“ gelöst werden, und ich verstehe nicht, was damit gemeint ist.

paul.dering · Anmeldungsdatum: 19.11.2020 Beiträge: 19

Ich verstehe, ja das habe ich mir ebenfalls gedacht. Ich werde mir dann nochmal das Skript angucken, die haben da angeblich ein Beispiel derart durchgeführt. Ich danke dir!