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Guilin
Gast
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 Guilin Verfasst am: 24. Nov 2020 22:56 Titel: Wohnung im Winter aufheizen - schnell oder langsam? |
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Meine Frage:
Wenn ich eine Wohnung bei kalten Außentemperaturen bis zu einer bestimmten Temperatur aufheizen möchte, also beispielsweise von 10 auf 18 grad Celsius, spielt es dann eine Rolle für die benötigte Energie wenn ich
1 die Temperatur langsam erhöhe
oder
2 schnell erhöhe?
Meine Ideen:
Bei höherer Temperatur wird mehr Wärme über Fenster und Wände an die Außenwelt abgegeben, also nach kurzer Zeit schon viel Energie
Wenn ich aber langsam die Temperatur erhöhe wird weniger Wärme zu Beginn abgegeben, aber hier könnte man ja auch tagelang die Temperatur erhöhen und dann müsste ja wieder mehr Energie insgesamt aufgebracht werden.
Für Tips bin ich dankbar |
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Nobby1
Anmeldungsdatum: 19.08.2019
Beiträge: 1547
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| Nobby1 Verfasst am: 24. Nov 2020 23:18 Titel: |
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Es spielt keine Rolle, die Wärmeaufnahme oder - Abgabe ist die gleiche. Da hilft nur besser isolieren. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2020 23:20 Titel: |
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Ich glaube, das ist zu einfach gedacht.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 00:07 Titel: |
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Lösungsskizze:
Wir vernachlässigen Effekte der Wand, nehmen eine immer homogene Temperatur an etc.
Infinitesimale Erwärmung durch Wärmezufuhr:
Infinitesimale Abkühlung des Raumes durch die kalte Umgebung außen
 \, dt )
Zusammen liefert das die DGL
 - \frac{1}{C} \dot{Q} = 0)
Wir definieren
tau ist die Differenz zur Außentemperatur. P ist die zugeführte Wärme pro Zeit, also die Heizleistung.
Ansatz:
Einsetzen in die DGL:
Mit der Lösung
Bei bekannter Heizleistung P als Funktion der Zeit kann diese Gleichung integriert werden ...
... Rest morgen
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 07:42 Titel: |
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Für im Folgenden konstante Heizleistung P gilt:
 \, e^{-hAt})
wobei die Integrationskonstante so bestimmt wurde, dass
 = \tau_0)
Man erkennt, dass für eine Aufheizung
die Bedingung
erfüllt sein muss. Im Falle der Gleichheit ist die Temperatur konstant.
Vergleicht man zu fester Zeit t Temperaturdifferenzen tau, so erkennt man, dass diese mit wachsender Heizleistung P monoton zunehmen (war zu erwarten).
Je höher die Heizleistung, desto schneller wird also eine bestimmte Zieltemperatur erreicht.
Die benötigte endliche Zeit t, um eine Ziel-Temperaturdifferenz tau zu erreichen - ab deren Erreichung dann die Heizleistung P reduziert werden kann, um diese zu halten - folgt durch Auflösen der o.g. Gleichung nach der Zeit t für vorgegebene Start- und Ziel-Temperaturdifferenz.
Möchte man die dazu benötigte Energie Q berechnen, so setzt man bei konstanter Heizleistung P
Die Ausgangsfrage wäre also zu präzisieren: Möchte ich die fest vorgegebene Zieltemperatur möglichst schnell erreichen? Oder mit einem bis dahin möglichst geringeren Energieverbrauch? Zu minimieren wäre dann entweder die Zeit t oder die Wärmemenge Q = Pt, jeweils als Funktion der Heizleistung P.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Nov 2020 08:38, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 08:15 Titel: |
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Kurze Skizze, warum die Minimierung von t bzw. Q nicht zum selber Ergebnis führen:
Ich definiere
und löse die o.g. Gleichung für tau nach t auf:
 = \frac{1}{hA}\ln\frac{\pi - \tau_0}{\pi - \tau})
Dabei sind die Temperaturdifferenzen fest, die einzige Variable ist die Heizleistung.
Außerdem haben wir
 = P \cdot t(\pi) = C\pi \cdot \ln\frac{\pi - \tau_0}{\pi - \tau} )
Minimierung von Zeit bzw. Energie führt auf
}{\partial \pi} = 0)
}{\partial \pi} = 0)
und das liefert nicht die selbe Lösung für pi.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 25. Nov 2020 09:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Minimierung von Zeit bzw. Energie führt auf
und das liefert nicht die selbe Lösung für pi. |
Doch, tut es. Das "Minimum" wird in beiden Fällen bei unendlicher Heizleistung erreicht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 11:18 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: |
Das "Minimum" wird in beiden Fällen bei unendlicher Heizleistung erreicht. |
Ah, du hast recht.
| Guilin hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Wenn ich eine Wohnung bei kalten Außentemperaturen bis zu einer bestimmten Temperatur aufheizen möchte, also beispielsweise von 10 auf 18 grad Celsius, spielt es dann eine Rolle für die benötigte Energie wenn ich
1 die Temperatur langsam erhöhe
oder
2 schnell erhöhe? |
Also möglichst schnell = mit maximal möglicher Leistung aufheizen.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 25. Nov 2020 11:39 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Also möglichst schnell = mit maximal möglicher Leistung aufheizen. |
Das gilt allerdings wirklich nur für das Aufheizen. In der Praxis soll die Wohnung danach aber auch warm bleiben. Dann gilt: Je schneller aufgeheizt wird, desto so länger ist die Wohnung warm und um so mehr Energie geht verloren. Wenn es also darum geht, den Wärmeverlust über einen bestimmten Zeitraum zu minimieren, dann kommt man zum anderen Extrem: Heizleistung = Null. Es gibt hier also kein Optimum. Je wärmer man es haben will, umso mehr Energie geht verloren. |
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Guilin
Gast
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| Guilin Verfasst am: 25. Nov 2020 11:52 Titel: |
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Vielen Dank!
Habe mir schon fast gedacht das es eine Optimierungsaufgabe ist, aber auf die DGL wäre ich alleine nie gekommen, super Arbeit. Einsetzen und Minima/ Maxima berechnen krieg ich eher hin. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 11:54 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis soll die Wohnung danach aber auch warm bleiben. Dann gilt: Je schneller aufgeheizt wird, desto so länger ist die Wohnung warm und um so mehr Energie geht verloren. Wenn es also darum geht, den Wärmeverlust über einen bestimmten Zeitraum zu minimieren, dann kommt man zum anderen Extrem: Heizleistung = Null. Es gibt hier also kein Optimum. Je wärmer man es haben will, umso mehr Energie geht verloren. |
Das verstehe ich nicht.
Das Szenario ist doch z.B. „ich möchte ab heute Nachmittag im warmen Wohnzimmer sitzen, und dieses soll ab diesem Zeitpunkt gleichbleibende Temperatur haben“.
Dann heize ich möglichst spät sowie möglichst schnell auf und minimiere damit die Energie. Ab dann reduziere ich die Heizleistung zum Halten der Temperatur.
Oder was meinst du?
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Nov 2020 11:58, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 11:57 Titel: |
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| Guilin hat Folgendes geschrieben: | | Einsetzen und Minima/ Maxima berechnen krieg ich eher hin. |
Eben nicht so kompliziert denken, das war mein Fehler. Einfach die beiden Funktionen zeichnen und erkennen (oder beweisen), dass beide streng monoton sind und man lediglich maximale Heizleistung benötigt.
| Guilin hat Folgendes geschrieben: | | ... aber auf die DGL wäre ich alleine nie gekommen, super Arbeit. |
Bitte nochmal prüfen ;-)
Aufheizen sollte klar sein; Abkühlen entspricht dem Newtonschen Abkülungsgesetz.
C = Wärmekapazität
A = Oberfläche
Vieles ist idealisiert, z.B. wäre das gültig für einen einzelnen Raum ohne umgebendes Haus, nicht für einen Raum mit unterschiedlichen benachbarten Temperaturen wie ein Zimmer mit Außenwand sowie Boden zum Keller u.ä.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 25. Nov 2020 12:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das Szenario ist doch z.B. „ich möchte ab heute Nachmittag im warmen Wohnzimmer sitzen, und dieses soll ab diesem Zeitpunkt gleichbleibende Temperatur haben“. |
Das ist eine Möglichkeit. Die Formulierung lässt aber auch die Möglichkeit zu, dass das Zimmer innerhalb eines bestimmten Zeitraums bis zur Maximaltemperatur aufgeheizt und die Temperatur dann bis zum Ende dieses Zeitraums konstant gehalten wird. Dann geht umso mehr Energie verloren je früher die Maximaltemperatur erreicht wird.
Falls Du ein praktische Beispiel willst, dann stell Dir vor, dass die Heizung abends eingeschaltet wird, damit die Wohnung am nächsten Tag warm ist. Dann wäre es unsinnig, sie mit maximaler Leistung laufen zu lassen, weil dann die ganze Nacht unnötig Wärme verbraten wird. In diesem Fall ist es energietisch sinnvoller, die Wohnung so langsam aufzuheizen, so dass sie erst am nächsten Morgen die gewünschte Temperatur erreicht.
Ohne zusätzliche Randbedingungen kann man hier kein allgemeingültiges Optimum angeben. Die optimale Heizleistung kann rein theoretisch zwischen Null und Unendlich liegen. Wo genau hängt vom konkreten Szenario ab. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 25. Nov 2020 12:58 Titel: |
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| Guilin hat Folgendes geschrieben: | | auf die DGL wäre ich alleine nie gekommen |
Die heißt übrigens Tian-Gleichung. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5785
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Nov 2020 13:41 Titel: |
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Ich hab das mit der Tian-Gleichung nicht gekannt und jetzt auch noch nicht komplett durch gelesen, aber das ist interessant.
Für mein Verständnis ist die Sache doch aber an sich relativ "einfach":
Im einfachen Fall sollte doch gelten:
Der Wärme-Verlust ist proportional zur Temperatur-Differenz zwischen Außen- und Innentemperatur.
Dann sollte die "verlorene" Heizenergie doch proportional zu dem Integral der Differenz über die Zeit sein.
Nach der Überlegung ist ja auch schon das Ergebnis klar: Wenn ich eine fixe Zeit lang 18° genießen will, dann muss ich so schnell wie möglich aufheizen, die Zeit mit 18° lässt sich so wie so nicht verhindern, dass ich genau so viel nachheize, damit die 18° gehalten werden. Das Integral kann aber so minimiert werden, dass man davor möglichst schnell hoch heizt.
Umgekehrter Fall war ja: Ich fange an zu heizen, sobald ich den Raum benutze. Dann ist eine Heizleistung von null natürlich ideal, allerdings bleibt die Temperatur dann auch bei 10°.
Die Frage ist dann eher: Wie ist der Wirkungsgrad, wenn ich mit sehr hoher Leistung heizen will. Wenn ich z. B. Öl verbrenne und will bei einem Ofen möglichst hohe Leistung erreichen, muss ich sehr viel Luft durch den Schornstein pusten, so dass eventuell hier auch viel Wärme gar nicht erst im Raum landet.
Nächster Punkt: Ich muss ja auch noch die Wände aufheizen. Außerdem gibt es Feuchtigkeit in der Luft und in den Wänden, die kondensieren kann etc.
Ich denke, solche Punkte können beim Heizen in der Realität eventuell eher eine Rolle spielen.
Gruß
Marco |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 25. Nov 2020 15:11 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich z. B. Öl verbrenne und will bei einem Ofen möglichst hohe Leistung erreichen, muss ich sehr viel Luft durch den Schornstein pusten, so dass eventuell hier auch viel Wärme gar nicht erst im Raum landet. |
Das hängt vom Heizungssystem ab und ist damit ein ganz anderes Thema.
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Nächster Punkt: Ich muss ja auch noch die Wände aufheizen. |
Und die Möbel. Damit wären wir weit von den Voraussetzungen für die Tian-Gleichung weg (homogene Temperaturtverteilung und Newtonsche Abkühlung). Das kann beliebig kompliziert werden.
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Außerdem gibt es Feuchtigkeit in der Luft und in den Wänden, die kondensieren kann etc. |
Beim Heizen wird die nicht auskondensieren, sondern kondensierte Feuchtigkeit wird wieder verdunsten. Aber das ist in der Tat ein kritischer Punkt - insbesondere dann, wenn feuchte Wände die Wärme besser leiten als trockene. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 15:33 Titel: |
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Eine recht gute Übersicht zu DGLs findet man hier:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation
Die oben genannte Gleichung ist eine einfachere Form von „First-order, linear, inhomogeneous, function coefficients => Integrating factor“.
Man sieht den Ansatz aber fast unmittelbar, wenn man mit der homogenen Gleichung mit P(t) = 0 startet.
@Marco -
Deine Fragen sind ja geradezu absurd praxisorientiert 
Ich denke, in komplizierteren Fällen muss man näherungsweise bekannte Lösungen für die Wärmeleitungsgleichung zusammenstückeln oder vollständig numerisch arbeiten; das wird dann nicht mehr analytisch funktionieren.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2020 15:42 Titel: |
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@DrStupid -
Verstanden.
Auf die Idee bin ich nicht gekommen, weil ich zu Hause die Heizung entsprechend programmiere, also nicht früher und schwächer sondern spätmöglichst und schnellstmöglich heize; du hast aber recht, das ist ein relevanter Fall.
Es wäre interessant zu überlegen, ob man das Problem für eine vorgegebene Temperaturkurve als Variationsproblem formulieren kann.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5785
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Nov 2020 16:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | @Marco -
Deine Fragen sind ja geradezu absurd praxisorientiert |
Das tut mir leid... Kommt nicht wieder vor! 
Gruß
Marco |
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