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Nachricht |
Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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 Heisenberg98 Verfasst am: 22. Nov 2020 18:36 Titel: Gesamtladung berechnen |
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Guten Abend, ich bräuchte eure Hilfe zu folgender Aufgabe:
Eine statische Ladungsverteilung erzeugt ein radiales elektrisches Feld
wobei A und b Konstanten sind.
Berechnen Sie die Gesamtladung Q für das elektrische Feld mithilfe des Gaußschen Gesetzes.
Ich hab bisher:
Beim lezten = bin ich mir allerdings sehr unsicher ob ich nicht auch noch etwas mit dem r machen muss.
Viele Grüße
Heisenberg98 |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Nov 2020 21:40 Titel: Re: Gesamtladung berechnen |
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| Heisenberg98 hat Folgendes geschrieben: |
Beim lezten = bin ich mir allerdings sehr unsicher ob ich nicht auch noch etwas mit dem r machen muss.
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Das r ist der Radius deiner Integrationskugelfläche. Hieraus folgt:
Da A konstant ist, muss folglich b = 0 sein.
Viele Grüße,
Nils |
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 22. Nov 2020 22:59 Titel: |
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Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Leider verstehe ich nicht wieso b=0 sein muss.
Meine Frage war eher ob ich beim letzten =nicht über r integrieren muss, wenn  beim Integral steht.
Viele Grüße
Heisenberg98 |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Nov 2020 23:12 Titel: |
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Nein, du berechnest ja ein Oberflächenintegral und zwar über die Oberfläche einer Kugel mit Radius r. Da war schon alles richtig bis dahin.
Zum Rest: A ist doch konstant bezüglich r. Das ist nur möglich, wenn b = 0 ist.
- Nils |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 22. Nov 2020 23:18 Titel: |
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Um die Gesamtladung auszurechnen, guckt man sich logischerweise die Ladung im gesamten Volumen an, also  , erstmal egal welchen Wert b hat. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Nov 2020 23:30 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Um die Gesamtladung auszurechnen, guckt man sich logischerweise die Ladung im gesamten Volumen an, also , erstmal egal welchen Wert b hat. |
Ja, du hast natürlich Recht. Ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die Integrationsfläche bereits die gesamte Ladung umschließt. Aber davon ist ja nirgends die Rede. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 22. Nov 2020 23:33 Titel: |
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Ich glaub allerdings, dass dieses elektrische Feld ziemlich pathologisch ist. Die Ladungsdichte wäre
 - \frac{e^{-\mu r}}{4\pi r^3} \right) = 4\pi \rho )
und eine Volumenintegration darüber sieht mir aus, also ob sie divergieren würde...
Entweder hab ich mich verrechnet, etwas übersehen oder der Aufgabensteller meinte das Yukawa-Potential  , welche das elektrische Feld e^{-\mu r}}{r^2} \vec e_r) hat. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 23. Nov 2020 00:00 Titel: |
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Also ich komme auf:
Aber ohne Gewähr.
Viele Grüße,
Nils |
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 23. Nov 2020 09:25 Titel: |
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Ich erhalte bei der Divergenz auch das, was Nils erhält.
Die Integration macht mir dann allerdings Probleme. Brauche ich hier die Integralexponentialfunktion? Dann komme ich auf eine Divergenz, nämlich:
Und das ist ja die Methode über direkte Integration, wenn ich das richtig verstehe. Ich soll aber eigentlich das Gaußsche Gesetz verwenden.
Grüße
Heisenberg98 |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 24. Nov 2020 14:58 Titel: |
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| Heisenberg98 hat Folgendes geschrieben: |
Und das ist ja die Methode über direkte Integration, wenn ich das richtig verstehe. Ich soll aber eigentlich das Gaußsche Gesetz verwenden.
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Du warst oben ja schon auf dem richtigen Weg. Nur war die ausgerechnete Ladung nicht die Gesamtladung, sondern die Ladung innerhalb des Integrationsvolumens, also innerhalb einer Kugel mit Radius r. Um die Gesamtladung zu erhalten, musst du noch den Grenzwert für r gegen unendlich berechnen.
Was mich momentan noch stutzig macht, ist, dass ich auf ein anderes Ergebnis komme, wenn ich die Gesamtladung über die Volumenintegration von rho = div E berechne. Damit das gleiche herauskommt, muss offenbar gelten:
)
Aber ich sehe noch nicht so recht, an welcher Stelle der Divegenz-Bildung die Delta-Distribution ins Spiel kommt...
Viele Grüße,
Nils |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 24. Nov 2020 15:24 Titel: |
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Ich nehme an, es liegt einfach daran, dass  bei  nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar ist, die Divergenz dort also gar nicht definiert ist. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 24. Nov 2020 17:30 Titel: |
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@ Myon
Dass es an der Polstelle bei r = 0 liegt, ist mir schon klar. Mir war nur nicht klar, wie man die obige Beziehung für das hier vorliegende E-Feld konkret mathematisch zeigt. Ich kannte im Zusammenhang mit der Delta-Distribution bisher nur
 \quad (1))
Aber tatsächlich lässt sich das relativ einfach beweisen, wenn man die e-Funktion als Summe schreibt und den 1/r²-Term abspaltet.
Sei:
Dann gilt:
^k}{k!} \vec{e}_r = \frac{\vec{e}_r }{r²} + \frac{1}{r²}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-br)^k}{k!} \vec{e}_r)
Benutzt man nun Gleichung (1), sowie die Tatsache, dass für Radialfelder der Form  = F(r)\vec{e_r} ) sich die Divergenz wie folgt berechnet:
 ) ,
so folgt:
 + \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-br)^k}{k!} \\&=& 4\pi \delta(\vec r) + \frac{1}{r^2} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-b)^kr^{k-1}}{(k-1)!} \\&=& 4\pi \delta(\vec r) - \frac{b}{r^2} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-br)^{k}}{k!}\\&=& 4\pi \delta(\vec r) - \frac{b e^{-br}}{r^2})
Viele Grüße,
Nils |
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